Обобщение опыта на тему "Прикладные задачи в курсе математики"

Приложение №1

 Вступительная беседа

Для чего нужна наука? Можно много говорить на эту тему, но, подходя прагматически к ответу на поставленный вопрос, можно сказать – для решения задач, возникающих по ходу практической деятельности человека. Любая практическая задача, которая решается средствами той или иной науки – прикладная. Центральное место среди них занимают прикладные задачи математики.

Прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами.

Этапы простого прикладного математического исследования:

1.                  Постановка задачи.

2.                  Создание математической модели.

3.                  Решение и исследование математической задачи.

4.                  Интерпретация математических результатов.

Цикл анализа, подготовки и принятия решений

 

Постановка задачи.

На этапе постановки задачи должно быть четко определено, что дано, и что требуется найти. Так, если задача конкретная, то под постановкой задачи понимают ответ на два вопроса: какие исходные данные известны и что требуется определить. Если задача обобщенная, то при постановке задачи понадобится еще ответ на третий вопрос: какие данные допустимы. Таким образом, постановка задачи включает в себя следующие моменты: сбор информации о задаче; формулировку условия задачи; определение конечных целей решения задачи; определение формы выдачи результатов; описание данных (их типов, диапазонов величин, структуры и т. п.).

Чтобы на этом этапе понять задачу, то есть уяснить, о чем данная задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомым и т.п., необходимо везде, где только возможно, применять моделирование ситуации, отраженной в задаче. Только при этом условии можно обеспечить осознанный и доказательный выбор действия и правильное решение задачи.

Моделирование.

Сейчас речь пойдет об очень важном в науке понятии — понятии модели. Это слово многим знакомо, особенно тем, кто занимается техническим моделированием — строит модели кораблей, автомобилей или самолетов. Такие модели воспроизводят некоторые свойства реальных устройств, например форму, способность плавать, ездить или летать. Можно привести и другие примеры моделей: глобус — это модель земного шара, манекен в магазине — модель человека, макет в мастерской архитектора — модель застройки города

Как правило, моделируемый объект представляет собой сложную систему. Например, автомобиль состоит из корпуса, двигателя, колес, рулевого управления, салона и пр. Модель автомобиля, построенная школьником, много проще. В ней, например, может отсутствовать двигатель, электропитание, рулевое управление и другие части, размер ее меньше размера настоящего автомобиля.

Любая модель воспроизводит только те свойства оригинала, которые понадобятся человеку при ее использовании. Например, манекен и производственный робот можно назвать моделями человека. Манекен нужен для того, чтобы на него можно было надеть одежду для рекламы или для удобства работы портного, но способности ходить, мыслить или разговаривать от него не требуется. Поэтому манекен должен воспроизводить лишь форму и размер человеческого тела.

Что же понимается под моделированием задачи? Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с обычными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, макетами, а также с их графическими изображениями: условными знаками, рисунками, схемами, чертежами.

Одним из наиболее распространенных формальных языков является алгебраический язык формул в математике, который позволяет описывать функциональные зависимости между величинами.

               Математические модели и их свойства

                                                       Понятие математической модели.

Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

Построение математической модели задачи – перевод исходной задачи на математический язык: вводятся переменные, ищутся связи между ними, устанавливаются ограничения на них. Любая математическая модель – модель каких-то прикладных задач (экономических, физических, биологических, технических и т.п.)

Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи. Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель начинает жить самостоятельно.

Смоделировать задачу в виде:

	Таблица						Функция
					Компьютерная модель
		Уравнение

 

Задача 1.

К дому   нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Построим математическую модель задачи

Учитывая, что количество как  одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда  7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное  уравнение

7х + 5у = 167

Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

          Так как х, у Є  Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.

(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.

Задача 2 .

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

х                                                  60 - х

A_____________________________B      

АС = х  

ВС = 60 - х

Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

Ясно, что  это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно  здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;

б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;

в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.

Задача 3 .

