ОБЛАСТНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ 2016/2017 УЧЕБНЫЙ ГОД, Секция «Математика», "Использование подобия при измерительных работах"

• 1 слайд

  Использование подобия треугольников при измерительных работах
  
  Подготовили:
  Кобзов Даниил,
  Рустамжонов Достонбек
  учащиеся 8 класса
  ГБОУ школы-интерната № 1 г.о. Чапаевск
  2017 г
  

• 2 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие сегодня являются профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых, для биологов.
  Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теориями; при изготовлении технических чертежей – выполнять геометрически построения.
  
  

• 3 слайд

  Цель работы: узнать больше о подобии треугольников, и каким образом оно применяется на местности при измерительных работах. Применить на практике полученные знания.
  
  Объекты и предметы исследования: высота школы-интерната, высота дерева
  
  

• 4 слайд

  
  В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с различными проявлениями подобия, однако подобие в обыденном смысле и с математической точки зрения – не одно и то же.
  Как с помощью простых приспособлений можно измерять высоту предмета, расстояние до недоступной точки?
  Существует множество способов производить подобные измерения при помощи весьма незамысловатых предметов и даже без всяких приспособлений. Мы попытаемся выделить способы определения высоты предмета, вывести необходимые формулы и применить их при решении ряда задач.
  Если знать теорию подобных треугольников, то такие чудеса выполняются достаточно просто.
  
  

• 5 слайд

  С треугольниками мы знакомы с детства. Более подробно мы узнали о них в курсе геометрии с 7 класса. Эта геометрическая фигура таит в себе много интересного и загадочного.
  С помощью треугольника можно решать много практических задач.
  Какие треугольники называются подобными?
  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  Признаки подобных треугольников.
  Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  
  

• 6 слайд

  Очень часто для применения подобия на местности, возникает необходимость построения. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог.
  В большинстве случаев для измерения применяется подобие треугольников.
  Подобие треугольников можно применять для разных целей. Например, для измерения высоты дерева, дома, телеграфного столба, расстояния до недоступной точки и т.д.
  
  

• 7 слайд

  Способ Фалеса
  Самый легкий и самый древний способ, – который греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и Фараон, собравшиеся у подножья высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывающего по тени высоту огромного сооружения. Фалес выбрал день, и час когда его тень равнялась его росту, тогда и тень пирамиды должна соответствовать ее высоте.
  
  

• 8 слайд

  С помощью карманной записной книжки
  

• 9 слайд

  С помощью зеркала
  

• 10 слайд

  С помощью прибора (равнобедренного треугольника)
  

• 11 слайд

  С помощью тени
  

• 12 слайд

  Результаты измерений школы
  

• 13 слайд

  Результаты измерений дерева
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение недоступного расстояния (ширины реки)
  
  

• 15 слайд

  Способ с монетой
  ∟∟
  ∆ НРМ и ∆ НАВ: НРК = НАВ – как односторонние, при параллельных прямых АВ и РК
  НМК = НОВ = 900
  ∆НАВ подобен ∆НРК
  КР : АВ = НМ : НО
  2 см : 1500 см =
  = 70 см : НО
  НО = 52500 см = 525 м
  Ответ: 525 м.
  

• 16 слайд

  Мы узнали о том, что знание подобия очень важны и могут
  пригодится нам в жизни. Мы считаем, что подобие треугольников
  в жизни незаменимо. Подобие применяется от школьной тетради
  вплоть до вселенной. Также мы постарались применить подобие
  треугольников при измерениях на местности на местности.
  Знания, полученные в ходе исследовательской работы, помогут
  нам в дальнейшем обучении.
  Мы исследовали, конечно, не все различные способы
  измерения на местности. Так же мы понимаем, что наши
  измерения неточные, это зависит и от погодных условий, ведь
  измерения проводились в зимнее время, и достичь ровной
  поверхности нам не удалось.
  
  

• 17 слайд

  Спасибо за внимание!
  

государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области «Школа-интернат №1 городского округа Чапаевск Самарской области»

ОБЛАСТНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ 2016/2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

Секция «Математика»

Тема: Использование подобия при измерительных работах

Ф.И.О. Кобзов Даниил Алексеевич,           Рустамжонов Достонбек Рустамжонович

 Класс: 8

Руководитель:

Ф.И.О. Федосеева Ольга Васильевна, учитель первой квалификационной категории

Работа допущена к защите: «  »      2017г.

Количество баллов:

Самара 2017 год

Введение:

Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие сегодня являются профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых, для биологов.

Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теориями; при изготовлении технических чертежей – выполнять геометрически построения.

На уроках геометрии мы прошли подобие треугольников. Нам эта тема очень понравилась. На уроках геометрии мы узнали, что с помощью подобия треугольников можно измерять очень большие высоты и недосягаемые расстояния. Нам стало очень интересно, и мы решили больше узнать об этом, попытаться самим измерить некоторые высоты и проанализировать получившиеся результаты.

Цель работы: узнать больше о подобии треугольников, и каким образом оно применяется на местности при измерительных работах. Применить на практике полученные знания.

Задачи:

Собрать литературу по данному вопросу.

Изготовить необходимое оборудования для измерения на местности.

Показать умение проводить измерительные работы на местности: измерить при помощи подобия, объекты, находящиеся на территории  школы-интерната  несколькими способами и сравнить получившиеся результаты.

Вычислить погрешность измерения.

Объекты и предметы исследования: высота: школы-интерната, дерева.

Глава I

С треугольниками мы знакомы с детства. Более подробно мы узнали о них в курсе геометрии с 7 класса. Эта геометрическая фигура таит в себе много интересного и загадочного.

С помощью треугольника можно решать много практических задач.

Что такое подобные треугольники?

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобных треугольников.

Ø Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Ø Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Ø Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников в жизни.

Очень часто для применения подобия на местности, возникает необходимость построения. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог.

В большинстве случаев для измерения применяется подобие треугольников.

Способы применения подобия

Подобие треугольников можно применять для разных целей. Например, для измерения высоты дерева, дома, телеграфного столба, расстояния до недоступной точки и т.д.

1.1 Способ Фалеса

Самый легкий и самый древний способ, – который греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и Фараон, собравшиеся у подножья высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывающего по тени высоту огромного сооружения. Фалес выбрал день, и час когда его тень равнялась его росту, тогда и тень пирамиды должна соответствовать ее высоте.

Таким образом, можно измерить и высоту дерева.

Но этот способ не всегда можно применить. Чтоб не дожидаться когда ваша тень станет равна вашему росту, можно поступить проще.

рис. 1

Измерить тень дерева и вашу собственную. Во сколько раз тень дерева больше вашей тени, во столько же раз дерево выше вашего роста. Составим пропорцию (рис. 1): AB : ED = BC : EF.

Это вытекает из подобия треугольников АВС и DEF.

Но этим способом мы получаем не совсем точные результаты.

1.2 Карманная записная книжка (рис. 2)

рис. 2

Можно измерить высоту дерева с помощью записной книжки, если она снабжена карандашом, всунутым в чехол или петельку при книжке. Она поможет построить вам в пространстве два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаза так, как показано на (рис. 2).

Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхним обрезом книжки на столько, чтобы глядя из точки Е, видеть вершину В дерева покрытой кончиком О карандаша. Тогда из подобия ∆ ECB и ∆ EFO, высота ВС определится из пропорции: BC : OF = EC : FE.

К полученному расстоянию ВС нужно прибавить еще длину СD, т. е. – на ровном месте высоту глаза над почвой.

1.3 Зеркало

рис. 3

Высоту дерева можно определить при помощи зеркала. На некотором расстоянии от измеряемого дерева на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку дерева А. Тогда дерево АВ во столько раз выше роста наблюдателя ЕD, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя.

Способ основан на законе отражения света. Вершина А отражается в точке А₁ так, что АВ = А₁В. (рис. 3).

Из подобия же треугольников ВСА₁ и СЕD следует, что А₁В : ЕD = ВС : СD.

В этой пропорции остается лишь заметитьА₁В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

1.4 С помощью равнобедренного треугольника

Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без тени. Мы можем воспользоваться свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого надо изготовить один простой прибор, его можно изготовить из дощечки и булавок (рис. 4).

рис.4

На дощечке любой формы намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника.

В них втыкается по булавке.

К верхней булавке привязывается ниточка с грузиком.

Приближаясь к дереву или отдаляясь от него вы всегда найдете такое место А (рис. 5), из которого, глядя на булавки E и F, увидите, что они покрывают верхушку С дерева: это значит что продолжение гипотенузы EF проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние ЕВ равно СВ, так как Е = B.

