Инфоурок Другое КонспектыНПК "Задачи на дополнительные построения"

НПК "Задачи на дополнительные построения"

Скачать материал
библиотека
материалов


Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 9 городского округа г. Нефтекамск

Республики Башкортостан













Задачи на дополнительное построение

Исследовательская работа по математике







Выполнил: Абдюшев Никита ученик 8а класса

Руководитель: Кабирова Любовь Федоровна








г.Нефтекамск 2014


Оглавление


  1. Введение 3
  2. Основная часть 4
Виды дополнительных построений –
Глава 1: Продолжить медиану
Глава 2: Провести прямую параллельную данной 6
Глава 3: Провести прямую перпендикулярную данной 8
Глава 4: Построить окружность 10
  1. Заключение 12
  2. 4.Литературв 13























Введение


Приступая к решению геометрической задачи, нужно иметь в виду, что обычно геометрическая задача может быть решена несколькими способами. Поэтому, если появилась идея решения задачи, но путь к решению довольно длинный, то следует помнить, что существенную помощь могут оказать дополнительные построения. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют изобретательности, геометрической интуиции. Сейчас в школьном курсе учебников знакомят с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но именно их разнообразие оставляет мало времени на приобретение навыков, и вкус к такого рода задачам, которые развивают геометрическое воображение. Цель работы: выделить основные виды дополнительных построений, к каждому виду подобрать и решить задачи. Изучив статью «Научим школьников выполнять дополнительные построения» в газете «Математика» приложение к газете «Первое сентября» и статью «Учимся делать дополнительные построения» в научно-популярном физико - математическом журнале «Квант», меня заинтересовала эта тема и я начал подбирать задачи, которые «красиво» решаются с помощью дополнительных построений. Изучив задачники Просолова В.В «Задачи по планиметрии» и Шарыгина И.Ф «Задачи по геометрии», я выделил четыре основных вида дополнительных построений: продолжить медиану, построить прямую параллельную данной, построить прямую перпендикулярную данной, построить окружность. В данную работу включено 10 наиболее интересных задач. Среди них задачи на вычисление, на доказательство, на построение.


















Продолжить медиану

1
Две стороны треугольника равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей

стороне равна 26. Найти высоту, проведенную к стороне 27.

Дано:

ABC

AB=27,BC=29,BO=26

CD − высота

BO − медиана

Найти CD.


B


D




A O C







E





B


D




A O C





hello_html_2775a151.gif

hello_html_60cb2e38.gif



hello_html_41549e1a.gif










Решение

1. Дополнительное построение: строю OE=BO; ABCE – параллелограмм (по признаку), BC=AE=29; AB=EC=27

2. SABC= SABE (т.к составлены из равных треугольников)

3. SABE= hello_html_m7d5b07a8.gif (по формуле Герона)

S∆ABE= hello_html_m75ee08f3.gif

S∆ABC= hello_html_m69cc8d14.gif

270= hello_html_m6fc1b29c.gifhello_html_m4855e294.gifCD=20

Ответ: 20

2.

На сторонах AB и BC построены вне его квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в 2 раза больше медианы BP треугольника ABC.

Дано:

ABC

ABDE и BCKF - квадраты

Доказать, что DF=2BP.


hello_html_60cb2e38.gifhello_html_2775a151.gif

B






A P

C






D

B






A P

C













Решение

  1. Дополнительное построение: строю PQ=BP ABCD-параллелограмм (по признаку)

  2. hello_html_m3158e75a.gif

  3. hello_html_2add7eb9.gif

hello_html_2897fd63.gif

hello_html_m2886004f.gif

hello_html_72bc5f77.gifпо II признаку (hello_html_1d144203.gifDBF=BCQ, BF=BC, DB=CQ)

hello_html_2897fd63.gif

DF=BQ=2BP

3
Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, имеющих с этой медианой общую вершину.

Дано:

ABC

BP − медиана

Д

D F


E B




A P K

C

оказать, что BP< hello_html_d5f7ccb.gif(AB+BC)

D F


E B




A P K

C

Q



hello_html_m3310afad.gifhello_html_m4fb7d21.gif












Решение

  1. Дополнительное построение: строю PD=BPABCD – параллелограмм (по признаку) AB = CD, BC = AD

  2. BD<BC+CD (по неравенству треугольника)

BD<BA+AD (по неравенству треугольника)

2BD

2BD<2BC+2AB

BD<BC+AB

Так как BD=2BP (по построению), то BP< hello_html_d5f7ccb.gif (AB+BC).

