"НЬЮТОНДУН МЕТОДУН КОЛДОНУП СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ТЕҢДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫН EXCEL ТАБЛИЦАЛЫК РЕДАКТОРУНДА ЧЫГАРУУ"

УДК

Магистрант Арынов Даниярбек Эргешович,  Ош МУ, МИТ факультети, Кыргызстан, Ош [e-mail], 996-773-081-216 Улук окутуучу Төлөбаева Кылымкан Абдрахмановна, ОшМУ, ИСП кафедрасы, Кыргызстан, Ош, [e-mail], 996-779-252-076

НЬЮТОНДУН МЕТОДУН КОЛДОНУП СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ТЕҢДЕМЕЛЕР

СИСТЕМАСЫН EXCEL ТАБЛИЦАЛЫК РЕДАКТОРУНДА ЧЫГАРУУ

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ТАБЛИЧНОМ

РЕДАКТОРЕ EXCEL С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НЬЮТОНА

SOLUTION OF A SYSTEM OF NONLINEAR EQUATIONS IN EXCEL TABLE

EDITOR USING NEWTON'S METHOD

Аннотация

 Бул макалада сызыктуу эмес теңдемелер системасы, анын чечимдерин табуунун Ньютон методу жана маселелердин Excel таблицалык редакторундагы чыгарылышы каралган. Сызыктуу эмес теңдемелер системасынын чыгарылыштары типтүү мисалдар менен берилип, Ньютондун методу колдонулган жана Excelде чечимдери көрсөтүлгөн.

  В этой статье рассматривается система нелинейных уравнений, метод Ньютона для поиска решений и решение задач в электронном редакторе Excel. Решения системы нелинейных уравнений приведены с типичными примерами, использован метод Ньютона и решения представлены в Excel.  This article discusses a system of nonlinear equations, Newton's method for finding solutions and problem solving in an electronic Excel editor. The solutions of the system of nonlinear equations are given with typical examples, Newton's method is used and the solutions are presented in Excel.

Түйүндүү сөздөр: сызыктуу эмес теңдемелер системасы, системанын чечими, алгебралык жана трансценденттик функциялар, Ньютондун методу, жаныма методу, Тейлордун катары, графиктик метод, баштапкы жакындаштырылган чечим.

Ключевые слова: система нелинейных уравнений, решение системы, алгебраические и трансцендентные функции, метод Ньютона, метод касательных, ряд Тейлора, графический метод, начальное приближенное решение.

Key words: system of nonlinear equations, solution of the system, algebraic and transcendental functions, Newton's method, tangent method, Taylor series, graphical method, initial approximate solution.

 Илимдин дээрлик бардык тармактарында: физика, механика, экономика, биология, химия, геология, география, психология, экология, медицина, техниканын айрым бир бөлүктөрүндө ж.б.у.с. каралуучу процесстер жана кубулуштар математикалык тилде жазылып, алардын моделдери теңдеме, барабарсыздык, теңдемелер жана барабарсыздыктар системасы аркылуу түзүлөт. Бүгүнкү күндөгү математикалык билимдин кеңейиши жана электрондук эсептөө машиналарды (ЭЭМ) колдонуу, математикалык моделдерди түзүүнү жана алардын изилдөө мүмкүнчүлүктөрүн арттырат. Эксперименттердин негизинде көпчүлүк процесстерди эсептөө сызыктуу эмес теңдемелер системасына келтирилет. Алардын чечимдерин табуу үчүн эсептөө математикасынын методдору колдонулат.

 𝑛 өзгөрүлмөдөн турган сызыктуу эмес бир тектүү теңдемелер системасы төмөндөгүдөй көрүнүшкө ээ:

𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) = 0,

                                                                                   {𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) = 0,                                        (1)

…  …  …  …  …  …  … …

𝑓_𝑛(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) = 0.