Для изготовления двух видов изделий А и В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. При изготовлении указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

Таблица

Затраты на одно изделие		А	В	Ресурсы
Материалы	Сталь (кг)	10	70	320
Материалы	Цветные металлы (кг)	20	50	420
Оборудование	Токарные станки (станко-ч)	300	400	6200
Оборудование	Фрезерные станки (станко-ч)	200	100	3400
Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.)		3	8

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Решение.

Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то

10х +70у £ 320

20х + 50у  £  420

(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:

300х + 400 £ 6200

Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:

200х +100у = 3400

Итак, система ограничений этой задачи есть:

10х  + 70у £ 320

  20х  +  50у £ 420

                300х  +  400у £ 6200    (1)

      200х  + 100у = 3400

                                                                  х  ³ 0, у ³ 0.

Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией

                                                        F = 3х + 8у.                                                    (2)

Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:

                                                             х +7(34 –2х) £  32

           2х + 5(34 – 2х) £ 42

3х + 4( 34 – 2х) £ 62

                                                              у = 34 – 2х                 (3)

                                                             х ³ 0

                                                            34 – 2х ³ 0,

F = 3х + 8(34 – 2х) = -13х +272                 (4)

Преобразуем систему ограничений (3):

                                                             11

13х  ³ 206                                    х³15 13                                                                                            

8х  ³ 128                                      х ³ 16                           

          5х ³ 74                                         х ³ 14,8                       

  у =34  - 2х             Û              0 £ х £ 17          Û            16 £ х  £ 17

х ³ 0                                            у = 34 – 2х                         у = 34 – 2х

 х £ 17                                                                        

Очевидно, что F =272 –13х принимает наибольшее значение, если х=16.

Fнаиб = 272 – 13 * 16 = 64 (тыс. руб.)

Задача 4.

 Имеется квадратный лист картона. Из листа по углам вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость?  Какого размера нужно взять лист, чтобы получить из него коробку с максимальным объемом.

Цель моделирования Определить максимальный объем коробки.

Формализация задачи

Моделируется объект коробка, которая получается из картонного листа. Длина стороны листа известна (а). Определить максимальный объем коробки можно, проследив, изменение объема коробки при изменение размера выреза b. При изменении выреза изменяются такие параметры коробки, как размер дна, площадь дна, объем

Разработка модели

Информационная модель.

 

Объект	Параметры
	Название	значение
Картонный лист	Длина стороны а	Исходные данные
Вырез	Шаг изменения Db Размер b	Исходные данные Расчетные данные
Коробка	Длина стороны дна с Площадь дна S Объем V	Расчетные данные Расчетные данные Результаты

Для вывода формул математической модели составим  геометрическую модель в виде чертежа с указанием исследуемых характеристик объекта.

Расчетные параметры объекта определяются по формулам:

c=a-2b – длина стороны дна;

S=c² – площадь дна

V=Sb – объем

Здесь, а – длина стороны картонного листа, b – размер выреза. Первоначальный размер выреза b₀=0. Последующие размеры выреза определяются по формуле b_i+1=b_i+∆b

Компьютерная  модель

Для моделирования будем использовать среду электронной таблицы. В этой среде информационная и математическая модель объединяются в таблицу, которая содержит три области:

·         Исходные данные;

·         Промежуточные расчеты;

·         Результаты.

Заполним область исходных данных, взяв исходные параметры а=40 см ∆b=1см.

Составим таблицу расчета по приведенному образцу.

Задача определения максимального объема
Исходные данные
Длина стороны листа	40
Шаг изменения выреза	1
Расчет
Промежуточные расчеты			Результат
Размер выреза	Длина стороны дна	Площадь дна	Объем
0	=$B$3-2*A8	=B8^2	=C8*A8
=A8+$B$4	Заполнить вниз	Заполнить вниз	Заполнить вниз
Заполнить вниз

После сортировки по убыванию имеем:

Видно, что максимальный объем 4738,5  достигается при длине стороны дна 27 и размером выреза 6,5.