Провести прямую параллельную данной

1

Найти высоту равнобедренной трапеции, если её диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S.


Дано:

ABCD− равнобедренная трапеция

AC и BD − диагонали

AC BD

S − площадь трапеции

Найти h − высоту трапеции

hello_html_m66a7d559.gifhello_html_5b850454.gif

B C






A F D E

B C






A F D












Решение

  1. Дополнительное построение: строю CE||BD

  2. АСЕ – равнобедренный (т.к AC=BD, BD=CE, AC=CE)

  3. АСЕ –прямоугольный (т.к CO hello_html_m1e39d5c0.gifBD, BD||CE hello_html_7511bc48.gifCE hello_html_m1e39d5c0.gifCO)

  4. Проведу высоту CF – она является медианой и биссектрисой hello_html_7511bc48.gifhello_html_1d144203.gifACF = hello_html_1d144203.gifFCE = 45O

hello_html_6b20f972.gif

AE=2AF=2h

Sтр.= hello_html_267008a8.gif

BC+AD=AE (т.к BC=ED)

Sтр.= hello_html_m4a3fedb9.gif

h =hello_html_7574dc30.gif

2
Через середину
M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найти площадь четырехугольника OMCD.

Дано:

ABCD−параллелограмм

SABCD=1

Bhello_html_mb8de2cf.gifM=MC

Найти площадь OMCD.

B M C


O





A D

B M C


O


F



E A D


hello_html_m2be186c.gif








РешениеДополнительное построение: стою BE||AM, AF||BO

  1. S ABD = hello_html_2b2ed72.gifSABCD = hello_html_2b2ed72.gif

  2. EBA и ∆ABD – они имеют общую высоту hello_html_m4855e294.gifhello_html_2fc6be0e.gif= hello_html_m4ccb4cc9.gif

S hello_html_m3a525ac9.gif

  1. Shello_html_51727b2d.gif

  2. hello_html_m2749220.gif ~ hello_html_ec61090.gif (т.к. hello_html_m6de81295.gif, hello_html_3c92706d.gif общий) hello_html_m4855e294.gifhello_html_m3f2a9b0c.gif hello_html_m46e679d4.gif

  3. Рассмотримhello_html_m2749220.gif и hello_html_m7087e08.gif

  1. hello_html_3c445075.gif(т.к EBMA – параллелограмм) ,

  2. EA=BM

  3. EF=OM (EF=EB-FB, OM=AM-AO, EB=AM, FB=AO)

hello_html_m7111346d.gif(по двум сторонам и углу между ними) hello_html_m4855e294.gifhello_html_m381a41c7.gif


  1. SOMCD=S hello_html_m10689a39.gif



3
Построить трапецию по четырем сторонам.

Дано:

AB=c,

BC=a,

CD=d,

AD=b

Построить трапецию ABCD

Дополнительное построение: строю BP||CD. Задача сводится к построению ABP по трем сторонам AB=c, BP=d, AP=b-a

hello_html_52104b3c.gif

Построение:

1.СтроюABP по трем сторонам так, что AB=c, BP=d, AP=b-a.

2.Строю PD=a

3. Строю BC||PD, BC=a. AD=b

4. ABCD - искомая трапеция.

Доказательство:

1. BC||AD (по построению)

AB не параллельно CD, т.к BP||CD

ABCD – трапеция (по построению)

2. BC=a, AB=c, AD=b, CD=BP= (по построению)

3. ABCD – с данными сторонами.

Исследование: Задача имеет единственное решение, если можно построить ABP, т.е выполняется неравенство треугольника: c<d+(b-a), d<c+(b-a), b-a<c+d.

Провести прямую перпендикулярную данной

1

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника вне его построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Доказать, что EM+FN=AB.

Дано:

ABC−прямоугольный

ACDE и BCKF− квадраты

EM PA, FN BQ

Доказать, чтоEM+FN=AB.


hello_html_mea00a29.png


K

D


C

E F


P

M

A

L

B N Q




















Решение

  1. Дополнительное построение: строю CL

  2. Пустьhello_html_4ad2bdd2.gif и hello_html_7cc0450c.gif

  3. Аналогично hello_html_m4452c1c1.gif

hello_html_m124761a8.gifhello_html_m4855e294.gif(по катету и острому углу) EM=AL, FN=LB hello_html_m4855e294.gifEM+FN=AL+LB=AB.