(1) – сызыктуу эмес теңдемелер системасын эсептөөгө ыңгайлуу болушу үчүн, вектордук формада жазып алалы, б.а. [2]

                                                                                      𝑓(𝑥) = 0,                                                                   (2)

мында 𝑥 – белгисиз чоңдуктардын вектору, 𝑓 – вектор-функция

                                                                        𝑥₁                                  𝑓₁(𝑥)                 0

                                                                        𝑥^{2                                        𝑓2(𝑥)}), 0 = (⁰).

                                                             𝑥 = (… ), 𝑓 = (      …                    …

                                                                        𝑥𝑛                      𝑓_𝑛(𝑥)                 0

 Сызыктуу эмес теңдемелер системасынын ар бир теңдемесин теңдештикке алып келүүчү 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛  өзгөрмөлөрүнүн жыйындысы системанын чечими деп аталат.

            Мисалы, 

{𝑥𝑥₁²1 ++ 𝑥𝑥₂22 == 53,

системасы 𝑥₁ = 2, 𝑥₂ = 1 чечимдерине ээ, анткени, бул өзгөрмөлөрдүн маанилери системанын теңдемелерин теңдештикке айландырат: 

,

                                                                                        2 + 1   ≡ 3.

Демек, системанын чечүү – бул анын бардык чечимдеринин көптүгүн табуу же ал чечимге ээ эместигин көрсөтүү болуп саналат.

 (1) – системанын курамына кандай функциялар катышкандыгына карата, алар алгебралык жана трансценденттик функциялар болуп бөлүнүшөт. 

Эгерде берилген 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛 өзгөрмөлөрүнүн мааниси боюнча 𝑓_𝑛(𝑥), (𝑛 = 1,2,3, … ) функциясынын маанисин алуу үчүн арифметикалык амалдар, даражага көтөрүү жана тамырдан чыгаруу амалдары колдонулса, анда функция алгебралык деп аталат. Бул амалдардан сырткары алгебралык эмес: көрсөткүчтүү

𝑎^𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, логарифмикалык log_𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, тригонометриялык 𝑠𝑖𝑛𝑥,

𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑡𝑔𝑥, 𝑐𝑡𝑔𝑥 жана тескери тригонометриялык функциялар 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥,

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥,  𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 ж.б. катышса, анда система трансценденттик деп аталат. [4]

            Эки     өзгөрмөлүү алгебралык системаларды чечүү үчүн графиктик методду колдонуу ыңгайлуу. Себеби, системанын чечимдери    𝑥₁О𝑥₂ тегиздигинде            𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂) = 0,  𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂) = 0           ийри   сызыктарынын кесилиш чекитинин координаталары, мисалы, 𝑀(𝑥₁, 𝑥₂) болушат (1-сүрөт). 

            Мындан сырткары, сызыктуу эмес теңдемелер системасын чечүү үчүн түрдүү методдор:     Зейдел, жарымга     бөлүү,            хорда, көбөйтүүчүлөргө ажыратуу ж.б.у.с. колдонулуп келет. Алардын ичинен сызыктуу эмес теңдемелердин чечимин табуу үчүн Ньютон методун (жаныма методу) колдонобуз.

 Ньютондун методу – бул сызыктуу эмес теңдеменин тамырын табуучу сандык метод. Ал алгач англиялык физик, математик жана астроном Исаак Ньютон (1643-1727) тарабынан сунушталган. И.Ньютон бул метод жөнүндө 1969жылы Исаак Барроуга жолдогон «Чексиз катарлардын теңдемелерин талдоо жөнүндө» («Об анализе уравнениями бесконечных рядов») кол жазмасында жана «Флюксия методу жана чексиз катарлар» эмгегинде жазган. Анын эмгектери кийинчерээк 1711-жылы Уильям Джонсон жана 1736-жылы Джон Кользон тарабынан басылып чыккан. [3]

 Ньютон методунун экинчи «жаныма методу» деп аталышы, системада берилген ийри сызыктардын жаасы, жакындаштырылган чечим аныкталган [a,b] кесиндисинде жаныма менен алмаштырылып, анын геометриялык маанисин түшүндүрөт. [4]  Ньютон методу учурдагы көрүнүшүнөн алда канча айырмаланып турат. Ньютон бул методду көп мүчөлөргө гана колдонгон. Чечимдерди табууда 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛 түйүндөрүн удаалаш жакындаштырып эсептөөнү эмес, көп мүчөлөрдүн удаалаштыгын эсептеп, жыйынтыгында жакындаштырылган чечимди алган. Төмөндө каралуучу маселелерде Ньютондун методун эки өзгөрүлмөлүү эки теңдемеден турган сызыктуу эмес теңдемелер системасы үчүн карайлы.

            Айталы, 

                                                                                   {𝑓1(𝑥1, 𝑥2) = 0,                                                         (1´)

𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂) = 0,

мында 𝑓₁ жана 𝑓₂ – үзгүлтүксүз дифференцирленген функциялар. Эгерде өзгөрмөлөрдүн n-жакындаштырылган мааниси белгилүү деп алсак, анда алардын тагыраак мааниси үчүн төмөндөгү барабардыктарды алууга мүмкүн:

𝑥 = 𝑥_𝑛 + ℎ_𝑛, 𝑦 = 𝑦_𝑛 + 𝑘_𝑛.

Анда (1´) системасы

                                                                       {𝑓₁(𝑥_𝑛 + ℎ_𝑛,𝑦_𝑛 + 𝑘_𝑛) = 0,                                                  (3)

𝑓₂(𝑥_𝑛 + ℎ_𝑛,𝑦_𝑛 + 𝑘_𝑛) = 0

көрүнүшүнө ээ болот.

 𝑓₁ жана 𝑓₂ функцияларын ℎ_𝑛 жана 𝑘_𝑛 даражалары боюнча Тейлордун катарына^[1] ажыраталы: [2], [5]

{𝑓1(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + ℎ𝑛 𝜕𝜕𝑥𝑓1𝑛 (𝑥𝑛,𝑦𝑛) + 𝑘𝑛 𝜕𝜕𝑦𝑓1𝑛 (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 0,                      (4) 𝑓₂(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + ℎ𝑛 𝜕𝜕𝑥𝑓2 (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑘𝑛 𝜕𝜕𝑦𝑓2𝑛 (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 0,

𝑛

 

𝑛

{ℎℎ_𝑛𝑛 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑓𝑓12_𝑛 ((𝑥𝑥𝑛𝑛,,𝑦𝑦𝑛𝑛)) ++ 𝑘𝑘𝑛𝑛 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦𝑓𝑓12𝑛_𝑛 ((𝑥𝑥𝑛𝑛,,𝑦𝑦𝑛𝑛)) == −−𝑓𝑓12((𝑥𝑥𝑛𝑛,,𝑦𝑦𝑛𝑛)),,                                                                                                                           (5)

мындан 

                                     |−𝑓1(𝑥𝑛,𝑦𝑛) 𝜕𝜕𝑦𝑓𝑛1(𝑥𝑛,𝑦𝑛)|                                   |𝜕𝜕𝑥𝑓𝑛1(𝑥𝑛,𝑦𝑛)   −𝑓₁(𝑥_𝑛,𝑦_𝑛)|

                                      −𝑓2(𝑥𝑛,𝑦𝑛) 𝜕𝜕𝑦𝑓𝑛2(𝑥𝑛,𝑦𝑛)          ∆ℎ                          𝜕𝑓2(𝑥

       ℎ𝑛 = 𝜕𝜕𝑥𝑓𝑛1(𝑥𝑛,𝑦𝑛) 𝜕𝜕𝑦𝑓𝑛1(𝑥𝑛,𝑦𝑛) = ∆𝑛𝑛,    𝑘𝑛 = 𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑓𝑛𝑛1(𝑥𝑛𝑛,,𝑦𝑦𝑛𝑛)) 𝜕−^𝜕𝑦^𝑓𝑓𝑛¹2((𝑥𝑥𝑛𝑛,,𝑦𝑦𝑛𝑛)) = ∆∆𝑘_𝑛𝑛.  (6)

𝜕𝑥𝑛 𝑛 𝑛 𝜕𝑦𝑛 𝑛 𝑛 Демек, ℎ𝑛 жана 𝑘𝑛 маанилери боюнча

𝜕𝑥𝑛 𝑛 𝑛 𝜕𝑦𝑛 𝑛 𝑛

                                    |𝜕𝑓2(𝑥       ,𝑦 ) 𝜕𝑓2(𝑥       ,𝑦 )|                                     |𝜕𝑓2(𝑥       ,𝑦 ) 𝜕𝑓2(𝑥       ,𝑦 )|

                                                                        𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ𝑛, 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑘𝑛                                        (7)

табабыз.        Графиктик    методдун      жардамында             чечимдин      баштапкы     𝑥₀, 𝑦₀ жакындаштырылган маанилерин аныктап алууга мүмкүн.

            Мисал.     Ньютондун    методун     колдонуп,            {^sin(^{𝑥1 − 0,6}) ^{− 𝑥2 = 1,6,}

3𝑥₁ − 𝑐𝑜𝑠𝑥₂ = 0,9

сызыктуу эмес теңдемелер системасынын чечимин 0,001 тактыгы менен тапкыла.

[1]

 Чыгаруу. Берилген сызыктуу эмес теңдемелер системасынын баштапкы 𝑥₀, 𝑦₀ чечимдерин табуу үчүн, графиктик методдун жардамында системанын чечими жаткан аралыкты бөлүп алабыз. Ал үчүн системаны төмөндөгүдөй жазып алабыз:

𝑥₂ = sin(𝑥₁ − 0,6) − 1,6, {        1         

𝑥₁ =  𝑐𝑜𝑠𝑥₂ + 0,3.

3

            Системанын графигин Excel таблицалык редакторунун жардамында түзөбүз. Берилген функциялардын аныкталуу аймагы чыныгы сандар көптүгүндө жайгашкандыктан, чечим жаткан кесиндини 𝑥₁ ∈ [−4; 4] жана 𝑥₂ ∈ [−4; 4] тандайбыз. 

2-сүрөттө көрүнүп тургандай, 0 < 𝑥₁ < 0,3; −2,2 < 𝑥₂ < −1,8        [1] аймагына камтылып, система бир чечимге             ээ        болот.            Анда өзгөрүлмөлөрдүн     баштапкы жакындаштырылган           маанилерин

𝑥₁⁰ = 0,15 жана 𝑥₂⁰ = −2 деп алабыз.   Ньютондун методун колдонуп, системанын чечимин (7) формула боюнча тактайбыз. Ал үчүн, алгач берилген системанын теңдемелерин эки өзгөрмөлүү функция 𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂) жана 𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂) функциялары аркылуу туюнтабыз:

{𝑓1(𝑥₁, 𝑥₂) = sin(𝑥₁ − 0,6) − 𝑥₂ − 1,6,

𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂) = 3𝑥₁ − 𝑐𝑜𝑠𝑥₂ − 0,9.           

Тейлордун катарына ажыратуу үчүн, 𝑓₁ жана 𝑓₂ функцияларынын 𝑥₁ жана 𝑥₂ боюнча жекече туундуларын алабыз:

{𝜕𝜕𝜕^𝜕𝑥𝑓𝑥^𝑓1²((𝑥𝑥1₁,,𝑥𝑥2₂)) == cos3;   ( 𝑥   1   −    0   , 6  )   ; 𝜕𝜕_𝜕𝑥𝑓_𝑥122(𝑥1, 𝑥2) = −1;        

                                1                                                                                                                   { 𝜕𝑓2 (𝑥1, 𝑥2) = 𝑠𝑖𝑛𝑥2.

1

(7) – формуладагы ℎ_𝑛 жана 𝑘_𝑛дин маанилерин (6) формула боюнча аныктайбыз. Анда 

                                ∆_𝑛= |cos(𝑥¹3^{− 0,6)}   𝑠𝑖𝑛⁻¹𝑥₂| = 𝑠𝑖𝑛𝑥₂ ∙ cos(𝑥₁ − 0,6) + 3;

      ∆ℎ𝑛 = |𝑠𝑖𝑛−1𝑥2 sin(3𝑥𝑥11 −−0𝑐𝑜𝑠,6)𝑥−2 −𝑥20−,91,6| = 𝑐𝑜𝑠𝑥2 − 𝑠𝑖𝑛𝑥2 − 3𝑥1 + 𝑥2 + 2,5;

∆𝑘𝑛 = |sin(3𝑥𝑥11 −−0𝑐𝑜𝑠,6)𝑥−2 −𝑥20−,91,6 cos(𝑥13− 0,6)| = 3[sin(𝑥1 − 0,6) − 𝑥2 − 1,6] −

− cos(𝑥₁ − 0,6) [3𝑥₁ − 𝑐𝑜𝑠𝑥₂ − 0,9].

Бул эсептөөлөрдү Excelде аткарабыз. А2 жана А3 торчолорун бириктирип, ага n ди жайгаштырабыз, мында n – жакындаштырып эсептөөнүн саны. В2 торчосуна 𝑥₁^𝑛, ал эми В3 торчосуна 𝑥₂^𝑛 ж.б.у.с. берилгендерди кийиребиз (3-сүрөт). 

            Баштапкы жакындаштырылган 𝑥₁⁰ = 0,15 жана 𝑥₂⁰ = −2 маанилерин А4 жана А5 торчолоруна, ал эми С4 жана С5 торчолорунан баштап оң жакка карай формулалар жазылат (4-, 5-, 6-сүрөттөр).

 

Системанын жакындаштырылган чечимин табуучу негизги (7) формула В6 жана В7 торчолорунан баштап эсептелинет (7-, 8-сүрөттөр).

 

 

Берилген системанын чечими В12 жана В13 торчолорунан баштап 0,001 тактыкта эсептелине эсептелине баштады. Демек, бул мисалда каралган сызыктуу эмес теңдемелер системасынын чечимин 0,001 тактыкка чейин тегеректеп алууга мүмкүн. Системанын жакындаштырылган чечими 𝑥₁ ≈ 0,300, 𝑥₂ ≈ −2,039 барабар.

Жообу: (0,3;-2,039).

Колдонулган адабияттар:

1.      Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб.пособие для техникумов. – 2-е изд., перераб.и доп. – М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

2.      Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. университета, 2008. 148 с.

3.      Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.

4.      Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л., Феклисов Г.И. Численные методы. Учебник для техникумов. М., «Высш. школа», 1976,

368 с.

5.      Интернет-ресурс: https://ru.wikipedia.org  

---

[1] Тейлордун катары – бул берилген функцияны даражалуу функциялардын чексиз суммасына ажыратуу. Аны XIV кылымда Индияда, ошондой эле XVII кылымда Грегори жана Ньютон өздөрүнүн эмгектеринде колдонушкан. Тейлор катары функцияны көп мүчөлөр менен жакындаштырып эсептөөдө пайдаланылат.

[5]

Краткое описание документа:

Бул макалада сызыктуу эмес теңдемелер системасы, анын чечимдерин табуунун Ньютон методу жана маселелердин Excel таблицалык редакторундагы чыгарылышы каралган. Сызыктуу эмес теңдемелер системасынын чыгарылыштары типтүү мисалдар менен берилип, Ньютондун методу колдонулган жана Excelде чечимдери көрсөтүлгөн.