Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Обобщающий урок по теме: "Производная и её применение"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обобщающий урок по теме: "Производная и её применение"

библиотека
материалов

Урок – семинар по теме:

«Производная и её применение».

Подготовка к уроку: класс разбивается на три группы, каждая из которых получает задание, состоящее из общего задания для всех групп и индивидуального задания для данной группы (за 7–10 дней до урока).

Теоретическая часть домашнего задания (общая для всех групп).

  1. В чём заключается геометрический смысл производной?

  2. В чём заключается физический смысл производной?

  3. Какова роль знака первой производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке?

  4. Что происходит с производной в точке её экстремума?

  5. Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

Практическая часть домашнего задания (общая для всех групп).

  1. Вращение тела вокруг оси совершается по закону (t)=2t2 – 4t +3. Найти угловую скорость ω(t) (рад/с) вращения тела в момент времени t=4с.

  2. Определить угол, который составляет с осью Ох касательная к графику функции f(х)=2х2 в точках с абсциссами х0=hello_html_685d8d49.gif; и х0 = 1.

  3. Исследовать функцию и построить её график: y = 2x3+3x2 – 2

  4. Найти производную функции:

  1. f(х) = 4х3 – 3х-2+4hello_html_m34792c1c.gif hello_html_37ec980.gif +hello_html_159ba75c.gif;

  2. f(х) = (4х+1)∙(1–3х);

  3. f(х) =hello_html_m49a08b25.gif;

  4. f(х) = sin 2x;

  5. f(х) = cos(1– hello_html_6381fa63.gif);

  6. f(х) = (2х–1)100 и f ʹ(1);

  7. f(х) = hello_html_40c9522.gif

5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=х3+ 3х2 – 4 на отрезке [-4;1].

Практическая часть домашнего задания (индивидуальная для каждой группы).

  1. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

  2. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500м2. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

  3. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляют в сумме 36см. Чему равен наибольший объём такого параллелепипеда?

Урок – семинар

Тема: Производная и её применение.

Дидактическая цель: создать условия для систематизации изученного материала, выявления уровня овладения системой знаний и умений, опытом творческой деятельности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации.

Цели по содержанию:

Образовательные:

  • Закрепление и углубление знаний учащихся о производной и её приложениях к исследованию свойств функций;

  • Формирование умений по применению знаний и способов действий в

изменённой и новой учебных ситуациях.

Развивающие:

  • Развитие подсознательной активности учащихся, формирование учебно-познавательных действий при подготовке к уроку и в работе на уроке;

  • Углубление знаний учащихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.

Воспитательные:

  • Способствовать формированию у учащихся понятий о научной организации труда;

  • Способствовать формированию у учащихся познавательного интереса к предмету.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, парная;

Средства обучения: справочники учащихся, Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл., карточки для парной работы.

План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Решение домашних индивидуальных задач (трое учащихся у доски заранее записывают решение). После урока у всех собираются тетради, и проверяется общее д/з.

  3. Целеполагание и мотивация (историческая справка).

  4. Актуализация (кроссворд)

  5. Систематизация и обобщение пройденного материала (разминка).

  6. Работа в парах (применение учебного материала в знакомой и новой учебных ситуациях).

  7. Блицтурнир (проверка уровня обученности).

  8. Итоги урока.

Историческая справка.

(готовит и рассказывает ученик).

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И. Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и, сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решён целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII века.

С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако, в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Кроссворд по теме: «Производная». hello_html_501cdfa7.gif

1. Французский математик XVII века Пьер Ферма определял эту линию так: «Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки».

2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям как «скорость движения в данный момент времени» и «касательная к кривой в заданной точке».

3. Приращение какой переменной обычно обозначают ∆х?

4. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги.

5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках.

6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.

7. Как называется функция вида y=g(f(х))?

Разминка.

  1. В чём заключается геометрический смысл производной?

  2. В чём заключается физический смысл производной?

  3. Как связаны между собой монотонность функции и её производная?

  4. Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

  5. Укажите промежутки непрерывности функции:

а) f(х)= x2–2; г) f(х)= hello_html_610e886f.gif;

б) f(х)=hello_html_m659b3d55.gif; д) f(х)= 2х+12

в) f(х)=hello_html_m6ed5a3f3.gif;

6. Знак производной некоторой функции меняется по схеме, изображён ной на рисунке. Определите, на каких промежутках функция возрастает,

а на каких убывает.



hello_html_m3865828e.gif

x

y

7. На рисунке изображён график производной функции y=f ʹ(х). Найдите промежутки монотонности самой функции y=f(х).



