Обобщающий урок
математики в 10 классе по теме: «Применение производной к исследованию
функций»
n
Цель урока:
n
обобщить и систематизировать знания учащихся по
данной теме: нахождения промежутков монотонности, точек экстремума , нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции на концах отрезка;
n
развитие математической речи, логического мышления,
сообразительности, внимательности.
n
воспитание трудолюбия, аккуратности.
Оборудование: компьютеры, подключенные к Интернет, презентация ученика, раздаточный
материал для учащихся ( графики производной и графики функций, ответы к
заданиям, графики к исследуемой функции, листы самооценки)
Ход урока
Ребята ни для кого не
секрет, что каждая наука оперирует своей лексикой. Увлекшись изучением с вами
последней темы по алгебре, я в беседе с учителем литературы сказала: «Неважно
сколько ученик знает, но важно, чтобы у него была положительная производная».
Коллега не поняла меня. А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает важно,
чтобы скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того,
что его знания возрастут)
Эпиграф: нашего урока будет высказывание Конфуция
Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь
самый благородный,
путь подражания – это путь
самый легкий и
путь опыта – это путь
самый горький.
«Музыка может
возвышать или умиротворять душу,
живопись – радовать
глаз,
поэзия – пробуждать
чувства,
философия –
удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать
материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих
целей!»
Морис
Клайн
Каковы же цели нашего сегодняшнего обобщающего
урока по теме «Применение производной к исследованию функции?
(учащиеся формулируют цели урока)
Результаты
своей работы учащиеся будут заносить в оценочный лист
Оценочный лист
учащегося
Фамилия______________________________________________
Имя_________________________________________________
Этап урока
|
Задания
|
Количество
баллов
|
1
|
Проверка домашнего
задания (Разминка) (4 б)
|
|
2
|
Миниисследование «Соотнеси график производной и
график функции» (5 б)
|
|
3
|
Практика «Построй
эскиз графика» (3б)
|
|
4
|
Домашнее
творческое задание (4б)
|
|
5
|
Тест на
компьютере (6б)
|
|
6
|
Конкурс: «Выбери
сам» (3б)
|
|
Итоговое
|
количество
баллов
|
|
Оценка
|
|
|
Критерии
оценок:
«5» - 21-25 баллов
«4» - 18- 20
баллов
«3» - 12- 17
баллов
«2» - менее 12 баллов
I . Проверка домашнего задания (разминка)
- опрос по основным теоретическим положениям по теме (парная работа)
1.
Достаточный признак
возрастания (убывания) функции.
2.
Алгоритм нахождения
промежутков возрастания и убывания функции.
3.
Определение критических
точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
4.
Необходимое условие
экстремума.
5.
Достаточные условия
существования экстремума в точке: признак максимума и минимума.
6.
Алгоритм отыскания
экстремумов функции.
7.
Схема исследования функции
(с помощью производной).
8.
Алгоритм нахождения
наибольших и наименьших значений функции
a)
на отрезке
b)
на незамкнутом промежутке
презентация «Применение производной к
исследованию функции» (Бондаренко Татьяна обобщила теоретический материал)
II.
Практическое задание
соотнеси график производной и график функции
(каждый учащийся получает карточку с заданием
определенного уровня сложности)
ответы
«Примеры учат
больше, чем теория».
М.В. Ломоносов
Практическое задание Исследовать
функцию и построить график
Задание: исследовать на наличие экстремумов
функцию f(x)= и построить эскиз
её графика.
1. .
2.
3.
4. при х=0, х=2, х=-2
|
|
–2
|
|
0
|
|
2
|
|
|
_
|
0
|
+
|
0
|
_
|
0
|
+
|
|
æ
|
-7
|
ä
|
-3
|
æ
|
-7
|
ä
|
|
|
min
|
|
max
|
|
min
|
|
Наносим полученные точки на
координатную плоскость. Возникает проблема: какой линией соединить
имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной
функции? Предлагаем 4 варианта соединения точек. Какой из них верный?
Ответить на вопрос, можно
вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов производная равна нулю.