Приложение № 9

Критерий оценки защиты  творческой работы учащихся:

№	Критерий	1 балл	2 балла	3 балла
1	Логика изложения доклада	Доклад построен не грамотно, не дает представления о проведенной работе и  основной идее выбранной темы.	Доклад построен логично, но есть недостатки в его изложении	Доклад выстроен логично, грамотно, дает ясное представление о работе, её структуре, итогах и достоинствах
2	Компетент -ность в проблеме исследования	Не видна компетентность автора работы в проблеме исследования	Средняя оценка	Продемонстрировал высокую эрудицию и компетентность в проблеме исследования.
3	Эстетическое оформление работы	Работа выполнена не качественно, рукописный текст.	Эстетическое оформление работы удовлетворительное, текст печатный, но есть не точности в оформлении.	Грамотно и качественно оформлена работа, печатный текст, цветные графики и рисунки.
4	Качество наглядных материалов	Наглядные и раздаточные материалы отсутствуют	Наглядные материалы присутствуют, но не совсем адекватны логике доклада.	Наглядные материалы ярко иллюстрируют основную идею доклада.
5	Качество аргументации при ответах на вопросы	Ответы на вопросы не четкие, путанные, не дают представления о точке зрения автора.	Ответы на вопросы четкие, но не дают полного представления о выполненной работе.	Автор продемонстрировал способность формулировать и отстаивать собственную точку зрения при ответах на вопросы.
6	Дополнительные баллы за работу (указать за что?)

Оценка за защиту: 1 –4 балла – не заслуживает положительной оценки;

                                 5 – 9   баллов – «удовлетворительно»;

                                 10-13   баллов – «хорошо»;

                                 Выше 13 баллов – «отлично»

Примеры работ учащихся, при выполнении проекта «Дом, который строим мы»

Приложение №2

  Алгоритм

Беседа. Попробуем разобраться, что скрывается за этим мудреным словом «алгоритм». Представьте: Вам предлагают решить некоторую задачу. Что Вы для этого делаете?

Скорее всего, сначала анализируете условие задачи и определяете, что дано и что надо получить ( это еще не алгоритм ). Потом Вы начинаете думать, как получить ответ. У Вас появляется план решения поставленной задачи - определенная последовательность  действий, после выполнения которой, Вы надеетесь получить результат.

Эта последовательность действий и есть алгоритм.

Алгоритм – описание последовательности действий (план), строгое исполнение которых приводит к решению поставленной задачи за конечное число шагов.

Для записи алгоритма используются различные формы :

•         Словесная форма записи алгоритма - запись алгоритма в виде последовательности слов и (или) предложений. Словесное описание удобно для описания общей постановки задачи,  но неудобно при записи строгих команд;

•         Блок – схема -  запись алгоритма в виде последовательности специальных графических блоков - обозначений.  Блок - схема - прекрасное средство для визуального просмотра общей структуры сложной системы или процесса в целом;

•         Программа на алгоритмическом языке - запись алгоритма в виде последовательности операторов некоторого алгоритмического языка. Программа на языке программирования - конкретное воплощение словесного описания и блок - алгоритма на том алгоритмическом языке, который Вы можете использовать для решения задачи.

Стадии создания алгоритма:

1. Алгоритм должен быть представлен в форме, понятной человеку, который его разрабатывает.

2. Алгоритм должен быть представлен в форме, понятной тому объекту (в том числе и человеку), который будет выполнять описанные в алгоритме действия.

Если внимательно оглянуться вокруг, то можно обнаружить множество алгоритмов, которые мы постоянно выполняем. Мир алгоритмов очень разнообразен. Несмотря на это, удается выделить общие свойства, которыми обладает любой алгоритм.

Свойства алгоритмов:

1. Дискретность (алгоритм должен состоять из конкретных действий, следующих в определенном порядке);

2. Детерминированность (любое действие должно быть строго определено в каждом случае);

3. Конечность (каждое действие и алгоритм должны иметь возможность завершения);

4. Массовость (один и тот же алгоритм можно использовать с разными исходными данными);

5. Результативность (отсутствие ошибок, правильноcть результата алгоритма для всех допустимых входных значений).

Виды алгоритмов:

1. Линейный (описание действий, которые выполняются однократно в заданном порядке);

2. Циклический (описание действий, которые должны повторятся указанное число раз или пока не выполнено задание);

3. Разветвляющий (алгоритм, в котором в зависимости от условия выполняется либо одна, либо другая последовательность действий)

4. Вспомогательный (алгоритм, который можно использовать в других алгоритмах, указав только его имя).

