Обобщающий урок по теме "Комбинаторика"

Обобщающий урок
по теме
«Элементы комбинаторики»

Цель урока:

• Систематизировать изученный материал, подготовить учащихся к контрольной работе;

• Развивать математическое мышление.

Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить тонким
Уордсворд

Ход урока

I. Фронтальный опрос

Вопрос 1 :
Как обозначается произведение чисел от 1 до n?

Ответ:

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (n! =1 · 2 · 3…n)

Вопрос 2 :
Что называется размещением?
По какой формуле вычисляется размещение?
Ответ:

Размещением из n объектов по k называют любой выбор к объектов, взятых в определенном порядке из n объектов.

Число размещений из n объектов по k

обозначают и вычисляют по формуле:

Решите задачу

1.Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Решение:

A⁶₁₀= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5=151.200

Ответ: 151.200

Вопрос 3 :
Что называется перестановками?
Как обозначаются перестановки?
По какой формуле вычисляются перестановки?
Ответ:

Размещения из n э лементов по n называются перестановками.

Обозначение: P n

Формула для вычисления перестановок:

P n = A6 10 =n ·(n -1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1=n!

Решите задачу:

Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

P₅ = A₅⁵ = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Вопрос 4.
Что называется сочетаниями? Как обозначаются сочетания и по какой формуле производятся вычисления?

Ответ:

• Сочетаниями из n объектов по k называют любой выбор k объектов, взятых из n объектов.

• Обозначение:

• Формула для вычисления сочетаний:

Решите задачу

В классе 25 учеников. Сколькими способами можно из них выбрать 4 учащихся для дежурства?

Решение

Ответ 12650

II. Решение задач в группах с последующим обсуждением

1.Вычислить: а) 3! б)5!

Решение:

а) 3! = 1 · 2 · 3 =6

б) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

2.В конкурсе участвуют 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

Решение:

A³ ₂₀=20 · 19 · 18=6840

3.Сколько перестановок можно получить из букв, составляющих слово «апельсин».

Решение: P n=5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5=120

4.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 6 цветов?

III. Подведение итогов урока

Устные упражнения:
1. Делится ли число 30! на:

а) 90 б) 92 в) 94 г) 96 ?

2. Найти значение выражения:

3. Что больше: 6! · 5 или 5! · 6

Задачи

для домашней зачетной работы

по теме

«Элементы комбинаторики»

1 группа – «слабые»

2 группа – «средние»

3 группа – «сильные»

1 группа

• На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером различных стартовых пятерок?

• Сколько разных слов можно составить из слова «комбинаторика»?

• Для составления букета из девяти цветов в магазине имеются розы, гвоздики, хризантемы и пионы. Сколькими способами можно составить из этих цветов букет?

• Сколько существует четырехзначных номеров, не содержащих цифр 0, 5, 8?

Ответы и решения.

1-я группа

1.

2.

3.

4.

2 группа

• Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторится?

• Сколько чисел меньше миллиона можно записать при помощи цифр 8 и 9?

• В магазине имеются в продаже яблоки, апельсины, груши и мандарины. Сколькими способами можно образовать набор из 12 фруктов?

Ответы 2 группа

1

2. Шестизначных чисел . , пятизначных – 32 четырехзначных – 16, трехзначных – 8, двухзначных – 4, однозначных – 2. Всего – 126

3.

четырехзначных – 16, трехзначных – 8, двухзначных – 4, однозначных – 2. Всего – 126

3 группа

• Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

• Между четырьмя игроками в домино поровну распределяется 28 костей. Сколькими способами могут распределяться кости домино( очередность выбора костей не влияет на результат).

• У ювелира есть пять изумрудов. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Ответы 3 группа

1.) 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 3265920

2. Первый игрок 7 костей может выбрать способами, второй игрок

способами, третий игрок способами, четвертый игрок

способами. Общее число способов =

3. Два изумруда из пяти можно выбрать

способов, три алмаза из восьми

способов, два топаза из восьми способ. Всего способов 10 · 56 · 21 = 11760

Контрольная работа по теме:

«Элементы комбинаторики»

Цель: выявить степень усвоения учащимися изученного материалами и проанализировать ошибки, допущенные учащимися с целью дальнейшего их устранения: развивать навыки самостоятельной работы.

1 вариант

1. Из 30 участников собрание надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? способов

2. Курьер должен развести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? P₇=7!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7=5040 способов.

3. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

= 56 способов

4. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

400400 способов

5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 7, 8?

P6-P5=6!-5!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6-1 · 2 · 3 · 4 · 5=720-120 =600

2 вариант

1. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

способа

2. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

P₈=8!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8=40320

3. Учащимся дали список из 10 книг, которые нужно прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

способа

4. В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

способа

4. Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 5, 6, 7?

P5-P4=5!-4!=120-24=96

Литература для учителя

1.Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Под ред. С. А. Теляковского Москва Просвещение 2003г.

2.События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 классов. Мордкович А. Г., Семенов П. В. – Москва Мнемозина 2002г (к учебникам А. Г. Мордковича)

3.Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятности. Ткачев М. В., Федоров М. Е. - Москва Просвещение 2003г (к учебникам А. М. Алимова и др

4.Лютикас В. С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 средней школы. Москва Просвещение 1990г.

5. М. И. Зайкин. Математический тренинг. Москва Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС 1996г.

6. Основные понятия комбинаторики. Газета «Математика» №7 2004г.

7. Комбинаторика. Газета «Математика» №15, 16, 17 2004г.

8. Алгебра. Поурочные планы. 9 класс по учебнику Ю. Н. Нешкова, С.Б. Суворовой. Издательство «Учитель» 2004г.

Литература для учащихся

1.Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Под ред. С. А. Теляковского Москва Просвещение 2003г.

2.События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 классов. Мордкович А. Г., Семенов П. В. – Москва Мнемозина 2002г (к учебникам А. Г. Мордковича)

3.Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятности. Ткачев М. В., Федоров М. Е. - Москва Просвещение 2003г (к учебникам А. М. Алимова и др.)

4.Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. Москва Просвещение 1979г.

5.Математический энциклопедический словарь

6.Энциклопедия для детей Москва Аванта + 1998г

7.М. И. Зайкин. Математический тренинг. Москва Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС 1996г.