рис.5

Следовательно, измерив, расстояние ЕВ и прибавив OB, т. е. возвышение АЕ глаза над землей, получим искомую высоту дерева.

Применение подобия на практике

По способу Жюля Верна

Этот способ описан в книге у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров». Там инженер и Герберт измеряют высоту площадки дальнего вида. Мы расскажем этот способ на примере измерения дерева.

Здесь нужен шест, который придется воткнуть в землю отвесно так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы лежа, (как показано на рис.6).

 рис. 6

было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Получим два прямоугольных треугольника. Катетами первого будет являться шест и расстояние от шеста до головы человека лежащего на земле. Катетами второго треугольника будут являться: расстояние от головы человека до дерева и та высота дерева, которую нам нужно определить. Мы можем определить расстояние от головы до шеста и от головы до дерева, так же нам известна высота шеста, следовательно, мы можем составить пропорцию и найти искомую высоту.

Измерение недоступного расстояния

Так же при помощи подобия можно измерить расстояния от точки до недоступной точки, например находящейся на другом берегу реки.

С помощью подобия можно измерять и расстояния, которые невозможно измерить. Например, ширину реки.

АВ это ширина реки. Находим точку С на продолжении АВ с помощью прибора . Держим этот прибор так, чтобы смотря вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. затем намечается прямая СD под прямым углом к СА, с помощью этого же прибора. На прямой СD отмечают точки Е и F, так чтобы СЕ было в несколько раз больше ЕF. Затем в точке М с булавочным прибором намечают направление FG, перпендикулярное к FС. Теперь идя по прямой FG, отыскивают на этой прямой такую точку Н, из которой точка Е кажется покрывающей точку А. Получилось, что FН во столько раз меньше АС во сколько FЕ меньше ЕС.

Глава II

Измерение высоты школы-интерната различными способами

1.1Способ с помощью зеркала

 рис.7

Для измерения высоты школы измеряли:

Расстояние от меня до зеркала (СD) – 180 см

Расстояние от зеркала до школы (DB) – 1100 см

Мой рост (КС)  – 164 см

Высота школы = 1100 ∙164 : 180 = 1002,2 см = 10,02 м

1.2 Способ с тенью

Рост Достонбека 164 см, а его тень была равна 410 см, в 2,5 раза больше него. Значит тень школы-интерната тоже в 2,5 раза больше самой школы. По измерениям тень школы-интерната равна 2460 см, разделим на 2,5 и получим

984 см, значит, высота школы равна 984 см = 9,84 м.

1.3  При помощи записной книжки

                                С

 О                                                           рис.8

Для вычисления высоты школы мы измерили:

Ширину записной книжки (FD) – 15 см

Карандаш (DE) – 20 см

Расстояние от меня до школы (FO)– 663 см

Уровень глаза над землей (ОВ) – 100 см

Высота без уровня глаза над землей (СВ) = 663 ∙ 20 : 15 = 884 см

Высота школы (ОС)  = 884 см + 100 см = 984 см = 9,84 м

1.4 При помощи прибора:

Мы взяли прибор, который сами изготовили (рис. 4). Нашли то место, в котором верхушка С школы являлась продолжением гипотенузы ЕF треугольника EFD.

Так как угол треугольник EFD равнобедренный, значит и треугольник ЕСВ тоже равнобедренный. Мы измерили расстояние ЕВ, оно получилось равно 988 см и прибавила к нему ОВ = 100 см. Высота школы получилась равна 998 см = 9,98 м.

                                            рис.9

Высота школы-интерната:

Способ	Результат	Погрешность относительно технического паспорта
При помощи зеркала	10,02	+ 0,02 м
При помощи тени	9,84 м	- 0,16 м
При помощи записной книжки	9,84 м	- 0,16 м
При помощи прибора	9,98 м	- 0,02 м
Среднее арифметическое	9,92 м

Вывод: по техническому паспорту школы, высота школы равна 10 м. По нашим расчетам более точные измерения получились при помощи зеркала и при помощи прибора, изготовленного нами. А среднее арифметическое всех вычислений близко к данным технического паспорта.

2. Измерение дерева различными способами

На территории школы-интерната растет много различных деревьев: каштаны, березы, ели.  Мы выбрали высокое дерево и провели его измерения.