Значит, касательные к графику функции в этих точках должны быть параллельны
оси ОХ. Это возможно только на рисунке 4. Таким образом, линия
представленная на рисунке 4 наиболее точно отражает свойства заданной функции.
Вывод: строить график можно, исследуя функцию с
помощью производной, при этом нужно использовать не только координаты точек
экстремума, но и всю аналитически найденную информацию.
5. Интересная задача ( домашнее задание
Давыдовская Ольга )
Задача. Определить какое из чисел
больше?
Сравнить
числа:
(cos 1990) и (1+
cos 1991).
Возможно ли эту
задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить
нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к
нужному результату.
Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.
Задача сводится к
тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M<N.
В связи с только
что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания
функции:
Функция f возрастает
(убывает) на множестве Р, если для любых x1и x2 из
множества Р, таких, что x2 > x1 выполнено
неравенство f(x2) > f(x1) .
Целесообразно вспомнить это
определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как
относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям
какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности
и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных
условиях для учеников – задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.
Понятно, что
прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства
сохранит знак этого неравенства:
Положим С = 1990,
тогда:
C + M = 1990 +
cos l990; С + N = 1991 + cos l991.
Нетрудно видеть,
что если рассмотреть функцию f(x) = x + cosx,
то С + М =
f(1990), C + N = f(1991).
Итак, имеем две
точки x1 и x2:
x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;
надо сравнить
значения функции f(x) в этих точках.
Определим
характер монотонности f(x):
так как f'(x)
= 1 – sinx ≥ 0 и f'(x) = 0 при х = , то f(x) возрастает
на множестве всех действительных чисел.
Поэтому: f(1990)
< f (1991) => М + С < N + C => M < N
=>
(cos l990) <
(1 + cos l991)
Тест на компьютере http://egemaximum.ru/test-primenenie-proizvodnoj-k-issledovaniyu-funkcii/
(учащиеся выполняют
задание, выясняют правильность выполненных заданий, объясняют ошибки,
допущенные ими при выполнении данной работы, выставляют баллы в оценочный
лист)
Учитель подводит итог
работы учащихся
«Ум компьютера –
это ум человека, воплощенного в программу». Никакая машина не заменит труд человека, но
компьютер может сделать его более эффективным и интересным
Конкурс «Выбери
сам»
Учащиеся
сами выбирают карточки по своему уровню и желанию: уровень «А»(1 балл за
задание), «В» (2 балла за задание), «С» (3 балла за задание).
Часть А.
Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня
А выберите номер правильного ответа.
А 1. Найдите-5
1)3
2)2 3)-1 4)1
А 2. Укажите производную функции g(x)=+
1)2x+ 2)2х- 3)+ 4) -
А 3. Уравнение касательной к графику функции y= в
точке с абсциссой х0 = -3 имеет вид:
1)y=7x+13 2)y=7x+15 3)y= -7x+15 4)y = -7x+13
А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной,
проведенной к графику функции у=6х - в
его точке с абсциссой (-1).
1)-4 2)-6 3)6 4)8
А 5. Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику y= в
его точке с абсциссой 0.
1)2
2)1 3)0 4)-1
Часть Б.
Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ.
Для каждого из заданий ответом может быть целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби.
В6.
Найдите значение производной функции f(x)=2+ в
точке х0 =4.
В7. Укажите
число целых решений неравенства f '(x)0, если f(x)= f(x)= -
В8.
Найдите минимум функции g(x)=3- 5
В9.Укажите число точек экстремума функции g(x)=х3(х+1)4
Часть С.
Инструкция для учащихся. Запишите обоснованное
решение.
С10. При каких значениях а прямая у=ах является
касательной к параболе F(х)=-2х+4?
C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем
каждого из которых равен 32 см3, а одна из боковых граней является
квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания.
В ответе укажите этот периметр.
Итог урока. Рефлексия.
За что ты можешь
себя похвалить?
Что тебе удалось
на уроке?
Домашнее задание
Составить тест
(из пяти заданий по теме: "Производная").
Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только положительная
производная, чтобы знания ваши только возрастали. Спасибо за урок.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.