Инфоурок Алгебра КонспектыОбобщающий урок в 9 классе"Арифметическая прогрессия и ее практическое применение"

Обобщающий урок в 9 классе"Арифметическая прогрессия и ее практическое применение"

Скачать материал

 

Обобщающий урок по теме Арифметическая прогрессия и ее практическое применение»         (2 урока)

Цели урока.

Образовательные:

• Повторение, обобщение и систематизация знания по теме «Арифметическая прогрессия»;

• Создание проблемных ситуаций, активизация самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению;

• Преодоление в сознании обучающихся представлений об оторванности получаемых знаний по математике от жизни и практики, показать неразрывную связь математики с другими изучаемыми предметами.

• Активизировать познавательную деятельность учащихся;

Развивающие цели:

• Способствовать развитию исследовательских навыков обучающихся, умение анализировать полученные данные и делать выводы;

Способствовать развитию умения осуществлять самопроверку и взаимопроверку

• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе

• Способствовать развитию внимания зрительной памяти, математической грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала

Воспитательные :

Формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, честность, дисциплинированность
• Воспитание культуры общения, культуры диалога
.

• Мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

Задачи учителя на уроке:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания по теме «Арифметическая прогрессия»;

• Оценить умение решать ключевые задачи по данной теме;

• Проверить навыки обучающихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

• Развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;

• Продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Задачи учащихся на уроке:

• Повторить определение арифметической прогрессии, формулу п-го члена прогрессии, характеристическое свойство членов арифметической прогрессии

• Подготовиться к успешному использованию полученных знаний в ОГЭ, ЕГЭ, при необходимости использовать в жизненных ситуациях

• Применять знания в нестандартной ситуации (решение задач прикладного содержания).

Оборудование и материалы: карточки с заданиями, карточки прикладной направленности, презентации.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, в группах.

Метод обучения: частично - поисковый, установления связи теоретических и практических знаний, межпредметные связи.

Методы ведения урока:

•        преобразовательный (при усвоении обучающимися и творческом применении навыков и умений в процессе практической деятельности);

•        контрольный (при выявлении качества усвоения знаний, умений и навыков и их коррекция в процессе выполнения учащимися практических заданий);

•        методы стимулирования и мотивации, долга и ответственности;

•        методы наблюдения, сравнения, мини - диалога, самостоятельной работы, применения ИКТ, наглядности;

•        нетрадиционные методы: самоанализа, личностного подхода (вселяется уверенность в свои силы).

                                               План УРОКА

1.Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности. Цели и задачи урока.

3.Актуализация знаний и первичное закрепление.

4.Закрепление изученного материала при решении нестандартных задач.

5.Итог урока. Рефлексия.

Эпиграф урока: 

                                           «Задачи решаются в школе ради их

                                           решения в жизни»

 

                                               ХОД УРОКА

1.Организационный момент

2. Мотивация учебной деятельности. Цели и задачи урока.

Ребята, предлагаю вам послушать «Притчу о царе».

Притча о царе. Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подозвал их всех к огромному замку. "Кто откроет этот замок без ключа, тот и будет первым помощником". Но никто из них даже не притронулся к замку. Лишь один подошёл и дёрнул замок, который тут же открылся, он не был закрыт на ключ. Тогда царь сказал: "Ты будешь первым помощником, потому - что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку".

Ребята, предыдущие уроки алгебры были посвящены теме «Последовательности». Из всех числовых последовательностей особо выделяют две. Их называют прогрессиями. В силу своих особенностей или закономерностей одну прогрессию назвали арифметической, а другую геометрической. Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает «движение вперёд».

3.Актуализация знаний и первичное закрепление.

2) Повторение сведений об арифметической прогрессии

Итак, поговорим об арифметической прогрессии. Какие особенности есть у этой последовательности и с чем они связаны?

а) Определение арифметической прогрессии.

б) Если в арифметической прогрессии разность положительна, то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :.

в) Если в арифметической прогрессии разность отрицательна, то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :.

