Полуправильные многогранники.

После того, как я склеила модели всех правильных многогранников, я была очень горда, ведь я не только смогла изготовить все модели, но знала названия всех пяти многогранников! Как мы помним, мальчик Джемс знал названия только некоторых многогранников.

Но мальчик, сделав модели, пошел дальше.  Джеймс стал срезать верхушки изначального многогранника.  А когда верхушки срезались,  образовывался новый, более сложный многогранник.

Меня тоже заинтересовала эта идея. Но срезать «верхушки» картонных моделей было неудобно, да и признаться, жалко. Я пробовала слепить из пластилина самые простые из моделей: куб и тетраэдр, а потом срезала углы. Получающиеся многогранники имели удивительную форму, которая по красоте нисколько не уступала правильным многогранникам!

От учителя я узнала, что получающиеся многогранники называются полуправильными. И, что меня особо впечатлило, они не изучаются в школе!

         Я решила самостоятельно изучить эту тему, насколько позволит мне моя математическая база. Вот что я узнала.

Полуправильные многогранники еще называют архимедовыми телами.  

Прежде всего, архимедовы тела — выпуклые многогранники, все грани которого являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник).

Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер.

До нас дошла работа самого ученого, который называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда». Архимед подробно описал каждый полуправильный многогранник, дал его рисунок.  

Интересно отметить, что на протяжении более двух тысяч лет со времени Архимеда считалось, что полуправильных многогранников тринадцать. Но совсем недавно, в середине XX столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник.

Новый многогранник получил название псевдоархимедова тела. Иногда его называют «многогранник Ашкинузе» в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника – российского ученого В.Г. Ашкинузе.

Рис. 11. Полуправильные многогранники

1.     Усечённый тетраэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 4 правильных шестиугольников и 4 правильных треугольников.

2.     Усечённый октаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов).

3.     Усечённый икосаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. В каждой из вершин сходятся 2 шестиугольника и пятиугольник. Каждый из пятиугольников со всех сторон окружён шестиугольниками. Усечённый икосаэдр — один из самых распространённых полуправильных многогранников, так как именно эту форму имеет классический футбольный мяч.

4.     Усечённый куб— полуправильный многогранник с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

5.     Усечённый додекаэдр — архимедово тело с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

6.     Кубооктаэдр— полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов).

7.     Икосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 32 граней (12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников).

8.     Ромбокубооктаэдр— полуправильный многогранник, гранями которого являются 18 квадратов и 8 треугольников.

9.     Ромбоикосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников, 30 квадратов и 20 треугольников.

10.  Усечённый кубооктаэдр— полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника.

11. Усечённый икосододекаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

12. Курносый куб — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников.

13. Курносый додекаэдр  — это полуправильный многогранник(архимедово тело). Курносый додекаэдр имеет 92 грани (наибольшее количество из всех архимедовых тел), 12 из них являются пятиугольниками, а остальные 80 — правильными треугольниками. У него 150 рёбер и 60 вершин!

Рис. 12. Многогранник Ашкинузе, псевдоромбокубоктаэдр.

Итак, самые простые из многогранников Архимеда получаются из правильных многогранников при «усечении» углов многогранника. Важно отметить, что «отсекающие» плоскости могут проходить через середины ребер правильного многогранника, либо же отсекать часть ребра, чаще  третью часть.

Среди тринадцати полуправильных многогранников описанным способом, назовем его «отсечение верхушек», можно получить семь полуправильных многогранников. Это усеченный куб, усеченный октаэдр, усеченный тетраэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр и икосододекаэдр.

2.     Изготовление моделей полуправильных многогранников.

Итак, мне предстояло изготовить модели семи полуправильных многогранников. Справедливости ради отмечу, что при желании можно найти готовые развертки полуправильных многогранников. Но мы с учителем решили, что будем изготовлять не просто модели полуправильных многогранников, а такие модели, которые наглядно демонстрируют процесс их «создания». Т.е. нам важно было показать, как из модели правильного многогранника получается модель полуправильного.

Очевидно, крайне неудобно получать модели архимедовых тел путем отсечения «верхушек». Поэтому мы решили вначале склеить модель  полуправильного многогранника, а потом отдельно склеить модели всех его «верхушек». Отметим, что нам удалось склеить модели «верхушек» не для всех полуправильных многогранников, так как эта работа требует больших геометрический знаний, которыми пока не обладает ученица 6 класса. Но все же к пяти моделям архимедовых тел мы изготовили «верхушки».

Так, если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней. Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится три грани. При этом отсекаются правильные тетраэдры. Как построить развертку правильного тетраэдра мы уже рассматривали выше. При построении развертки усеченного тетраэдра необходимо уметь строить правильный шестиугольник.

Рис. 13. Развертка усеченного тетраэдра.

Построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки очень легко. Для этого нужно построить окружность с радиусом, равным стороне будущего шестиугольника. А затем данный радиус последовательно отложить по окружности шесть раз. Правильный шестиугольник готов!

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр  и усеченный икосаэдр. Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Рис. 14. Развертка усеченного тетраэдра.                   Рис. 15. Развертка отсекаемой                                                             «верхушки»

При получении усеченного октаэдра от октаэдра нужно отсечь 6 «верхушек»,  являющихся правильными четырехугольными пирамидами. Развертку этого многогранника мне пришлось создавать самой.  Алгоритм построения правильного треугольника и квадрата описан выше.

Рис. 16. Развертка усеченного икосаэдра.                       Рис. 17. Развертка отсекаемой  «верхушки»

Чтобы получить усеченный икосаэдр у соответствующего правильного многогранника нужно отсечь 12 правильных пятиугольных пирамид. Причем все ребра пирамиды равны. Для создания развертки такой пирамиды мне пригодились навыки построения правильного пятиугольника и правильного треугольника.

Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр. Отметим, что при получении данных архимедовых тел, отсекающие плоскости не проходят через трети ребер соответствующих правильных многогранников.

Рис. 18. Развертка усеченного куба.                            Рис. 19. Развертка усеченного додекаэдра.                                                                           

Следовательно, их «верхушками» не будут правильные тетраэдры, как может показаться на первый взгляд. Построение разверток «верхушек» усеченного куба требует больших геометрических знаний, поэтому их модели были изготовлены под руководством учителя. Описание построения развертки можно посмотреть в п. 5 данной работы.

Для  построения развертки усеченного куба мне пришлось освоить построение правильного восьмиугольника с помощью циркуля и линейки.

Приведу алгоритм построения правильного восьмиугольника:

1.     Построить окружность с центром в точке О.

2.     Провести произвольный диаметр АВ.

3.     Построить окружность с центром в точке А радиусом ОА. Эта окружность пересекает первую в точках С и  D.

4.     Провести прямую СD. Прямая СD пересечет радиус ОА в точке Е.

5.     Построить окружность с центром в точке Е радиусом ОЕ. Данная окружность пересечет прямую СD в точках М и N.

6.     Построить прямые ОМ и ОN, пересекающие первую окружность в четырех точках.

7.     Соединив данные точки отрезками с точками А и В соответственно, мы получим четыре стороны будущего правильного восьмиугольника.

8.     С помощью циркуля отложить на окружности остальные стороны восьмиугольника.

Для изготовления усеченного додекаэдра необходимо построить правильный десятиугольник. Рассмотрим алгоритм построения:

1.     Необходимо повторить пункты 1 – 7 из алгоритма построения правильного пятиугольника. (См. стр. 10)

2.     Построить окружность с центром в точке А, радиусом АО.

3.     Построить отрезок VА. Точку пересечения этой прямой с последней окружностью обозначить К.

4.     Длина отрезка VK будет равна стороне правильного десятиугольника. Останется лишь последовательно отложить данный отрезок по окружности.

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и название – кубооктаэдр. Отсекаемыми «верхушками» являются тетраэдры. Изготовление «верхушек» кубооктаэдра описано в п. 5 данной работы.

Рис. 20. Развертка кубооктаэдра.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром. У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра. Отсекаемые «верхушки» -  тетраэдры.

Рис. 21. Развертка икосододекаэдра.

Другие полуправильные многогранники более сложного типа. Чтобы их получить, недостаточно просто срезать углы имеющегося многогранника. Например,  два многогранника, усеченный кубооктаэдр  и усеченный икосододекаэдр, нельзя получить усечением кубооктаэдра и икосододекаэдра.  Отсечение углов этих многогранников дает не квадраты, а прямоугольники.

Таким образом, из тринадцати архимедовых тел, мы подробно рассмотрели и сделали модели только семи из них. Они представляли для нас интерес, так как их можно получить путем отсечения «верхушек» от других многогранников. Но мы планируем в дальнейшем рассмотреть и другие полуправильные многогранники.

Занятие это очень трудоемкое.  Порой одну модель приходилось клеить несколько раз. Изготовление таких моделей требует не только навыков работы с картоном, а, что самое ценное, настоящих математических расчетов, выводов.

При изготовлении модели полуправильного многогранника нужно найти эскиз его развертки  (например, в интернете), с помощью чертежных инструментов начертить развертку нужных размеров, учесть клапаны для склеивания, для этого нужно четко представлять какие грани будут соединяться. Без пространственного мышления и воображения здесь не обойтись!

А вот с изготовлением того многогранника, который  «срезается» хлопот еще больше. Ведь нужно самостоятельно изготовить его развертку. Для этого надо четко представлять его форму, затем начертить  развертку и при этом четко рассчитать все размеры.

Но, не смотря на сложность изготовления моделей, отметим, что это занятие очень интересное и увлекательное. Это настоящий творческий процесс. Ведь ты создаешь своими руками нечто прекрасное, что, возможно, до тебя делали лишь единицы, а возможно, ты первопроходец!