НОУ "Десять способов решения квадратных уравнений и их применение в нашей жизни"

Направление Математика

Десять способов решения квадратных уравнений и их применение в нашей жизни.

Кунгур, 2018

Содержание:

                                       Стр.

Введение                                                                                                                                    

1.     Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..

2.     Определение квадратного уравнения……………………………….........

3.     Способы решения квадратных уравнений…………………………........

3.1.          Разложение на множители левой части……………………………....

3.2.          Метод выделения полного квадрата…………………………………

3.3.          Решение квадратных уравнений по формуле………………….........

3.4.          Решение уравнений с использованием теоремы Виета……….........

3.5.          Решение уравнений способом «переброски»………………….........

3.6.          Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….

3.7.          Графическое решение квадратного уравнения……………………...

3.8.          Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….

3.9.          Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)…..

3.10.      Геометрический способ решения квадратных  уравнений………….

4.     Практическая часть ………………………………………………………

Заключение

Список литературы

Введение

При изучении темы квадратные уравнения мы задались вопросами: «Сколько существует решений квадратных уравнений? Какой способ считается наиболее лёгким? Где можно применить формулы?».  Очень часто при решении квадратных  уравнений мы сомневаемся в правильности ответа. Но оказалось, что квадратные уравнения можно решать несколькими способами, тем самым перепроверять себя.

Тема нашей работы «Решение   квадратных уравнений      различными способами  и их применение в жизни».

В учебниках алгебры квадратные уравнения решаются в основном по формулам и  с применением теоремы Виета, незначительное количество заданий предполагает решение уравнений методом выделения полного квадрата и разложение левой части на множители. Но в  школьных учебниках нет информации об истории возникновения квадратных уравнений. Я считаю ее очень актуальной для изучения, она имеет огромное практическое значение, так как это связано с дальнейшим изучением алгебры и может помочь в сдачи ОГЭ и ЕГЭ.

Цель работы: 1.Узнать больше о квадратных уравнениях.

2. Проанализировать, где в жизни применяются квадратные уравнения

Задачи исследования:

1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;

2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;

3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

4) применение квадратных уравнений  в повседневной жизни.

1.     Исторические сведения о квадратных уравнениях.

       Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

       Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.

Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Он был одним из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Полагают, что он жил в III в. н.э. в Александрии – центре научной мысли эллинистического мира. Из работ Диофанта самой важной является ≪Арифметика≫, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разной степени. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 – х . Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

(10 + х) (10 – х) = 96,

    или

100 – х² = 96,

х² – 4 = 0.

Отсюда х = 2 .

Одно из искомых чисел равно 12, а другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

XIII-XVII вв Квадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.

Квадратные уравнения в ИНДИИ

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

2.Определение квадратного уравнения

       Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

      Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

      Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. 

     х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Квадратное уравнение

 

                             Полное                                           Неполное

 

Приведенное а=1                                      если b=0                         если с=0

                                 Неприведенное а=1                              если b=0, c=0                

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).

Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.

3.Способы решения квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Если b=0, то ах²+ с=0	Если с=0, то ах²+bх=0	Если b=0, с=0, то ах²=0
ах²+ с=0, ах²= -с, х² = -с/а, Если  ≥ 0, то уравнение имеет 2 корня х=±  Если < 0, то уравнение корней не имеет.	ах²+bх=0, х(ах+b)=0, <=> х=0, ах+b=0; х=0, х=.	ах²=0, х²=0, х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

3.1. Разложение на множители левой части

При решении квадратных уравнений часто при­меняется метод разложения на множители (с по­мощью вынесения за скобки общего множителя, фор­мул сокращенного умножения или способа группи­ровки).

Пример: .

Разложим левую часть на множители:

, ,

Следовательно, уравнение можно переписать так:,

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в  нуль при Это означает, что число и  1 являются корнями уравнения .

Вывод: Плюс: Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

             Минус: Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.

                            3.2 Метод выделения полного квадрата          

Рассмотрим уравнение вида: ,

,

,

,

,если,

,

Пример:,     ,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Вывод: Плюс: За минимальное количество действий можно найти корни уравнений. Минус: Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

3.3 Решение квадратных уравнений по формуле

Корни уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле

, где выражение b² - 4ac= D называется дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac>0,  уравнение  ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac< 0,  квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного.