Появление алгоритмов связывают с зарождением математики. Более 1000 лет назад (в 825 году IX века) ученый из города Хорезма Абдулла Мухаммед бен Муса аль-Хорезми создал книгу по математике, в которой описал способы выполнения арифметических действий над многозначными числами. Само слово алгоритм возникло в Европе после перевода на латынь книги этого математика.

В первой половине ХХ в. под словом алгоритм, в основном, подразумевали алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, описанный в «Началах» Евклида: нахождение наибольшего общего делителя (НОД) для двух положительных чисел а и b.

1.                  Сравнить числа а и b на совпадение. Если они не равны между собой, то перейти на п.2, в противном случае перейти на п.5.

2.                  Проверить условие а>b. Если это условие выполняется, то перейти на п.3, в противном случае перейти на п.4.

3.                  Найти разность а – b и заменить её значением значение а. Перейти на п.1.

4.                  Найти разность b – а и заменить её значением значение b. Перейти на п.1

5.                  Принять НОД (а – b) = а и прекратить процесс.

Особое внимание к конструированию алгоритмов стало проявляться с появление ЭВМ, так как решение задачи на вычислительной машине начинается с составления алгоритма, под которым понимают точное предписание о порядке выполнения конечного числа некоторых операций, позволяющих получить по исходным данным решение самой задачи.

Запись алгоритма должна быть такова, чтобы, выполнив очередную команду, исполнитель точно знал, какую команду необходимо выполнять следующей. Это свойство алгоритма называется детерминированностью. Должны быть определены начальное состояние объекта и его конечное состояние (цель преобразования). Алгоритм должен обеспечивать преобразование объекта за конечное число шагов.

Задача.

Длина класса 7 метров, ширина – 5 метров, высота – 3 метра. В классе 25учеников. Сколько кв. м площади и сколько куб. м воздуха приходится на одного ученика?

Решение задачи:

1. Вычислить площадь класса :

7 х 5 = 35

2. Вычислить объем класса :

35 х 3 = 105

3. Вычислить, сколько квадратных метров площади приходится на одного ученика :

35 : 25 = 1,4

4. Вычислить, сколько куб. метров воздуха приходится на одного ученика :

105 : 25 = 4,2

Ответ : на одного ученика приходится 1,4 кв. метров площади и 4,2 куб. метров воздуха.

Если теперь убрать вычисления и оставить только “действия”, то получим алгоритм – перечень операций, которые необходимо выполнить, чтобы решить данную задачу.

Получается, что при решении любой математической задачи мы составляем алгоритм решения. Выполнять алгоритм может не только человек, исполнителем может быть и компьютер. Теперь же мы будем только писать, что нужно сделать, но вычисления проводить не будем. Вычислять будет компьютер. Наш алгоритм будет представлять собой набор указаний ( команд ) компьютеру.

Когда мы вычисляем какую-либо величину, мы записываем результат на бумаге.

Компьютер записывает результат своей работы в память в виде переменной.

Поэтому каждая команда алгоритма должна включать указание, в какую переменную записывается результат. Алгоритм решения нашей задачи будет выглядеть так :

1. Вычислить площадь класса и записать в переменную S.

2. Вычислить объем класса и записать в переменную V.

3. Вычислить, сколько квадратных метров площади приходится на одного ученика и записать в переменную S1.

4. Вычислить, сколько куб. метров воздуха приходится на одного ученика и записать в переменную V1.

5. Вывести на экран значения переменных S1 и V1.

С понятием «Алгоритм» вы постоянно сталкиваетесь в различных сферах деятельности человека (кулинарные книги, инструкции по использованию различных приборов, правила решения математических задач...). Обычно мы выполняем привычные действия не задумываясь, механически. Например, вы хорошо знаете, как открывать ключом дверь. Однако, чтобы научить этому ребенка, придется четко разъяснить и сами эти действия и порядок их выполнения:

Пример

1. Достать ключ из кармана.                                     

