Обобщающий урок по теме "Производная и её применение". Подготовка к ЕГЭ.

Методическое пособие для итогового повторения темы в 11 классе

«Производная функции и её применение».

Данный материал предназначается для подготовки учащихся к ЕГЭ по теме «Производная функции и её применение».

На итоговое повторение в 11 классе отводится определённое количество часов по всему курсу математики, поэтому очень важно отобрать для повторения каждой темы те ключевые моменты, которые нужны для решения тестовых задач.

На повторение данной темы отводится 3 часа, поэтому из них один час берём на контрольную работу, а 2 часа на решение задач, которые встречаются в базовом экзамене по математике и профильном.

«Применение производной» представлены двумя заданиями .

Задачи можно отнести к одной из следующих групп:

вычисление углового коэффициента касательной к графику функции в заданной точке или угла, образованного данной касательной с положительным направлением оси абсцисс;
нахождение промежутков возрастания или убывания функции;
нахождение точек максимума или минимума функции;
нахождение наибольшего или наименьшего значений функции.

Перед повторение темы учащимся предлагается дома составить опорный конспект.

На усмотрение учителя, можно выдать опорный конспект сразу и его использовать при подготовке на всех 3 уроках

Цели уроков:

Образовательные: повторить и обобщить знания учащихся по теме “Применение производной”, систематизировать способы деятельности учащихся по применению производной к исследованию функций, подготовка к ЕГЭ.
Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Опорный конспект по теме «Производная»

Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная
Постоянная	$(C)' = 0,\, C = const$
Степенная	$\left(x^{\alpha})' = \alpha\cdot x^{\alpha-1}\right,\, \alpha\in R$
Показательная	$\left(a^x\right)' = a^x\ln a,\, a>0,\, a\ne 1$
Экспоненциальная	$\left(e^x\right)'=e^x$
Синус	$\left(\sin x\right)' = \cos x$
Косинус	$\left(\cos x\right)'=-\sin x$
Тангенс	$\left(\operatorname{tg} x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x},\, x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\, k\in Z$
Котангенс	$\left(\operatorname{ctg} x\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x},\, x\ne\pi k,\, k\in Z$
Логарифмическая	$\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x\ln a},\, x>0,\, a>0,\, a\ne 1$
Натуральный логарифм	$\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x},\, x>0$

Геометрический и механический смыслы производной.

Геометрический смысл производной состоит в существовании в точке графика непрерывной функции невертикальной касательной, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс ).

Механический смысл производной состоит в том, что ,

Основные правила вычисления производных

Название правила	Математическое описание
Производная суммы функций
Производная разности функций
Производная произведения функций	$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
Производная частного функций	$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2},\,g\ne 0$
Производная сложной функции

Исследование функций с помощью производной

ПЕРВЫЙ УРОК.

1.1.Устная работа.      Рассмотрим некоторые примеры:
   Пример 1.

На рисунке изображён график функции  и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Пример 2.
Функция определена на отрезке [-4;4]. На рисунке изображён её график.

а). Найдите точку минимума этой функции на интервале

(-3;3).

б) В какой точке она принимает своё наименьшее значение?

                                           Пример 3.
На рисунке изображён график производной функции. Найдите точку максимума функции  на отрезке [-6;6].

                                                            Пример 4.
Функция определена на интервале (-8;8). На рисунке изображён график её производной.              а) Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции                                 б). Найти количество точек экстремума на этом интервале.
                                                           в). Найдите сумму точек экстремума этой функции.
Пример 5.
Функция определена на интервале (-6;3). На рисунке изображён график её производной. В какой точке отрезка [-3;2] функция принимает наибольшее значение?

Примечание: При решении задач подобного вида (примеры 2-5) следует внимательно прочитать условие и отметить, что на чертеже изображён либо график функции, либо график её производной.

Пример 6. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. а)В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? б)В скольких точках производная f(x) положительна?

undefined

Пример 7. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).
На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

undefined

Пример 8.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

undefined

А	B	С	D

Характеристики функции и производной.

1)	значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
2)	значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
3)	значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
4)	значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положитель

Пример 9. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D. В Ниже указаны значения производной функции в точках A, B, C
и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней. (1 или 2)

1. « + »; 2. « - ».

undefined

А	B	С	D
1	2	2	1

Пример 10.

На рисунке изображён график функции y=f(x). Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

undefined

Интервалы

Характеристики функций и её производной

А)	(a; b)
Б)	(b; c)
В)	(c; d)
Г)	(d; e)

А	B	С	D

Под каждой буквой укажите соответствующий номер.

1)	значения функции положительны в каждой точке интервала
2)	значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала
3)	значения производной функции положительны в каждой точке интервала
4)	значения функции отрицательны в каждой точке интервала

1.2.Работа в классе.

Алгоритмы к решению задач по теме: «Применение производной»

11. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].

12. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). undefined

Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

13. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс
или совпадает с ней.

undefined

С помощью производной мы находим мгновенную скорость и ускорение точки; строим касательную к графику функции; находим критические точки; промежутки возрастания, убывания и постоянства функции; точки экстремума; экстремумы функции; используем производную для исследования функции и построения ее графика; для решения «экстремальных задач»; для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке. Почти все типы задач решаются с помощью алгоритмов.

· Алгоритм нахождения критических точек функции.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Решить уравнение f '(х) = 0.

4. Выяснить, являются ли корни уравнения f '(х) = 0 внутренними точками определения функции.

5. Сделать вывод.

Пример 14. Найти критические точки функций.

а) б) в) .

· Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки: f '(х) = 0.

4. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов. (Если на рассматриваемом интервале
f '(х)> 0, то функция возрастает, а если f '(х)< 0, то функция убывает).

Пример 15. Найти промежутки возрастания и убывания функции

· Необходимое условие экстремума

В точках экстремума, производная функции равна нулю или не существует. Но не в каждой точке х₀, где f '(х₀) =0 или f '(х₀) не существует, будет экстремум.

· Достаточное условие экстремума

Если функция f (х) непрерывна в точке х₀ и производная f '(х) меняет знак в точке х_0,то х₀ – точка экстремума функции f (х).

Если в точке х₀ знак f '(х) меняется с «+» на «-», то х₀ – точка максимума.

Если в точке х₀ знак f '(х) меняется с «-» на «+», то х₀ – точка минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. А значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

· Алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций

1. Найти область определения.

2. Найти производную функции

3. Найти критические точки

4. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

точки максимума

точки минимума =>точки экстремума

6. Найти значения функции в точках экстремума – это экстремумы функции.

7. Записать требуемый результат исследования функции.

Пример 16. Найти точки экстремума функции f(x) = x² · e^x.

Если их несколько, найти их сумму.

1.3.Домашнее задание.

17. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

18. На рисунке изображён график функции y=f′(x) —производной функции f(x), определённой на интервале (1 ; 10). Найдите точку минимума
функции f(x).

undefined

19. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

undefined

20. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 3 ; 8). Найдите точку из отрезка [− 2 ; 5],
в которой производная функции f(x) равна 0.

undefined

21. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой
на интервале (− 4 ; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=14.

22. Найти точки экстремума функции.

undefined

23. Найти экстремумы функции .

1.4.Банк задач.

24. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀.

Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀ .

25. На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3; 3].

26. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

undefined

27. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 8). Найдите точку минимума функции f(x).

undefined

28. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

undefined

29. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция f(x) принимает наименьшее значение?

undefined

30. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7 ; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

undefined

31. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5].

undefined

32. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).
На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

undefined

33. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 5].

34. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). undefined Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 9), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

35. На рисунке изображён график y=F (x) одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [2;11].

36. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней.

undefined

1.5.Ответы.

№	ответ	№	ответ	№	ответ
1	0,5	14	а)- 4;4; б) 0; в)- 8;	25	-2
1	0,5	14	а)- 4;4; б) 0; в)- 8;	26	0,25
2	1	15	Возрастает при х∊ (- 2; 0]; [3; ∞] и убывает при х∊ (-∞;-2]; [0;3].
3	- 3	16	-2	27	4
4	4; 5; - 3	17	0,6	28	9
5	2	18	9	29	2
6	- 3; 4	19	3	30	8
7	3	20	2	31	4
8	4123	21	6	32	5
9	1221	22	2	33	4
10	2431	23	3	34	24
11	4	24	3	35	4
12	20	25	- 2
13	3	26	0,25

ВТОРОЙ УРОК.

2.1.Устная работа.

1. Касательная к графику функции параллельна прямой . Найдите абсциссы точек касания.

2. Выберите правильный ответ.

Задание		Ответ
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
а) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=SinХ в точке Х= -	а) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=CosХ в точке Х=	-	1	-1
б) Найдите	б) Найдите	-80	80	108	-108

Примечание: Для устного счета можно взять задачи из банка задач предыдущего урока

3. Повторить и сформулировать:

· Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

1. Найти область определения функции и проверить принадлежит ли отрезок области определения.

2. Найти производную f΄(x).

3. Найти критические точки.

4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

5. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

6. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

2.2.Работа в классе.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции;

на отрезке

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

Пример 3. Найдите точку минимума функции

Пример 4. Найдите наибольшее значение функции y =

на отрезке

Пример 5. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

Пример 6. Найдите точку минимума функции $y=7^{x^2+2x+3}$ .

2.3.Домашнее задание.

Пример 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Пример 8. Найдите точку максимума функции

Пример 9. Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке .

Пример 10. Найдите точку минимума функции

Пример 11. Найдите точку минимума функции $y=3x-\ln(x+3)^3$ .

2.4.Ответы.

Устно: 1. 2; 2. Вар.1 а). 4; б) – 80. Вар.2 а). 1; б) – 108.

Примеры:

1. Унаибольшее = - 4; Унаименьшее = - 8.

2. 3

3. 2

4. – 18

5. 5

6. 2

7. 1

8. 23

9. 10

10. 3

11. -2

2.5.Банк задач.

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Задачи для самостоятельных работ дома и в классе.

1 вариант	2 вариант
1.Найдите наименьшее значение функции $y~=~(x-8){{e}^{x-7}}$ на отрезке .	1.Найдите точку минимума функции $y~=~(x+16){{e}^{x-16}}$ .
2.Найдите наибольшее значение функции $y~=~\ln {{(x+5)}^{5}}-5x$ на отрезке .	2.Найдите точку минимума функции $y=3x-\ln(x+3)^3$ .
3.Найдите наибольшее значение функции $y~=~10\sin x-\frac{36}{\pi }x+7$ на отрезке $[-\frac{5\pi }{6};0].\,\,\,$	3.Найдите наименьшее значение функции $y~=~6\cos x+\frac{24}{\pi }x+5$ на отрезке $[-\frac{2\pi }{3};0]$ .
4.Найдите точку максимума функции $y~=~{{(x-2)}^{2}}{{e}^{x-6}}$ .	4.Найдите наименьшее значение функции $y=(x+3)^2e^{-3-x}$ на отрезке .
5.Найдите точку минимума функции $y~=~{{(x+3)}^{2}}{{e}^{2-x}}$ .	5.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
6.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .	6.Найдите точку максимума функции .
7.Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1$ .	7.Найдите наименьшее значение функции $y=x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке .
8.Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{x^2+25}{x}$ на отрезке .	8.Найдите точку максимума функции $y=\frac{16}{x}+x+3$ .
9.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .	9.Найдите точку минимума функции .
10.Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-6x+11}$ .	10.Найдите наибольшее значение функции $y=3^{-7-6x-x^2}$ .

ТРЕТИЙ УРОК.

Контрольная работа. «Производная и её применение».

Вариант №1.

ЧАСТЬ 1.

1. На рисунке изображён график

функции y = f(x) и касательная к

нему в точке с абсциссой x₀.

Найдите значение производной

функции в точке х₀.

2. На рисунке изображен график

производной функции: y = f '(x),

определенной на интервале (-8; 3).

В какой точке отрезка [-5; 0]

функция f(x) принимает

наибольшее значение

3. На рисунке изображен график функции

y = f(x), определенной на интервале (-6; 8).

Найдите количество точек, в которых

касательная к графику функции

параллельна прямой у = 4.

4. На рисунке изображен

график производной функции:

y = f '(x), определенной на интервале

(-4; 16). Найдите количество точек

максимума функции на отрезке [-3; 15].

5. На рисунке изображен график

производной функции: y = f '(x),

определенной на интервале (-2; 12).

Найдите промежутки убывания функции.

В ответе укажите длину наибольшего из них.

6. На рисунке изображен график

производной функции: y = f '(x) ,

определенной на интервале

(-9; 8). Найдите количеств о точек,

в которых касательная к графику

функции параллельна прямой

у = - 2х – 7 или совпадает с ней.

___________________________________________________________________________

ЧАСТЬ 2.

7. Прямая у = 7х – 5 параллельна касательной к графику функции

у = х² +6х – 8. Найдите абсциссу точки касания.

8. Найдите точки максимума и минимума:

а) f(x) = х³ – 2х² + х + 3;

б) f(x) = .

___________________________________________________________________________

ЧАСТЬ 3.

9. Найдите наименьшее значение функции

у = 2 sin х + 25х + 9 на отрезке [ - 3π/2; 0]

10. Найдите точку максимума функции у = ln ( х + 5 ) – 2х + 9.

Контрольная работа. «Производная и её применение».

Вариант №2.

1. На рисунке изображён график функции y = f(x)

и касательная к нему в точке с абсциссой x₀

.Найдите значение производной функции в точке х₀

2. На рисунке изображен график производной

функции: y = f '(x),определенной

на интервале (-8; 4).

В какой точке отрезка [-6; -2]

функция f(x) принимает

наибольшее значение.

3. На рисунке изображен график функции

y = f(x), определенной на интервале

(-11; 2).Найдите количество точек, в

которых касательная к графику функции

параллельна прямой у = -2.

4. На рисунке изображен график производной

функции: y = f '(x), определенной на интервале

(-5; 7). Найдите промежутки убывания функции.

В ответе укажите количество целых точек,

входящих в эти промежутки.

5. На рисунке изображен график

производной функции: y = f '(x),

определенной на интервале (-4; 16).

Найдите количество точек

максимума функции на отрезке [-3; 15].

6. На рисунке изображен график

производной функции: y = f '(x) ,

определенной на интервале (-9; 8).

Найдите количество точек,

в которых касательная к графику

функции параллельна прямой

у = 2х – 7 или совпадает с ней.

____________________________________________________________________________

ЧАСТЬ 2.

7. Прямая у = 6х + 6 параллельна касательной к графику функции у = х² + 7х – 7.

Найдите абсциссу точки касания.

8. Найдите точки максимума и минимума:

а) f(x) = х³- х² - х +2;

б) f(x) = .

_____________________________________________________________________________________

ЧАСТЬ 3.

9. Найдите наибольшее значение функции

у = 12 √ 2 cos x + 12х – 3π + 9 на отрезке [ 0; π/2]

10. Найдите точку минимума функции у = 2х – ln ( х + 3) + 7.

Ответы:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вар.1	- 1	- 3	4	2	6	4	0,5	а). x max = ; x min = 1. б). x min = 2,5.	9	-4,5
Вар.2	2	- 1	7	9	2	4	-0,5	а).x max = - ; x min = 1.б).x min = 0,25	- 2,5	21

Литература:

1. ЕГЭ – 2017, Математика. Типовые варианты экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий – Москва, АСТ, Астрель-2016.

2. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7 – 11 классов. Л. Е. Гендельштейн, А. П. Ершова.- ИЛЕКСА гимназия, Москва – Харьков – 1997.

3. Материалы с сайта ФИПИ, банк заданий и демонстрационные материалы по математике

4. Учебно – методическое пособие. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2016. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухов – Ростов – на - Дону, Легион, 2015.

5. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. Математика. Т. А. Корешкова. Ю. А. Глазков – Москва. «Экзамен» - 2016.

6. Сайт Гущина. Решу ЕГЭ.

Скачать материал

Скачать материал "Обобщающий урок по теме "Производная и её применение". Подготовка к ЕГЭ."

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 656 258 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Статья "Геометрические задачи для учащихся 5-6" класса, подготовка к олимпиадам

20.01.2017
988
1

pptx

Презентация по алгебре на тему " Функция и ее свойства" (9 класс)

Рейтинг: 5 из 5

20.01.2017
4074
62

docx

Статья "Взаимосвязь традиционных и инновационных форм работы с одаренными учащимися"

20.01.2017
359
0

rar

Методическая разработка по математике Смотр знаний по теме "Квадратичная функция, её свойства и график"

20.01.2017
429
1

pptx

Ашық сабақ "Көпмүшелерді тепе -тең түрлендіру"

20.01.2017
765
1

pptx

Презентация по геометрии на тему " Аксиома параллельных прямых" (7 класс)

20.01.2017
2273
7

docx

Контрольная работа для 6 класса за I полугодие

20.01.2017
539
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 20.01.2017 2545
- DOCX 763.6 кбайт
- 47 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Беляева Татьяна Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Беляева Татьяна Анатольевна
- На сайте: 9 лет и 1 месяц
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 6562
- Всего материалов: 4