Пример:,

а=3,  в=4,   с=-7,

,

,

,

,

.

Вывод: Плюс: Можно применить ко всем квадратным уравнениям.   

              Минус: Нужно выучить формулы.

3.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а.

Для уравнения , если   его корни, справедливы формулы:

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например,

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7 и x₂ = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 и x₂ = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Вывод: Плюс: Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Минус: легко находятся только целые корни.

3.5 Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим кв. уравнение  ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² + by + ас = 0, равносильно данному. Корни у₁и у₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

х₁ = у₁/а  и  х₁ = у₂/а.

При этом способе коэффициента умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример:   2х² – 11х + 15 = 0.

 «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение  у² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5       х₁ = 5/2       x₁ = 2,5

 у₂ = 6    x₂ = 6/2         x₂ = 3.

Вывод: Плюс: За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. Минус: легко найти только целые корни.

3.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение    x² + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета     x₁ + x₂ = - b/a,

                                               x₁x₂ = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с.

Таким образом,          x₁ + x₂ = - а + b/a= -1 – c/a,

                                     x₁x₂ = - 1• ( - c/a),

т.е. х₁ = -1 и х₂ = c/a, что и требовалось доказать.

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

Пример:  345х² – 137х – 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то  х₁ = 1, х₂ = c/a = -208/345.

Вывод: Плюс: Не требует особых усилий.

              Минус: Подходит только к некоторым уравнениям.

                   3.7.  Графическое решение квадратного уравнения      

Если в уравнении   х² + px + q = 0  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим   х² = - px - q.

Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -прямая

Возможны следующие случаи:                                  

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Пример:  

Для этого построим два графика:

у =   y = x+1   

 

Вывод: Плюс: Наглядный способ. Минус: Могут быть не точности при составлении графиков.

3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решим уравнение ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения   ах²  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки                        (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или  R>a + c/2a),  окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения  ах²  + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра  (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке В(х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра                                     

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис в), в этом случае уравнение не имеет решения.

 

Пример:.

Определим координаты  точки центра окружности по формулам:

,

.

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

.

Вывод: Плюс: Наглядный способ.

              Минус: Могут быть не точности

3.9. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)

Данный способ широко применяется при решении алгебраических уравнений высших степеней.

Теорема Безу: При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a.

Следствие из теоремы Безу: Если  уравнение   а₀хⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x+a_n = 0,

где все коэффициенты  целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример:,

,

,

,

,

,

.

Вывод: Плюс: За минимальное количество действий можно найти корни уравнений. Минус: Подходит только к некоторым уравнениям.

3.10 Геометрический способ решения квадратных  уравнений

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».  

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25. Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х² + 10х + 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х+5=±8,  -13,

Вывод: Плюс: Наглядный способ.

             Минус: похож на способ выделения полного квадрата

4. Практическая часть

1. Мы провели анализ диагностических тестов ГИА: в среднем 23% всех заданий требуют умения решать квадратные уравнения.

2. При сдаче ЕГЭ необходимо знать разные приемы решения квадратных уравнений для быстрого решения (например, задания 11 и 17-экономическая задача)

3. Так же мы знаем, что квадратные уравнения используются в физике при решении многих задач:

- Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета.

4. В астрономии:

- ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения

5. В строительстве:

- формула квадратных уравнений применятся в строительстве фонтанов. Он смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

6. В спорте:

легкой атлетике:

- В легкой атлетике, крайне важны арифметические расчеты. При разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с параболой.

- Подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

Заключение.

Квадратные уравнения – это фундамент алгебры. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военном деле, в бытовых ситуациях. В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

Способов решения квадратных уравнений много. В своей работе я рассмотрела 10 способов. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА и ЕГЭ по математике.

Большинство практических задач реального мира сводится к решению квадратных уравнений.

Считаем, что работа может быть полезна мне при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Литература

1. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003. – 238 с.: ил. – ISBN 5-09-011880-9.

2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

4. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

5. Мордкович А. Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 4-е издание – М.: Мнемозина, 2002. – 223 с.: ил. – ISBN 5-346-00148-4.

6. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

7. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего возраста. -2-е издание - М.: «Педагогика», 1989. – 132с.