 2. Вставить ключ в замочную скважину

3. Повернуть ключ два раза против часовой стрелки.                 

 4. Вынуть ключ.

Пример:

Имеются батон белого хлеба и нож . Необходимо отрезать три куска хлеба к ужину . Составим алгоритм решения этой задачи .

Алгоритм решения этой задачи можно сформулировать так:

1) взять батон;

2) взять нож;

3) отрезать один кусочек батона;

4) отрезать еще один кусочек батона ;

5) отрезать еще один кусочек батона .

Следует запомнить, что для алгоритма, вообще говоря, важна последовательность, в которой записаны действия: если в алгоритме поменять местами два некоторых действия, то можно получить результат, отличный от ожидаемого.

Вопрос:

Какой результат будет получен, если в предложенном выше алгоритме действие 1 сделать последним?

Пример

 Алгоритм кипячения молока

Налить в чашку молоко

Поставить чашку на плиту

Включить плиту

Ждать, пока молоко закипит

Выключить плиту

Некий злоумышленник изменил последовательность действий алгоритма и выдал следующую систему команд за алгоритм кипячения молока:

Поставить чашку на плиту

Ждать, пока молоко закипит

Включить плиту

Налить в чашку молоко

Выключить плиту

 Данное предписание не может считаться алгоритмом, т.к. не приводит к ожидаемому результату. Объясните, почему?

Пример

 Какие шаги следует выполнить, чтобы стать студентом

Окончить школу

Сдать тестовый экзамен

Пройти конкурс

Сдать необходимые документы  в учебное заведение, где готовят специалистов по выбранной вами специальности

Пример:

По заданным значениям b, c, d, g нужно получить значение m = f · t, где f = b + c, t = d : g.

Запись алгоритма в словесной форме :

1) задать исходные значения b=5, c=6, d=9, g=3;

2) вычислить значение f, равное сумме значений b и c;

3) вычислить значение t, равное частному от деления d на g;

4) вычислить значение m, равное произведению полученных значений f и t.

Задание:   Составить алгоритмы

1.                  «Подсчет объема траншеи»

Требуется отрыть траншею  длины  L для закладки фундамента. Форма траншеи – прямоугольник.

2.                  «Кладка стен здания из кирпича» Подсчет выработки

Найти выработку рабочего, если  норма на кладку 1куб.м стены – 2,3ч.

3.                  «Укладка труб. Время укладки»

Найти время выполнения работы по укладке труб общей длиной 265м, звеном из 6-ти монтажников, если норма на установку 1 пог.м трубы одним рабочим  - 0,47ч.

Приложение №3

Измерения при различных ограничениях

Вступительная беседа

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности. Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли (а именно такой мы ее считаем во всех задачах) ничем по существу не отличается от работы циркулем и линейкой на обычном листе бумаги. Это не совсем так. Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой любые прямые. На местности же, где расстояния достаточно велики, для подобных действий понадобилась бы длинная веревка ил огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще, чертить прямо по земле, какие бы то линии-дуги или прямые – представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику. Мы рассмотрим вопросы построения и измерения ограниченными средствами, поиска оптимального решения в той или иной ситуации и т.п.

Задача 1.

Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний.

Как Фалес измерял расстояние до кораблей в открытом море?

Решение: Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить  на берегу два равных отрезка АВ=ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные DBCD=DВАК, следовательно, CD=AK, а отрезок CD можно непосредственно измерить.

Задача 2.

«Лилия,  на одну пядь, поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места: исходя из этого требовалось определить глубину озера»

            Г.Лонгфелло, роман «Канава»

Решение:

(1 пядь равна 10 дюймам, два локтя 21 дюйму)

Решается эта задача на основе теоремы: если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение длин частей одной из них равно произведению длин частей другой.

21*21=10(х+(х+10)),

441=20х+100,

Х=17,05

Ответ: 17,05 дюймов.

Задача 3.

Вы плывете на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение:

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении. Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту над водой, на которую поднимется при этом точка В наклоненного камыша, заняв исходное положение С. Тогда, обозначив через основание D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного треугольника АВD находим х²+а²=(х+b)², откуда 2bx=a²-b²   и    x=(a²-b²)/2b.