2
Пусть
AC − большая из диагоналей параллелограмма ABCD, Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что ABAE+ADAF=ACAC.

Дано:

ABCD-параллелограмм

CE BN, CF DM

Доказать, что AB∙AE+AD∙AF=AC ∙ AC



hello_html_7cd43f73.gifhello_html_41b9bb5f.gif


Решение

  1. Дополнительное построение: строю BG hello_html_m1e39d5c0.gifAC

  2. hello_html_m36ac2067.gif~ hello_html_m2b27dc6b.gif (hello_html_m29277959.gif – общий, hello_html_47cf72a5.gif) hello_html_m4855e294.gifhello_html_mfd3fc25.gif

  3. AF||CB hello_html_m4855e294.gifhello_html_1d144203.gifhello_html_m7829a565.gif = hello_html_1ee40a77.gif (как накрест лежащие при прямых AF||CB b секущей AC)

  4. hello_html_31893640.gif(hello_html_1d144203.gifFAC = hello_html_1d144203.gifACB, hello_html_m1564652a.gif)hello_html_2589599a.gifhello_html_m5bff6d7f.gif

  5. hello_html_50442852.gif

hello_html_7ee0e9c2.gif

hello_html_42d58b4a.gif

ABAE+ADAF=AC2

Построить окружность

1

Найти сумму внутренних углов пятиконечной звезды

Дано

пятиконечная звезда

Нhello_html_119c1cec.gifайти:



C



B D




A E


hello_html_40ec28c.gifhello_html_720e73ef.gif



P R


C

N S

B D

M T




A E

K Y

L X














Решение

Дополнительное построение: описываю около звезды окружность.

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключенных между ними дуг



hello_html_m28a46100.gif

2
В трапеции
ABCD (AB и CD основания) меньшее основание равно
a, углы, прилежащие к этому основанию, равны 105 , а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция

AB и CD -основания


Найти S трапеции.


Решение

  1. Дополнительное построение: строю описанную окружность (т.к трапеция равнобедренная, то можно описать окружность)

  2. Sтр. = hello_html_m361a9cf1.gif

  3. Пусть QB=x, AB=2x (т.к hello_html_f6146d3.gif), AQ=y по теореме Пифагора:

hello_html_m4e4a1284.gifhello_html_69b37dbc.gifhello_html_1672581b.gif

  1. BQ = QC = x

По теореме Пифагора из ∆BQC: hello_html_m74eef949.gifhello_html_49bb6cbc.gif

  1. AQ=QD=y По теореме Пифагора из ∆AQD: hello_html_26304d11.gif

  2. BD = BQ+QD = hello_html_m1a4aeda8.gif

  3. Shello_html_70a525fd.gif = hello_html_3d7d9d21.gif


B C


Q


O

A D

hello_html_m640d29a0.gif













Заключение


Рассмотрев конкретные случаи, мы убедились, что решение задач с помощью дополнительных построений не только быстрей и проще, но и намного интересней, чем решение привычными способами.

Решая задачи на дополнительное построение, мы не только углубляем знания, но и развиваем изобретательность и геометрическую интуицию.

Хотелось бы продолжить работу по этой теме, добавив другие построения, например, преобразование на плоскости. Данный материал можно использовать при повторении курса планиметрии и при подготовке к ЕГЭ.































Литература



  1. Математика. Приложение к газете «Первое сентября», – 1999.


  1. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» №10,


1975.


  1. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. –


м.;Просвещение.1987.


  1. Просолов В.В. задачи по планиметрии, 1часть-м.;Наука, 1986.


  1. Просолов В.в. Задачи по планиметрии 2 часть – м .;Наука, 1986


  1. Шарыгин И.Ф. решение задач. – м.;Просвещение, 1994.


  1. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. – м;Наука , 1982.


















Тезисы



  1. Задачи решаемые продолжением медианы


  1. Задачи решаемые проведением прямой параллельной данной


  1. Задачи решаемые проведением прямой параллельной данной


  1. Задачи решаемые построением окружности



































Рецензия


На работу ученика 8а класса МОБУ СОШ №9 городского округа город


Нефтекамск Ярулина Булата


В работе Рассмотрены основные виды дополнительных построений при


решений задач:


  • Продолжить медиану


  • Провести прямую параллельную данной


  • Провести прямую перпендикулярную данной


  • Построить окружность


К каждому виду дополнительных построений подобранны и решены задачи,


которые


углубляют знания, развивают изобретательность и геометрическую


интуицию



  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.