Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Обобщающий урок - семинар по теме " Решение уравнений высших степеней в 11 классе"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обобщающий урок - семинар по теме " Решение уравнений высших степеней в 11 классе"

библиотека
материалов

8


Обобщающий урок – семинар по теме:

«Решение алгебраических уравнений высших степеней в 11 классе»

(подготовка к ЕГЭ)


Тема: Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной.

Цели:

  1. формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;

  2. развитие познавательных и исследовательских умений;

  3. воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Ход урока

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 ≠ 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1. (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;

  2. (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;

  3. hello_html_5515461.gif;

  4. hello_html_231b4b12.gif;

  5. hello_html_2e15f079.gif;

  6. hello_html_7a29ec89.gif.

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к «старой» переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно hello_html_m3b067eac.gif.

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)∙5 = -20, 10∙(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ≠ 0. Получим: hello_html_72603d5e.gif

Вводим замену: hello_html_1f21f250.gif, тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

hello_html_m659652ac.gifhello_html_46c2e7f.gifhello_html_15c1c904.gif

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

hello_html_m4fcdee9a.gif

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: hello_html_m77653cfe.gif, hello_html_m5b50a313.gif, х3 = - 4, х4 = 5.


Ученица III группы показывает решение уравнения

hello_html_m2be64830.gif, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х ≠ 0. hello_html_m46c262d3.gif, вводим замену: hello_html_710f2956.gif, тогда hello_html_m6afdd586.gif

Решим это уравнение

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m6afdd586.gifhello_html_446b2aa2.gifhello_html_m7f0af38c.gif

Вернемся к «старой» преременной:

hello_html_m659652ac.gifhello_html_m6f5067df.gifhello_html_4cf8dfd7.gif

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

hello_html_m1f9ab55.gif; hello_html_m2a9aca4d.gif.

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: hello_html_m1f9ab55.gif;hello_html_m2a9aca4d.gif

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.


Ученик четвертой группы для решения уравнения

hello_html_m18514307.gif

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

hello_html_3ba6b974.gif

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

hello_html_m128948b2.gif

hello_html_m70928713.gif

Вводим замену: hello_html_mbddf7dc.gift2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к «старой» переменной, получим:

hello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_1bf765ea.gifhello_html_me26fa6b.gifhello_html_57beb033.gif

Ответ: hello_html_75906b7c.gif, hello_html_m784c41cb.gif.

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

hello_html_305ba495.gif заменив hello_html_m7b2749fe.gif.

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.


I группа докладывает.

«Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +ata2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; hello_html_mc726d29.gif; hello_html_m3f9ce602.gif.

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений: hello_html_m320f4f59.gif

Рассмотрим первое уравнение:

hello_html_m22db2f4.gif;

D1 = (a+1)2 - 4hello_html_m420bd00.gif.

Рассмотрим второе уравнение:

hello_html_5893957b.gif;

D2 = (a+1)2 - 4hello_html_570380e0.gif.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы hello_html_866184e.gif т.е. hello_html_7fd48e14.gif

Решим первое неравенство:

hello_html_4dac213c.gif, D = 16,

hello_html_6b9830fa.gif,hello_html_m6de3d4a.gif


hello_html_30318c0d.gif

hello_html_10f664e5.gifhello_html_m7c9b5a30.gif

+ +

hello_html_57fbc5a6.gif a

hello_html_2758eac6.gif hello_html_38f42704.gif

т.е. а >hello_html_4aede87d.gif, a <hello_html_2758eac6.gif.

Решим второе неравенство:

hello_html_m752d29de.gif, D = 16,

hello_html_m67f1a7ce.gif,hello_html_41a3f07f.gif


hello_html_10f664e5.gifhello_html_30318c0d.gifhello_html_m7c9b5a30.gif

+ +

hello_html_57fbc5a6.gif а

hello_html_m7a19321f.gifhello_html_63bd14e8.gif

т.е. а >hello_html_m6b9e3906.gif, a <hello_html_m7a19321f.gif.

В итоге получим hello_html_18fd4dc3.gif


hello_html_m7c9b5a30.gifhello_html_m303ea787.gifhello_html_m1aa4666d.gifhello_html_53827005.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_30a30cc7.gifhello_html_32a8a2bc.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_m5968a9ae.gifhello_html_32a8a2bc.gifhello_html_m5968a9ae.gif

hello_html_5124d0bb.gifhello_html_m62edd91e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m557a761c.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_m500364f7.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_4071a06b.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gif

hello_html_694f9696.gif а

hello_html_2758eac6.gif hello_html_38f42704.gif hello_html_m7a19321f.gif hello_html_63bd14e8.gif

a>hello_html_m6b9e3906.gif, hello_html_38f42704.gif<a<hello_html_m7a19321f.gif, a<hello_html_2758eac6.gif

При |a| >hello_html_63bd14e8.gif, |a| <hello_html_m6d0ea698.gifуравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >hello_html_63bd14e8.gif, |a| <hello_html_m6d0ea698.gif

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0;

если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 ≠ 0, тогда

hello_html_m1be8699a.gif

Введем замену hello_html_406916d5.gif и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

hello_html_aff034.gif и hello_html_m677902d8.gif.

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

hello_html_17cc11f0.gif.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

hello_html_m2e5bf4ab.gif.

Ответ: если, а = 0, то х = 0;

если, а ≠ 0, то hello_html_m3027c819.gif, х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

hello_html_m36f02a2b.gif

Решение. Уравнение – дробно – рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ≠ 0, х ≠ 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х R.

Перейдем теперь к уравнению – следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ≠ 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2, hello_html_m3acdc561.gif

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней

если а 0, то hello_html_m34da716d.gif.

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

hello_html_m47295ef6.gif.

Решение.

если а=0, то х=0;

если а=1, то х=0;

если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

hello_html_1a960a30.gif;

hello_html_m3c56cbe.gif; hello_html_m34740f95.gif.

Вводим замену, hello_html_47e4c924.gif, тогда будем иметь уравнение

t2 - t = a2 – a; t2 - t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к «старой» переменной, будем иметь:

hello_html_m27d6320d.gif

Рассмотрим уравнение

hello_html_m3f876f7b.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gifhello_html_m22abdbdb.gif hello_html_m6693442a.gifhello_html_7e7eaee3.gifhello_html_1078ad18.gif

Исследуем уравнение hello_html_26ef605c.gif

при а = 0, х = 0;

при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при hello_html_52601a7d.gif, а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

hello_html_m353663f2.gif

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а hello_html_m340ac238.gif

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых hello_html_m340ac238.gif

Рассмотрим уравнение

hello_html_m659652ac.gifhello_html_m46fd3b01.gifhello_html_714c6039.gif

Исследуем уравнение hello_html_m52c03c76.gif

при а = 1 х = 0,

при а = -1 - уравнение не имеет действительных корней

при hello_html_6e605e56.gif, а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня, hello_html_5ebcf836.gif

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а hello_html_m468b21ce.gif, а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых hello_html_m468b21ce.gif.

Проверим, сколько корней имеет уравнение hello_html_m52c03c76.gif при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение hello_html_26ef605c.gif при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ


hello_html_5ebcf836.gifhello_html_m49a1a14f.gifhello_html_25df93a7.gif hello_html_5ebcf836.gif

hello_html_5789e2f7.gifhello_html_5789e2f7.gif х=0 х=0

hello_html_m14254af1.gifhello_html_m75f7c99c.gifhello_html_m7639f2c8.gif

-1 0 нет действительных 1 2

корней


hello_html_m353663f2.gif hello_html_m353663f2.gif


Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

hello_html_m353663f2.gif, hello_html_5ebcf836.gif

при -1 a < 0 – два действительных корня, hello_html_m353663f2.gif

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0

при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a 2 – уравнение имеет два действительных корня hello_html_5ebcf836.gif

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.


Краткое описание документа:

Урок - семинар интересен учителям математики,которые готовят учащихся к ЕГЭ. При подготовке к ЕГЭ,я провожу уроки - практикумы,уроки - семинары. Учащихся класса делю на 4  группы.

Реализуется метод замены переменной при решении уравнений высших степеней. Первая группа показывает решение уравнений способом раскрытия скобок. Вторая  - применением основного свойства дроби. Третья группа применяет для решения уравнений способ выделения квадрата, а четвертая  показывает применение способа раскрытия скобок парами и деление обеих частей уравнений  на одно и тоже выражение. На второй части

Автор
Дата добавления 11.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров532
Номер материала 379912
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх