Обобщающее занятие по теме.docx

Обощающее занятие по теме "Многочлены от одной переменной" в 10 классе

Урок по алгебре и началам анализа в10 классе Учитель: Ерёмина Людмила Александровна Тема урока: «Обобщающее занятие по теме «Многочлены от одной переменной» «Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки»  Г. Лейбниц Цели урока:  1.Обучающая – показать использование теории многочленов в решении алгебраических задач; 2.Развивающая – развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов; 3.Воспитывающая – воспитывать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке. План урока:  1.Краткие исторические сведения. 2.Решение типовых задач по теме. 3.Найдите ошибку! 4.Устно! 5.Знаете ли вы теорию? 6.Умеете ли пользоваться теоремой Виета? 7.За страницами Вашего учебника.  8.Математическая игра. 9.Подведение итогов. Содержание урока: 1.Немного истории.     В начале урока с краткими историческими сведениями из истории многочленов с одним переменным выступает один ученик. О норвежском математике Н.Абеле, строго доказавшем невозможность решения в радикалах уравнений пятой и высших степеней рассказывает другой ученик. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. Современная же математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а0,а1,…,аn являются объектами произвольной природы, а не только числами. Теория симметрических многочленов начала развиваться в связи с доказанными Ф.Виетом формулами, выражающими коэффициенты многочлена, как симметрические функции его корней. 2.Типовые задачи. Класс состоит из двух подгрупп: «Бином» и «Полином». От каждой подгруппы к доске приглашаются по 2 ученика для решения типовых задач по теме «Многочлены» (Приложение №4, «Бином» №1 и №4, «Полином» №2 и №3 ). 3.Найдите ошибку! Пока вызванные учащиеся решают задачи на доске, за отдельно стоящие парты выходят ещё по одному учащемуся от подгруппы, они отвечают на вопросы (Приложение №1). На эти же вопросы (Приложение №1) письменно отвечает каждая подгруппа. Баллы «+»(верно) суммируются и подводится итог. После этого рассматривается решение типовых задач, оформленных на доске, учащиеся проверяют решение, делают замечания или задают вопросы, оценивают ответы подгрупп- соперники.  4.Устно! Ответить на вопросы (Приложение №3).За каждый верный ответ подгруппа получает один балл. 5.Знаете ли вы теорию? По 2 учащихся от каждой подгруппы готовят ответы на теоретические вопросы, вынесенные на зачёт (Приложение №2).  В это время по 2 ученика от каждой подгруппы устно отвечают на 5 вопросов теоретического материала темы «Многочлены» (Приложение №5). Номер вопроса ученик выбирает сам с помощью бочонков лото. Ответы по теории заслушиваются после выполнения заданий №5-6,оценивает ответы учитель. 6.Умеете ли вы пользоваться теоремой Виета?  Не решая уравнения х2 + 13х + 45 = 0 найдите сумму квадратов его корней.  Решение. Теорему Виета применять нельзя, т.к. дискриминант рассматриваемого квадратного трёхчлена отрицателен. Корни уравнения не существуют, и найти сумму квадратов его корней нельзя. 7.За страницами Вашего учебника.  Рассказать о математиках, имена которых связаны с теорией многочленов: 1.Этьен Безу (1730-1783) Французский математик, член Парижской Академии. Его работы посвящены исследованию свойств систем алгебраических уравнений высших степеней и исключению неизвестных в таких системах. Мы рассматривали теорему Безу о делении многочлена на линейный двучлен. 2. Уильям Джордж Горнер (1786-1837)  Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана схема деления многочлена на двучлен х-α (схема Горнера).Схема была предложена Горнером в 1819г. 8.Математическая игра. Приложение №6. 9.Подведение итогов. Суммируются все баллы, набранные подгруппами по всем заданиям. Награждение группы-победителя. 10. Домашнее задание. 1. Доказать, что выражение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4) + 1 является квадратом трёхчлена. Ответ: (х2 + 5х + 5)2 2. Многочлен Р(х) при делении на х-2 даёт остаток 5, а при делении на х-3 остаток равен 7. Найдите остаток от деления Р (х) на х2 - 5х + 6. Ответ: 2х+1 3. Подготовиться к контрольной работе.  ПРИЛОЖЕНИЯ к уроку «Обобщающее занятие по теме «Многочлены от одной переменной» Приложение №1. Найдите ошибку.  Совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Бернард Шоу 1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. 2.Нулевым многочленом называется любое отличное от нуля действительное число. 3.Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.  4.Многочлен f(х) делится на многочлен φ(х) не являющийся нулевым многочленом, если: a) f(х) = φ(х)•q(х) + r(х);  b) deg q(х)< deg φ(х) или r(х)=0, где q(х) – неполное частное, r(х) – остаток.  5.Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х + α равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α. 6.Если многочлен Р(х) делится без остатка на (х – α)к, но не делится без остатка на (х – α)k+1, то число α является корнем кратности k для Р(х). 7.Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен φ(х) = х – α.  8.Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.  Приложение №2. 1.Многочлен от одной переменной (основные понятия). Действия над многочленами. 2.Теорема Безу. Схема Горнера, её применение. Корни многочлена, кратные корни. 3.Уравнения. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности. 4.Основные методы решения уравнений. Отыскание рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами.  Приложение №3.  Устно! 1. Найдите степень суммы многочленов: a) х4 – 1 и 2 – х4 b) х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 – 1. 2. Найдите степень произведения многочленов: (х2 – 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х – 1)3(х + 1)2 3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х – 1 на φ(х) = х – 1. 4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х – 1? 5. Делится ли многочлен f(x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на φ(х) = х + 1 нацело? 6. Найдите свободный член многочлена (х2 - х + 1)2008 + (х2 - х + 1)2008 7. Найдите сумму коэффициентов многочлена (х - 1)2008 + (х + 1)2008. Приложение №4. Типовые задачи по теме. 1.Известно, что многочлен 2х4 - х3 + 2 х2 + 1 делится на многочлен х2 - х + 1. Найдите частное от деления. 2.При каких значениях а и b многочлен ах2 + bх – 3 делится без остатка на х + 3, а при делении на х – 2 даёт остаток, равный 5? 3.Найдите целые корни уравнения х4 - 27 х2 – 14х + 120=0. 4.Разложите на множители многочлен (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) – 12. Приложение №5.  Знаете ли вы теорию? 1.Определение многочлена от х степени n.  2.Ненулевой многочлен. 3.Многочлен нулевой степени. 4.Степень суммы двух многочленов. 5.Степень произведения двух многочленов. 6.Условие равенства двух многочленов. 7.Деление многочленов с остатком. 8.Перечислите способы деления многочлена на многочлен. 9.Определение корня многочлена. 10.Теорема Безу. 11.Определение корня кратности k. 12.Продолжите формулировку теоремы: «Если многочлен Р(х) имеет попарно различные корни α1,α2,…,αn, то …» 13.Канонический вид (форма) для рациональных выражений. 14.Какие задачи можно решить с применением схемы Горнера? 15.Что можно сказать о количестве корней многочлена n-й степени? 16.Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Приложение №6.  Математическая игра На доске написан многочлен х3 + …+х2+ …+ х + … . Играют двое. Первый ставит на любое из пустых мест (оно обозначено тремя точками) целое число, отличное от нуля (положительное или отрицательное). Затем второй ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ставит целое число на последнее свободное место. Докажите, что первый может играть так, что независимо от хода второго все три корня получившегося многочлена оказались целыми числами (Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.Симметрия в алгебре; М. 1967 г.; Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева;Мн. 1984 г)