г) В случае, если разность равна нулю и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, прогрессия называется стационарной: 7,7,7,7,…

д) конечная и бесконечная арифметическая прогрессия

   Сформулировать характеристическое свойство арифметической прогрессии

Задание 1:

Задание 2:

Можно ли из чисел 14;25;36;47;58 выбрать три и составить из них арифметическую прогрессию?

Если да, то напишите её.

Как найти сумму п первых членов арифметической прогрессии?

Sn=(а1 + ап) ·n:2           Sn= (2a1+ d (n-1)) ·n:2;

4.Закрепление изученного материала при решении нестандартных задач.

На предыдущих уроках мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

Вообще, зная формулы арифметической прогрессии можно решить много интересных задач, связанных с изучением физики, химии, биологии, экологического, экономического, литературного, исторического и практического содержания.

Применению арифметической прогрессии и будет посвящен наш урок. Группы учеников класса приготовили сообщения.

Арифметическая прогрессия в физике

Равноускоренное движение – это арифметич6еская прогрессия, т.к. за каждые равные промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Задача1.При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала  падения.

Решение: (ап)-арифметическая прогрессия,  а1 = 5,    d = 10,   п = 5 Найти S5

S5 = (а1 + а5) п : 2

S5 = (5 + 45) 5 : 2 = 25∙ 5 = 125

Ответ: глубина шахты равна 125 м

Задача2. Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения

Решение: (ап)-арифметическая прогрессия

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Задача3. Обкатывая новую модель автомобиля, испытатель каждый следующий день увеличивал пробег на 20 %. Какое расстояние проедет испытатель за 5-й день, если он начал проезд с 200 км?

Дано:(an) – арифметическая прогрессия, а1 = 200, d = 40, n = 5          Найти:а5

Решение:    20 % от 200 км равны 40 км.

an = a1 + d (n - 1);

a5 = a1 + 4 d = 200 + 4 ∙ 40 = 200 + 160 = 360 (км).

Ответ: 360 км.)

Задача 4: Два тела, находясь на расстоянии 153 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую - на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Решение: Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле: S=V·t. Движение второго тела подчиняется законам арифметической прогрессии где а1 = 3, d = 5

Поэтому необходимо найти t.

Из условия задачи получаем уравнение:

5t2 + 21t -153 =0

t1=6, t2= -10,2

Второй корень не удовлетворяет условию t

Ответ: 6

Задача 5: Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?

Решение:

a1 =30, d=5, Sn= 525, n>0.

Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n>0).

Улитка достигнет вершины за 10 минут.

Ответ: 10 минут .

Задача 6:

Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?

Решение.

Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:

a1=500a1=500, a2=475a2=475, a3=450…a3=450….

Разность арифметической прогрессии равна d=−25.

Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Sn=2975, где n – время, затраченное на путь.

Тогда:

Sn=1000−25(n−1)2, и Sn=2975.

1000n−25(n−1)n=5950.

Разделим обе части на 25.

40n−(n−1) n=238.

n2−41n+238=0.

n1=7, n2=34.                           n2=34 не соответствует условию задачи

Значит, n=7.

Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Прогрессии в биологии.

Задача 1     Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на4 см. Правильно ли, что высота саженца через полгода будет 90 см?

а1 = 60,      d = 4,          п = 6

а6 = а1 + 5 d

а6 = 60 +5· 4 = 80

Задача №2. Прежде распространенные везде косули сохранились лишь местами и их поголовье, которое составляло более миллиона особей, резко сократилось: в 1990 году их оставалось чуть более 15000. Однако благодаря защитным мерам, принятым в отношении этого вида в 2005 году, его численность достигла 60000 особей. Сколько особей пополняло ряды косулей в среднем каждый год?

Решение: n = 16; a1 =15000; a16 =60000.

а16 = a1 + 15d;

60000 = 15000 +15d;

15d = 45000;

d = 3000.

Ответ: 3000 особей).

Задача №3. Стая птиц летела на юг. За первый день эта стая птиц пролетела 201 км, а за каждый последующий день она пролетала на 2 километра больше, чем в предыдущий. За сколько дней перелётные птицы долетят до места зимовки, если перелётный путь равен 4642 км?

Дано: (аn) – арифметическая прогрессия; а1 = 201, d = 2; Sn = 4620. Найти: n.

