Обобщающий
урок по теме: «Квадратные уравнения»
8 класс
Цели урока:
·
Систематизировать
способы решения квадратных уравнений.
·
Показать
рациональные способы решения квадратных уравнений.
·
Использовать
данные способы для быстрого решения квадратных уравнений.
·
Развивать
логическое мышление учащихся.
·
Привить
интерес к изучению математики.
Ход урока.
1способ. Разложение левой части
уравнения на множители.
Решим уравнение
Х2+10Х-24=0.
Разложим левую часть на множители:
Х2+10Х-24=Х2+12Х-2Х-24=Х(Х+12)-2(Х+12)=(Х+12)(Х-2).
Следовательно,
(Х+12)(Х-2)=0.
Так как произведение равно, то, по крайней мере, один
из его множителей равен нулю. Поэтому Х+12=0 или Х-2=0, то есть Х1=-12
или Х2=2.
Ответ: -12; 2.
2 способ. Метод выделения полного
квадрата.
Решим уравнение
Х2+6Х-7=0.
Выделим в левой части полный квадрат, для этого
выражение Х2+6Х запишем в следующем виде: Х2+6Х=Х2+2▪Х▪3.
Получим Х2+6Х-7= Х2+2▪Х▪3+32-32-7=(Х+3)2-9-7=
(Х+3)2-16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(Х+3)2-16=0. (Х+3)2=16.
Следовательно, Х+3=4, т.е. Х1=1; Х+3=-4,
т.е. Х2=-7.
Ответ: -7; 1.
3 способ. Решение квадратных
уравнений по формуле.
ax2+bx+c=0, a≠0.
D=b2-4ac; x1,,2 =.
Примеры:
1). 4Х2+7Х+3=0.
a=4, b=7,
c=3. D= b2-4ac=72-4▪4▪3=49-48=1,
D0, два разных корня;
x1,,2 =, Х1==-; Х2==-1.
Ответ: -1; - .
2). 4Х2-4Х+1=0.
a=4, b=-4,
c=1. D= b2-4ac= (-4)2-4▪4▪1=16-16=0,
D=0, один корень;
x = . Х=-=.
Ответ:.
3). 2Х2+3Х+4=0.
a=2, b=3,
c=4. D= b2-4ac=32-4▪2▪4=9-32=-130.
D0, данное уравнение корней не имеет.
Ответ:нет корней.
4 способ. Решение уравнений с
использованием теоремы Виета.
Как известно, теорема Виета используется для
приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0,его корни удовлетворяют теореме Виета,
которая при a=1 имеет вид x1▪x2=q x1+x2=- p.
Примеры:
1). Х2-3Х+2=0; Х1=1; Х2=2, так как x1▪x2=2 x1+x2=3.
2). Х2+8Х+7=0; Х1=-1; Х2=-7
, так как x1▪x2=7 x1+x2=-8.
3). Х2+4Х-5=0; Х1=1; Х2=-5,
так как x1▪x2=-5 x1+x2=-4.
4). Х2-8Х-9=0; Х1=-1; Х2=9,
так как x1▪x2=-9 x1+x2=8.
5 способ. Решение уравнений способом
«переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение ax2+bx+c=0.
Обе части уравнения умножим на a, получим уравнение a2x2+abx+ac=0.
Обозначим ax=y,откуда x=y/a; тогда получаем уравнение y2+by+ac=0, равносильное данному.
Получаем корни x1=y1/a, x2=y2/a с помощью теоремы Виета.
Способ хорош, когда дискриминант есть точный квадрат,
можно легко применить теорему Виета.
Примеры:
1). Решим уравнение 2Х2-11Х+15=0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену. Получим
уравнение
4Х2-22Х+30=0,обозначим (2Х)=У, получим
уравнение У2-11У+30=0,
откуда У1=5, У2=6. Х1=2,5;
Х2=3.
Ответ:2,5;3.
6 способ. Свойства коэффициентов
квадратного уравнения.
Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a≠0.
I. Если сумма коэффициентов равна нулю, т.е. a+b+c=0, то Х1=1,Х2=с/а.
Примеры:
1). Решим уравнение 345Х2-137Х-208=0.
Так как 345+(-137)+(-208)=0, то Х1=1,
Х2=-208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2). Решим уравнение 132Х2-247Х+115=0.
Так как 132+(-247)+115=0, то Х1=1, Х2=115/132.
Ответ: 1; 115/132.
I I. Если второй коэффициент b=2k-чётное число, то применяем формулу
D=k2-ac; x1,,2 =.
Примеры:
1). Решим уравнение 3Х2-14Х+16=0.
a=3, b=-14,
c=16, K=-7. D=k2-ac= (-7)2-3▪16=49-48=1, Dдва различных корня;
x1,,2 =.Х1=(7+1)/3=; Х2=(7-1)/3=2.
Ответ: ; 2.
2). Решим уравнение Х2-14Х-15=0.
a=1, b=-14,
c=-15.Х1=15; Х2=-1, т. к. Х1+Х2=14;
Х1▪Х2=-15.
Ответ: 15; -1.
Дома: класс разбит на 4 группы. Каждой из
них разобрать по одному способу решения квадратных уравнений:
1 группа. Графическое решение квадратного
уравнения.
2 группа. Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки.
3 группа. Решение квадратных уравнений с
помощью номограммы.
4 группа. Геометрический способ решения
квадратных уравнений.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.