2.1 При помощи зеркала

Мы нашли точку,  в которую, положив зеркало была видна вершина дерева.

Для вычисления высоты дерева мы измерили:

Расстояние от меня до зеркала – 174см

Расстояние от зеркала до дерева – 942см

Мой рост – 164см

Высота дерева = 942 ∙ 164 : 174 = 888 см = 8,88 м

Высота дерева = 888 см = 8,88 м

2.2 С помощью записной книжки

Я взял записную книжку выдвинул карандаш с вершиной Е и встал на то место, чтобы глядя из точки О на вершину Е я видел вершину В дерева на одной линии с Е и О

  рис.10

Получились подобные треугольники ВОС и ЕОF. Высоту дерева можем узнать из пропорции: .

Для вычисления высоты дерева мы измерили:

Ширину записной книжки – 15 см

Карандаш – 20 см

Расстояние от меня до дерева – 585 см

Уровень глаза над землей – 100м

Высота дерева без уровня глаза над землей = 585 ∙ 20 : 15 = 780 см

Высота дерева = 780 см + 100 см = 880 см = 8,8 м

2.3 С помощью тени

Рост Достонбека 164 см, а его тень была равна 410 см, в 2,5 раза больше меня. Значит тень дерева тоже в 2,5 раза больше его тени. По измерениям тень дерева равна 2190 см, разделим на 2,5 и получим 876 см, значит, высота школы равна

876 см = 8,76 м.

2.4 При помощи прибора

Мы взяли прибор, который сами изготовили (рис. 4). Нашли то место, в котором верхушка дерева являлась продолжением гипотенузы АВ треугольника АВС.

Так как угол треугольник АВС равнобедренный, значит и треугольник АМК тоже равнобедренный. Мы измерили расстояние АК, оно получилось равно 783 см и прибавила к нему ОК = 100 см. Высота дерева получилась равна

883 см = 8,83 м

Высота дерева

Способ	Результат	Погрешность относительно среднего арифметического
При помощи зеркала	8,88 м	+ 0,06
При помощи тени	8,76 м	- 0,06
При помощи записной книжки	8,8 м	- 0, 02
При помощи прибора	8,83 м	+ 0,01
Среднее арифметическое	8,82 м

Итоговая таблица

Способ исследования	Школа-интернат	Дерево
При помощи зеркала	10,02	8,88 м
При помощи тени	9,84 м	8,76 м
При помощи записной книжки	9,84 м	8,8 м
При помощи прибора	9,98 м	8,83 м
Среднее арифметическое	9,92 м	8,82 м

Способ с монетой

Читая литературу, мы познакомились вот с такой задачей:

Дерево высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаз. Найдите расстояние от дерева до наблюдателя.

Решение:

 ∆ НРМ и ∆ НАВ: НРК = НАВ – как односторонние, при параллельных прямых АВ и РК

 НМК = НОВ = 90⁰

∆НАВ подобен ∆НРК

КР : АВ = НМ : НО

2 см : 1500 см = 70 см : НО

НО = 52500 см = 525 м

Ответ: 525 м.

Нас  эта задача очень заинтересовала. И мы решили продолжить наши исследования и составить задачи по данной теме, используя различные способы.

Выводы:

Мы узнали о том, что знание подобия очень важны и  могут  пригодится нам в жизни. Мы считаем, что подобие треугольников в жизни незаменимо. Подобие применяется от школьной тетради вплоть до вселенной. Мы узнали много нового об этом свойстве треугольников и постарались применить его на местности. Знания, полученные в ходе исследовательской работы, помогут нам в дальнейшем обучении.

Мы попытались исследовать, конечно, не все различные способы измерения на местности и применить их на практике. Так же мы понимаем, что наши измерения неточные, это зависит и от погодных условий, ведь измерения проводились в зимнее время, и достичь ровной поверхности нам не удалось.

Библиография:

1.  Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняков, И. И. Юдина. Геометрия. М. Просвещение. 2005 г. 138 с.

2. Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. Домодедово. 1994 г. 11-27 с.

3. И. И Баврин. Большой справочник школьника. Математика. М. дрофа. 2006 г. 435 с.

4. https://yandex.ru/images/search?p=1&text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B0%20%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BE%D1%82%D1%8B%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&noreask=1&lr=11141