Задача 4.

Как найти глубину котлована, не опускаясь в него?

Решение:

Глубину котлована можно измерить с помощью короткой палки. Для этого достаточно отыскать глазами на дне котлована какой-либо ориентир О и, встав на краю обрыва, установить палку горизонтально так, чтобы основание палки В оказалось на одной вертикали с глазами Н, а другой ее конец А зрительно совместился с ориентиром О. такую же операцию нужно проделать, лежа на краю обрыва и опустив основание С палки по той же вертикали ниже края обрыва. Измерив, расстояние b и c  от глаз до основания палки в первом и втором положении соответственно, а также зная свой рост до уровня глаз (h), можно вычислить глубину х котлована. Обозначим через y – расстояние по горизонтали от ориентира до проекции края обрыва. Тогда из подобия соответствующих треугольников имеем (x+h)/y=b/a,  x/y=c/a, откуда (x+h)/x=b/c  и   x=h*[c/(b-c)].

5. Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером).  Точки А и В доступны.

     Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС * ВС cos угла С.

6.   Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний а) до двух данных точек, б)  до  трёх данных точек – наименьшая. *Обобщите гипотезу на n точек.

7.      Впишите в данный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра (так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника). [Начните с простых частных случаев.]

8. Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

Приложение №4

Экстремальные задачи

Вступительная беседа.

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.

Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию ( от латинского “оптимум” – наилучший). Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

Следует различать также два вида задач на оптимизацию. В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений:  выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В задачах второго рода качественная сторона дела остается  неизменной, но  меняются количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных.

Задача 1.

У Л.Н.Толстого есть рассказ «Много ли человеку земли надо». В этом рассказе говориться о том, как крестьянин Пахом мечтал о своей собственной земле. Волей случая удалось наконец накопить нужную сумму денег. И предстал Пахом перед старшим, который выдвинул ему следующее условие: «Сколько обойдешь за день земли, вся твоя и будет за 1000 рублей. Но если ты не возвратишься к заходу солнца, на место с которого выйдешь, то все твои деньги пропадут». Выбежал утром Пахом, прибежал к заходу солнца на место и упал без чувств, обежав четырехугольник с периметром 40 км. Вариантов много, но по какой траектории было выгодней всего бежать Пахому?

Решение: Рассмотрим квадрат и прямоугольник. По условию Р_кв=Р_п/у. Тогда  сторона квадрата – Р/4. (Р/4+b) – длина прямоугольника, (Р/4-b) – ширина прямоугольника. Сравним (Р/4)² и (Р/4+b)(P/4-b). Или (Р/4)² и (Р/4)²- b². Очевидно (Р/4)² > (Р/4)²- b².

Вывод: из прямоугольников с одинаковыми периметрами, квадрат имеет наибольшую площадь.

Задача 2.

«Все мое, мое!» - говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики – изопериметрической задачи.

Изопериметрическая задача. Среди всех замкнутых линий данной длины найти ту, которая охватывает наибольшую площадь.

Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна! Ответ был известен человечеству почти 3 000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце XIX века.

История изопериметрической задачи началась в IX веке до н.э., когда, как написал в своей поэме «Энеида» древнеримский поэт Вергилий, дочь финикийского царя принцесса Дидона, спасаясь от своего брата, замыслившего заговор против нее, снарядила корабль и со своими слугами отправилась в плавание вдоль южного побережья Средиземного моря. После нескольких дней плавания корабль причалил к живописному берегу на территории современного государства Тунис. Принцесса попросила вождя местного племени Ярба выделить ей участок земли на берегу для того, чтобы основать там свое поселение. Вождь с усмешкой предложил ей взять столько земли, сколько можно ограничить одной бычьей шкурой. Тогда хитрая Дидона приказала разрезать бычью шкуру на очень тонкие полосочки, из которых сплели длинную веревку. Считая для простоты линию берега прямой, получаем задачу, которую Дидоне предстояло решить.

Задача Дидоны.