8. По этому же рисунку укажите количество точек экстремума, их вид.



Работа в парах.

Карточка №1
1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y = 4х2–6х+1 1) yʹ =hello_html_1d037d75.gif

2) y =hello_html_m1e546d2b.gifhello_html_m5cdff76c.gif+4hello_html_m34792c1c.gif 2) yʹ = - 200∙(1–2х)99

3) y = (1–2х)100 3) yʹ =hello_html_m49946efc.gif

4) у =hello_html_5769804e.gif 4) yʹ = 8х–6

5) у = cos 2x 5) yʹ = -2∙sin 2x

6) у = 2∙sinhello_html_m24f51728.gif 6) yʹ = ‒ hello_html_m7b0570fe.gif

7) yʹ = 100∙(1‒2x)99

8) yʹ = hello_html_6a1c94eb.gifcos hello_html_m24f51728.gif

2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y= ‒ x3‒4x2+3x+16

3. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?



Карточка №2

1.Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y=3x4‒2x+3 1)y ʹ =cos x

2) y=hello_html_6eec8aff.gif x4 ‒ 0,5x2‒4x+1 2) y ʹ = 5∙(x+1)4

3) y= 5x-3+2hello_html_m5a39810d.gif hello_html_m329f5a7d.gif 3) y ʹ = 12x‒2

4) y= hello_html_6588041.gif 4) y ʹ = 2x3 ‒x ‒4

5) y= sin 4x 5) y ʹ = 4 ∙cos 4x

6) y=(x+1)5 6) y ʹ = 12x3 ‒2

7) y ʹ = ‒15x-4 + hello_html_m49e17d54.gif +hello_html_m30a1bd44.gif

8) y ʹ = hello_html_6b76c9f7.gif

9) y ʹ = 15x-2 +hello_html_46ff75d5.gif

2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y= 3х2 ‒ 4х + 5.

3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y= 2х2 ‒ 8х + 6 на отрезке [‒1;4].



Карточка №3

1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y= x5 + 9x20 +1 1) y ʹ = 40∙(4x+1)9

2) y= x‒2hello_html_m5a39810d.gifhello_html_m329f5a7d.gif 2) y ʹ = ‒3x-4 hello_html_m2138423e.gif

3) y= xsin x 3) y ʹ = 3x-2 +hello_html_m362ca607.gif

4) y=(4x+1)10 4) y ʹ = 5x4 + 180x19

5) y= hello_html_m22ab665c.gif 5) y ʹ = hello_html_m68086dfd.gif

6) y= x-3 +hello_html_4cc4d04e.gif 6) y ʹ = 1‒hello_html_m20db80cf.gif

7) y ʹ = sin x + xcos x

8) y ʹ = 1∙cos x

9) y ʹ = 10∙(4x+1)9

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)=x3 ‒ 2x2 + 3x +4 в точке x0=2.

3. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y =x3 + 3x2 +4.



Карточка № 4

1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y = ‒3x2 ‒ 13x 1) y ʹ = 1∙(‒ sin x)

2) y = sin x + 3x ‒1 2) y ʹ = ‒6x ‒ 13

3) y = ‒ hello_html_6a1c94eb.gif x6 ‒ 4x +hello_html_6b2fd1c.gif 3) y ʹ = ‒ 6∙sin 3x

4) y = hello_html_34c50f5f.gif 4) y ʹ = cos x + 3

5) y = 2hello_html_1dbe777c.gif 5) y ʹ = hello_html_m55710d6a.gif

6) y = hello_html_4c403bdb.gif 6) y ʹ = hello_html_1f39f03d.gif

7) y ʹ = hello_html_m5d582aed.gif

8) y ʹ =hello_html_b83a28f.gif

9) y ʹ =hello_html_1e001e75.gif

2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы hello_html_m507e667d.gif.

3. При каких значениях аргумента касательная к графику функции hello_html_1c54ef86.gif hello_html_m694ace99.gifсоставляет с положительным направлением оси Оx угол 45?

Карточка № 5

1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y =hello_html_m456555ab.gif 1) y ʹ = hello_html_m3ce14501.gif

2) y = hello_html_m1fbe4338.gif 2) y ʹ = hello_html_m22e2b4f7.gif

3) y = hello_html_m4cf4531b.gif 3) y ʹ = hello_html_6169e222.gif

4) y = hello_html_4601cda0.gif 4) y ʹ = 4

5) y = hello_html_77f95d95.gif 5) y ʹ = hello_html_32887e65.gif

6) y = hello_html_m4ec4afed.gif 6) y ʹ = hello_html_1350ae97.gif

7) y ʹ = hello_html_70c90f5b.gif

8) y ʹ= hello_html_51f0387.gif

9) y ʹ= hello_html_m38f853a3.gif hello_html_5f5c0b7a.gif

2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y =hello_html_m1a6a60f9.gif

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = hello_html_435bac8c.gif на отрезке [‒1;4].



Карточка № 6

1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.

Функции Производные

1) y = hello_html_288a436f.gif hello_html_m597c640b.gif 1) y ʹ= hello_html_m1cfb7a7.gif

2) y = hello_html_498a0114.gif 2) y ʹ= hello_html_m2dd02b04.gif

3) y = hello_html_m2703c08e.gif 3) y ʹ= hello_html_6858ee64.gif

4) y =hello_html_7ce6b924.gif 4) y ʹ= hello_html_m4bacb5da.gif

5) y = hello_html_2941e723.gif 5) y ʹ= hello_html_m20a4d81.gif

6) y = hello_html_m34370d52.gif hello_html_7e57e58d.gif hello_html_542f6972.gif 6) y ʹ=hello_html_m6fe65818.gif

7) y ʹ= hello_html_m7026d6a2.gif

8) y ʹ= hello_html_512df75.gif hello_html_7ac782e2.gif

9) y ʹ= hello_html_24c52e45.gif

2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m484fae55.gif hello_html_20d4fc9.gif, hello_html_5a0e86ce.gif- измеряется в метрах, t - в секундах. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t=2с.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= hello_html_m70dc63d1.gif в точке x0=1.



Блицтурнир.

В заключение семинара любой желающий может блеснуть знаниями в следующем блицтурнире.

1. Какое значение принимает производная в точке А?

Ответы:

  1. f ʹ (x)hello_html_m360d6129.gif

  2. f ʹ (x)hello_html_m360d6129.gif

  3. f ʹ (x) = 0



y = f (x)

A

















2. Какое значение принимает производная в точке В?

B



x

Ответы:
  1. f ʹ (x)=0;

y =f(x)

f ʹ (x) hello_html_m3e77203c.gif
  1. f ʹ (x)hello_html_m63c33baf.gif

x

y

3. Назовите промежуток убывания функции.

y= f(x)



Ответы:

hello_html_f43510c.gif

hello_html_m7c091692.gif

  1. hello_html_6e7346fe.gif

y

4. Назовите промежуток возрастания функции.

y = f(x)

hello_html_11852162.gifОтветы:

x

hello_html_59254371.gif

b) hello_html_445a717c.gif

c) hello_html_m1fc0beb2.gif







y

5. Назовите точки, в которых производная функции равна нулю.

x

Ответы:
  1. hello_html_2fdef496.gif;1);

  2. hello_html_12123185.gif;1);

y = f(x)

hello_html_m9f80c50.gif;0);
  1. hello_html_12123185.gif;0).





6. Функция y = fhello_html_m40463148.gif определена на промежутке (hello_html_m3b40c038.gif. На рисунке изображён график её производной. Найдите число точек экстремума функции

y = fhello_html_m7385afad.gif на промежутке (hello_html_m3b40c038.gif.



y

Ответы:
  1. 1;

x

2;
  1. 3;

  2. 4.

Итоги урока.

1)Заключительное слово учителя.

Исторически понятие производной возникло из практики. Возникнув из практики, понятие производной получило абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике. И я думаю, что мы рады тому, что небольшой кусочек дифференциального исчисления изучили и научились применять его на практике.

2) Рефлексия.

  1. Сейчас в тетради напишите предложение, выражающее Ваше эмоциональное состояние на уроке (можно просто прилагательное, наречие).

  2. Ответьте на вопросы:

  • Чему Вы научились на уроке?

  • В чём Вы испытали затруднения?

  • Что нужно сделать, чтобы улучшить результат?

3) Оценки на уроке.

  • Оценка учащемуся за блицтурнир.

  • Возможна оценка за активную работу во время разминки (одного, двух учащихся).

  • Оценка за работу в парах (будет поставлена тогда, когда проверятся тетради).

  • Оценка троим учащимся за представление домашних индивидуальных заданий.

4) Домашнее задание.

На оценку «3» — с.294 № 230(а), № 235(а)

На оценку «4», «5» — с. 294 № 232(в), № 236.

































hello_html_11852162.gif

















Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров685
Номер материала ДВ-066218
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх