Обобщающая таблица по решению тригонометрических уравнений заменой переменных

Шпилева Людмила Александровна, МАОУ «Лицей «Технический» г. Владивостока»

Тригонометрические уравнения,  решаемые заменой переменных

№	Вид уравнения	Формула для преобразования	Получившееся уравнение	Замена переменных, ограничения
1	acos2 xbsinxc  0	cos2 x 1sin2 x	a1sin2 xbsin2 x  c  0	t  sin x, t 1
	asin2 xbcosxc  0	sin2 x 1cos2 x	a1cos2 xbcos2 x c  0	t  cosx, t 1
2	acos2xbsinxc0	cos2x 12sin2 x	a12sin2 xbsin x c  0	t  sin x, t 1
	acos2xbcosxc 0	cos2x  2cos2 x1	a2cos2 x 1bcos x  c  0	t  cosx, t 1
3	atg2xbcos2 xc  0	1 tg2x      2       1 cos x	 1             a 2 1bcos2 xc 0 cos x 	t  cos2 x; 0  t 1
	a ctg2x bsin2 x c  0	1 ctg2x  2 1 sin x	 1             a 2 1bsin2 xc 0 sin x 	t  sin2 x; 0  t 1
4	1 atgx b 2 c  0 cos x	1            2 2  tg x 1 cos x	atg x  btg2x 1 c  0	t tg x;tR
	1 actgx b 2  c  0 sin x	1              2 2  ctg x 1 sin x	actg x bctg 2x 1 c  0	t  ctg x;tR
5	acos2 2xbsin2 xc  0	1cos2x sin2 x        2	acos2 2x b1cos2xc  0                                           2       	t  cos2x; t	1
	acos2 2xbcos2 xc  0	1cos2x cos2 x       2	acos2 2x b1cos2xc  0                                           2       	t  cos2x; t	1
	asin2 2xbsin2 xc  0	sin2x 2sinxcosx cos2 x 1sin2 x	a4sin2 xcos2 xbsin2 xc  0 4asin2 x1sin2 xbsin2 xc  0	t  sin2 x; 0 	t 1
	asin2 2xbcos2 xc  0	sin2x 2sin xcosx sin2 x 1cos2 x	a4sin2 xcos2 xbcos2 xc  0 4acos2 x1cos2 xbcos2 xc  0	t  cos2 x; 0 	t 1
	asin2 2xbsin2 xc  0	1cos2x sin2 x          2 sin2 2x1cos2 2x 1cos2x cos2 x         2	a1cos2 2xb1cos2x c  0 2	t  cos2x; t	1
	asin2 2xbcos2 xc  0		a1cos2 2xb1cos2x c  0 2	t  cos2x; t	1
7	Однородные уравнения второй степени
	acos2 xbcosxsinxcsin2 x0 (acos2 xbsin2xcsin2 x0)	Разделить уравнение на cos2 x (или sin2 x)	abtg xctg2x  0 (a2btg xctg2x  0)	t tg x;tR
	Однородные уравнения третьей степени
	acos3 xbcosxsin2 x                   ccos2 xsin xdsin3 x  0	Разделить уравнение на cos3 x (или sin3 x)	2                                                         3 a btg x ctgx  d tg x  0	t tg x;tR
8	Уравнения, сводящиеся к однородным
	acos2 xbsin2xcsin2 x  d	d  d (sin2 x cos2 x) sin2x 2sinxcosx	a dcos2 x 2bsin xcosx cdsin2 x  0; a d 2btgx c dtg2x  0	t tg x;tR
	asin2 xbsin2x  d		a dsin2 x 2bsin xcosx d cos2 x  0; adtg2x2btgxd  0	t tg x;tR

33

Шпилева Людмила Александровна, МАОУ «Лицей «Технический» г. Владивостока»

	acos2 xbsin2x  d	d  d (sin2 x cos2 x) sin2x 2sinxcosx	a dcos2 x  2bsin xcos x  d sin2 x  0; ad2btgxd tg2x  0	t tg x;tR
	acos2xbsin2xdcos2 x  0	cos2x   cos2 xsin2 x sin2x 2sinxcosx	a  dcos2 x  2bsin xcosx  asin2 x  0; ad2btgxatg2x  0	t tg x;tR
	acos2xbsin2xdsin2 x  0		d asin2 x 2bsin xcosx acos2 x  0; d atg2x2btgxa  0	t tg x;tR
	asinxbcosxc	x         x sin x  2sin      cos                                 2         2                           x            x cosx cos2 sin2                                              2           2 c  csin2 xcos2 x	x        x              x        x  2asin         cos     bcos2           sin2                            2       2              2        2                   x            x   csin2           cos2    ; bccos2 x                    2            2                    2 bcsin2 x  2asin x cos x  0;                         2               2       2 bc2atg x bctg2 x  0                                     2                      2	x        t  tg   ;tR 2
	asinxbcosxc	2tgx         sin x           2   1 tg2 x 2 1tg2 x cosx  2 1 tg2 x 2	2tgx              1 tg2 x          a           2   b              2  c                1 tg2 x           1 tg2 x                                  2                      2	x        t  tg   ;tR 2 Проверка: не яв-ся ли числа 2nкорнями уравнения

34

Краткое описание документа:

Представлена обобщающая таблица по  решению различных  тригонометрических  уравнений с помощью замены переменной. Такую таблицу полезно составить и заполнять с учащимися профильных классов  при изучении темы или при обобщении материала. Основа таблицы может быть заготовлена в начале изучения темы, а затем заполняться по ходу изучения темы.

        В таблице рассмотрены большое количество тригонометрических уравнений, решаемых заменой переменной, указан общий вид уравнений, формулы, необходимые для приведения уравнения к нужному виду; вид замены.