Решение: : Sn =

4642 =  ;

n2 + 200 n – 4642 = 0;

n1 + n2 = - 200; n1 • n2 = - 4642;

n1 = 21; n2 = - 221.

n = - 221 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 21 день уйдёт на перелёт стаи.)

В промышленности и сельском хозяйстве

Задача 1: Диаметры пяти шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвертого - 316 мм.

Решение: По условию задачи а1 + а3 = 268; а2 + а4 = 316,

найти требуется а1, а2, а3, а4, а5

Составим и решим систему уравнений, используя формулу ап = а1+ d(п-1)

Подставив полученные значения в формулу ап = а1+ d(п-1), найдем остальные значения

а2 = 134, а3 = 158, а4 = 182, а5 = 206

Ответ: 110, 134, 158, 182, 206

Задача 2: За изготовление и установку первого железобетонного кольца колодца заплатили 100 уе., а за каждое следующее кольцо платили на 20 уе. больше, чем за предыдущее. Средняя стоимость одного кольца и его установки оказалась равной 220 уе. Сколько колец было установлено?

Решение: По условию задачи а1 = 100, d = 20, Sn:n = 220, а найти требуется n.

По формуле:

значит Sn :n = (2а1+ d(п-1)):2

220 = (2·100 + 2(п-1)):2

440 = 200 + 2п – 2

п = 13

Ответ: 13

Задача 3: За первый день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий день - на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней.

Решение:  По условию  а1 = 100, d = 3, n = 19, значит найти требуется S19.

По формуле: аn=a1+d(n-1); а19=a1+18d =100+18·3=154

S19= (a1+а19) ·19:2=(100+154) ·19:2=254·19:2=1270:2=635(га)

Ответ: 635 га

Арифметическая прогрессия в строительстве

Задача:

Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат 1414 бревен. случая a1=14a так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке 1414 слоев, то есть n=14n=14.

Подставим данные в формулу:

Sn=(a1+an)n2S14=(14+1)142=15142=157=105

Ответ: В кладке находится 105105 бревен.

Задача:

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение:

Sn = 500, a1 = 3

3 + an = 100..

n = 10

an = 97

Ответ: 97 метров

Задача:

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Sn = 240, a1 + an = 60

(a1 + a1) *п : 2 =240

30n = 240

n = 8

Ответ: 8 дней

Арифметическая прогрессия в медицине

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства что составляет 250 капель?

Решение:

a1 = 5, d = 5, an = 40

40 = 5 + 5(n – 1)

5n – 5 + 5 = 40

5n = 40

n = 8

40*3 + 40 + 40 = 200 капель нужно

Ответ: 2 пузырька

Задача 2: Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин?

Решение:

an = 105, a1 = 15, d = 10

105 = 15 + 10(n – 1)

10n – 10 + 15 = 105

10n = 100

n = 10

Ответ: на 10 дней

Задача 3:Отдыхающий, следуя совету врача, в первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. НА какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?

Решение:

a1 = 5, d = 5

аn = а1 + d(n + 1)

40 = 5 + 5(n – 1)

5n = 40

n = 8

Ответ: на 8-ой день

 Арифметическая прогрессия в спорте

Задача №1. Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько килограммов общего веса поднимет штангист за 7 подходов?

Дано: арифметическая прогрессия (ап), a1 = 45, d = 5, n = 7.

Найти: S7.

Решение: Sn = (2a1+ d (n-1)) ·n:2;

S7 = (2a1+ 6 d) ·7:2;

S7 = (2·45 - 6· 5) 7:2 = (90-30) · 7: 2 = 60·7: 2 = 420 : 2 = 210 кг

S7 = 420.

Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420 кг.)

Задача 2
В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5.  Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n. 
Число промахов - 4.
В цель стрелок  попал 21 раз.

Задача 3: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn= (2a1+ d (n-1)) ·n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) · n:2

10000= (2800-100 n+100) · n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) ·n;

Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0;

высоту за 4 дня.

n2-29 n+100=0;  n=25, n=4.

Арифметическая прогрессия в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...                                                                                          Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

 Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...пгн

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                     Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...     

      «бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5;7.                        А.С. Пушкин.

 

Арифметическая прогрессия в нашей жизни

Вклады в сбербанке ежегодно увеличиваются на одинаковый процент

Задача: Вкладчик положил на счет 1оооо рублей при 4% годовых. Какую сумму он получит через 3 года?

Задача: Родители к дню рождения своему сыну решили купить мобильный телефон. Для этого в первый месяц они отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей через 10 месяцев?

Решение: (ап)-арифметическая прогрессия, а1=650, d = 50, п = 10

Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;  Sn=  (2·650+ 50·9) ·10:2= (1350+450) ·10:2 =1800 ·10:2 =

= 18000:2 = 9000 (рублей)

Ответ: 9000 рублей

Задача2: На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+3 29=137 тонн угля

Задача: Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Решение:   S14 = 210, a1 = 2 n = 14

2 + a14 = 30

a14 = 28

28 = 2 + 13d

13d = 26

d = 2

a9 = 2 + 8d

a9 = 2 + 8*2

a9 = 18

Ответ: 18 тонн

Задача № 5   Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м2. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий.      Сколько м2 уложат студенты в 15 день?

Решение:

a1 = 3, a2 = 5

a15 = a1 + 14d

a15 = 3 + 14*2

a15 = 31

a2 = a1 + d

5 = 3 + d

d = 2                     Ответ: 31 тонн

Последовательности часто используется в разных отраслях нашей жизни. Мы сами не замечаем, как используем ее повседневно. Она помогает избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ЕГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях

Самостоятельная работа (работа в группах)

Задача: Люди приобрели дачный участок. Им необходимо вырыть колодец глубиной 12 метров.Для этого они обратились в три фирмы, оказывающие такие услуги.

Фирма

Стоимость 1 м (в рублях)

Стоимость каждого следующего метра (в рублях)

Особые условия

А

2000

1000

 

В

3000

800

 

С

4000

600

Если сумма больше 90000 р, то скидка 5%

С какой фирмой выгоднее заключить договор?

Каждая группа делает отчет о проделанной работе. Делается вывод.

А это интересно

Сем чудес света

Задача1: Египетская пирамида сложена из тщательно оттесанных и плотно уложенных известняковых блоков весом от 7 до 30 тонн. Причем каждая следующая была легче предыдущей на 0, 0001 тонн. Сколько блоков потребовалось для сооружения такой пирамиды?

Задача2: Строя пирамиды для фараонов, египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?

(Решение: Считать ряды будем сверху. Тогда в арифметической прогрессии (an) a1 = 1, d = 1, n = 60.

ап=ай+(п-1) d;  ап=1+59· 1=60

Sn= (2a1+ d (n-1)) ·n:2;

S60 = (2a1+ 59 d) ·60:2;

S60 = (2+ 59) ·60:2=61·60: 2 = 3660:2 = 1830 плит только в одной стене пирамиды

Ответ: 1830 плит

Задача3: Верхняя часть Форосского маяка вместе с семиметровой фигурой составляет 25 метров. Средняя на 20 метров больше верхней, а нижняя на 20 метров больше средней. Какова высота нижней части и какова высота всего маяка?

Командировка в 17 век

В 1869 году на Плещеевом озере был построен первый русский корабль петровской эпохи. За три последующих года Петром 1 были построены еще суда. При этом за каждый следующий год было построено на 13 судов больше, чем в предыдущий. Сколько судов приняло участие в параде первой русской флотилии в конце 1692 года?

 

Итог урока: Решая задач на арифметическую прогрессию с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются в различных областях науки в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Мы еще раз убедились в том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека и является частью общечеловеческой культуры.

Что не удалось?

– Где в жизни могут пригодиться знания по данной теме?

– Хочется закончить урок лозунгом многих математиков XVII века:  «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет!»

– Спасибо за урок.

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 089 878 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 09.04.2018 337
    • DOCX 1.4 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Казновская Анна Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Казновская Анна Алексеевна
    Казновская Анна Алексеевна
    • На сайте: 4 года и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 43772
    • Всего материалов: 28

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой