Объем. Объем прямоугольного параллеллепипеда

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда.

11 класс

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объема, вывести формулу объема прямоугольного параллелепипеда.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

- Запишите число и тему урока и сформулируйте цель нашего урока – с чем сегодня мы познакомимся на уроке?

2. Понятие объема тела

- Скажите, а что называется объемом?

Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.

3. Рассказ о мерах объема.

- Что мы измеряем объемом?

- В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, бочки, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.

Среди них английские меры объема:

Бушель - 36,4 дм³

Галлон - 4,5 дм³

Баррель (сухой) - 115,628 дм³

Баррель (нефтяной) - 158,988 дм³

Английский баррель для сыпучих веществ - 163,65 дм³

Русские меры объема

Ведро - 12 дм³

Насадка  - 30 дм³ = 30 литров

Бочка - 490 дм³

Штоф - 1,23 дм³ = 10 чарок

Чарка - 0,123 дм³=0,1 штофа= 2 шкалика

Шкалик - 0,06 дм ³ = 0,5 чарки

- В дальнейшем мы с вами будем учиться вычислять объемы пирамиды, призмы, конуса, цилиндра.

 Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли  в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью  своего метода объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

Определение объема, аналогично определению площади плоской фигуры. Что значит найти площадь плоской фигуры? Это значит найти сколько раз в ней укладывается единичный квадратик. Соответственно, объем тела – это количество единичных кубиков, составляющих это тело.

Сначала мы рассмотрим простые тела – тела, которые можно разбить  на конечной число треугольных пирамид.

4. Постановка задачи

- Наша задача на уроке – найти для объема выражение в виде некоторого числа, измеряющего его величину.

При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).

2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.

5. Вывод формулы объема прямоугольного параллелепипеда

Пусть нам нужно вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 20 см, ширина – 12 см и высота параллелепипеда – 5 см.

 

Площадь основания этого параллелепипеда будет равна 20·12 = 240 (см²). Значит, на его основании в один слой можно уложить 240 кубических сантиметров. Всего таких слоев будет пять. Объем данного параллелепипеда будет равен 240·5 = 1200 (см³).

Если длину основания прямоугольного параллелепипеда обозначим через a, ширину его – b и высоту параллелепипеда – через c, то получим формулу: V=abc, где V – объем прямоугольного параллелепипеда. Произведение ab выражает площадь основания прямоугольного параллелепипеда, а  c – его высоту. Следовательно, в этом случае объем прямоугольного параллелепипеда  равен произведению площади его основания на высоту.

Примечание. Длина, ширина и высота параллелепипеда должны быть измерены одной и той же мерой.

6. Решение задач.

1. (устно) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 11 см и 12 см, а высота равна 3 см.

(V= 11·12·3= 396 см³).

- Как вы думаете, если я перелью воду из маленького стакана в большой, объем воды уменьшится?

- А как вы думаете чему равен объем куба?

- А что станет с объемом воды, когда я соединю воду из двух стаканов в один?

2. (учебник стр. №1)Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?

- Что дано по условию задачи?

Дано: три куба; а=3см; а=4 см; а=5 см. Найти: а.

Решение:

_ Чему равен объем нового куба?

Объем нового куба будет равен сумме объемов трех данных кубов, т.е. V = V+V+V.

- Как найти объем первого куба? Объем второго куба? Объем третьего куба? V=3³=27; V=4³=64;  V=5³=125.

 V= 27+64+125=216.

_ Зная объем куба, как найти сторону куба?

 а= =6 (см).

Ответ: 6 см.

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в два раза?

- Что дано по условию задачи?

Дано: V= 32. Найти: V, каждое ребро которого меньше в два раза.

Решение:

- Как найти объем параллелепипеда?

 V= abc = 32.

- Если мы уменьшим одно ребро параллелепипеда в два раза, во сколько уменьшиться объем самого параллелепипеда? (в два раза)

- Если уменьшим другое ребро в два раза, то во сколько раз уменьшится объем получившегося параллелепипеда относительно данного параллелепипеда? (в 4 раза).

- И если мы уменьшим третье ребро параллелепипеда, то во сколько раз уменьшится объем получившегося параллелепипеда относительно данного параллелепипеда? (в 8 раз).

- Итак, объем был равен 32, уменьшился в 8 раз, значит объем новго параллелепипеда будет равен? (4)

V= =.

Ответ: V=4.

7. Итог урока

- Что нового узнали на уроке?

- Чему научились?

(продолжите фразу)

- Сегодня я повторил….

- Сегодня я закрепил…

- Сегодня я мознакомился….

Краткое описание документа:

Конспект урока геометрии в 11 классе по теме "Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда".

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, бочки, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
В данной разработке вводится понятие объема тел, рассматриваются свойства объема, выводится формула объема прямоугольного параллелепипеда.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.