От прямой линии берега веревкой данной длины            

отгородить участок земли наибольшей площади.

Решение:

Задача Дидоны в точности равносильна                 

изопериметрической задаче. Пусть, для

определенности, длина веревки равна 1км.

Сделав симметрию относительно прямой линии

 берега, получим замкнутую линию длиной 2 км.

Она ограничивает наибольшую площадь, когда

является  окружностью. Следовательно, веревка

 должна ограничивать полукруг.

Так, согласно легенде, был основан знаменитый город древнего мира Карфаген.   

            Задача 3.

Задача Герона. На плоскости дана прямая n и точки А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой точку М, для которой сумма АМ+МВ наименьшая.

Решение:

Для решения построим точку В₁ симметричную точке

В относительно прямой n. Соединим точки А и В₁.

 Отрезок ВМ переходит при симметрии в отрезок

В₁М, следовательно, АМ+ВМ=АМ+В₁М. согласно

неравенству треугольника, сумма АМ+В₁М принимает

 наименьшее значение, когда точка М лежит на отрезке

АВ₁. таким образом, М – точка пересечения прямой n с

отрезком  АВ₁; для этой точки сумма АМ+ВМ равна длине отрезка АВ₁, при другом выборе точки м эта сумма будет больше АВ₁.

Эту задачу можно рассматривать как сугубо практическую: где на прямой дороге нужно поставить остановку, чтобы суммарный путь до нее от деревень А и В был наименьшим?

Задача 4.

Школа, детский сад, работа отца и работа матери находятся в разных местах. (на чертеже точки A,B,C,D. Где семье выбрать место для строительства дома, чтобы сумма расстояний от него до учреждений была наименьшая?

Решение:

Искомая точка М является точкой пересечения диагоналей    D

четырехугольника. В самом деле: по неравенству                                                           C

треугольника, сумма расстояний АМ+СМ не меньше                                  M

диагонали АС, а сумма расстояний ВМ+DM не меньше

ВD. Поэтому минимум суммы расстояний равен АС+ВD

и достигается в точке пересечения диагоналей.                                            О

                                                                                                             A                          B

Прием, которым решается задача Герона, можно назвать

 «выстраивание отрезков в прямую линию». Суть его проста: с помощью движений плоскости несколько отрезков выстраиваются в ломаную, которая, по неравенству треугольника, будет иметь наименьшую длину, когда ее звенья лежат на одной прямой. Так, в задаче Герона, в качестве движения использовалась симметрия относительно прямой n.

Задача 5.

Дана прямая n и точки А и В по разные стороны от нее. Найти на прямой точку М, для которой величина ½АМ-ВМ½ принимает наименьшее значение.

Задача 6.

Деревни А и В разделены рекой, берега которой параллельны. Где на реке нужно поставить мост, чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим (мост перпендикулярен берегу реки)?

Задача 7.

Деревни А и В разделены двумя параллельными реками разной ширины. На каждой реке нужно поставить мост так, чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим  (мосты перпендикулярны берегам)?

Задача 8.

 Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач

Задача 8.

Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение.

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

          Пусть AB=x, AD=y,тогда                      

 P=AB+BC+AD+ È DMC

 P=x+2y+0,5  p  x  (1)

 S=AB*BC+p*x² /8

 S=xy+ x²*  p/8    (2)

  Из (1),(2) следует, что  S(x)=-(p/8 +1/2)x²  +3x

Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

x   =-b/2a,    т.е. x  =12/(p +4), y= 6/ (p +4).

Ответ: размеры окна 6/(p +4),12/(p +4).

Задача 9.

На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν₀ = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении,  изменяется в зависимости от времени по закону s = s₀ +  ν₀ t + at²/ 2, где s₀ – начальный путь, ν₀ – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

В рассматриваемом случае s =0,v  =300 м/с, а=-5 м/с  ,значит,S(t) = 300t – 5t² .

Функция S(t) принимает наибольшее значение при

                            S(30)= 300*30-5*30²  =4500(м)

Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.

Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.

Задача 10.

Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).

Составьте уравнение этой параболы.

Решение.

Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax² + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.

 4 = c                                             c = 4                                       c = 4,                                         

 0 = 100a + c                                 100a = -4                                a = - 0,04  

Парабола имеет вид: y = - 0,04x² + 4.        

Приложение №5

Математика в экономике и бизнесе

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить  знания в этой области.

                                   Проценты  в жизненных ситуациях.

Товар.

Задача1.

Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение. Пусть х(р) – первоначальная цена товара. Найдем 25% от х рублей. Получим, что на 0,25х (р) повысили цену товара. х+0,25х=1,25х (р) стала цена товара после первого повышения.

Найдем 10% от 1,25х (р). Получим, что на 0,125х (р) повысили цену товара. 1,25х+0,125х=1,375х (р) – стала цена товара после второго повышения.

Найдем 12% от 1,375х (р). Получим, что на 0,12*1,375=0,165х (р) повысили цену товара. 1,375х+0,165х=1,54х (р) стала цена товара после третьего повышения.

Итак, на 1,54х-х=0,54х (р) повысили первоначальную цену товара.

Итого в %: 0,54х/х*100%=54%.

Ответ: на 54%

Задача2.

На весенней распродаже в одном магазине сапоги стоимостью 3 500р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине сапоги такой же стоимости уценили на 45%. В каком магазине выгоднее купить эти сапоги?

Ответ: во втором

Штрафы.

Задача 3.

 За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада и кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. руб. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?                       Ответ: 5 тыс. руб.

Задача 4.

 Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две недели? 

                                                                                                        Ответ: 595 р.

Банковские операции

Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество – выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называли лихвой. Так, в древнем Вавилоне она составляла 20% и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в XIV-XV веках в Западной Европе широко распространились банки  - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т.п. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

Тех, кто берет в банке деньги, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. С одной стороны банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой – дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами.

Рассмотрим схемы расчета банка с вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

                        Простые проценты.

Увеличение вклада S₀  по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течении всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S₀ независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года p% от первоначальной суммы S₀. тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет  S₀*p/100     рублей и величина вклада станет равной S=S₀*(1+p/100) рублей;  p% называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты S₀*p/100     рублей, а сумму S₀ оставит, в банке вновь начислят S₀*p/100  рублей, а за два года проценты составят 2 S₀*p/100  рублей, через n лет на вкладе по формуле простого процента будет S_n=S₀(1+pn/100) рублей.

                        Сложные проценты.                                                                                               Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять p% уже на новую увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад S₀, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

S_n = S₀*(1+p/100)ⁿ, n Î Z

Задача 5.

Положили 6500 руб. под 3% годовых. Сколько денег на книжке будет в конце года? Определите вид вклада.
 6500 + 6500 ∙ 0,03 = 6695 (руб.)
 Ответ: вид вклада – Сберегательный

Задача 6.

В начале года на сберкнижку в Сбербанк было положено 1600 руб., а в конце года (до начисления %) взято 750 руб. В конце второго года на книжке оказалось 867 руб. Сколько % начисляет Сбербанк?
       Решение.
1) 1600 - 750 = 850 (руб.) - осталось в конце первого года.
2) (867 - 850) : 850 ∙ 100 = 2(%) - в год.
Вклад: "До востребования".

Задача 7.

За хранение денег сбербанк выплачивает   вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. Сколько денег будет на счете вкладчика через  пять лет, через 10 лет?

Решение:

Используя формулу: S_n=S₀(1+pn/100)

                        S₅=5000(1+5*8/100)= 7000 (p)

                        S₁₀=5000(1+10*8/100)=9000 (p)

Задача 8.

 За хранение денег сбербанк начисляет   вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течении десяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через 5 лет, через десять  лет?

Решение.

Используя формулу:   S_n = S₀*(1+p/100)ⁿ, n Î Z

                    S₅ = 5000(1+8/100)⁵= 5000*1,08⁵=5000*1,469=7346,64 (p)

                    S₁₀ = 5000(1+8/100)¹⁰=5000*2,158= 10789,8 (р)

 Задача 9.

 Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 %  годовых?

Решение:

           1312,5= S₀(1+25/100)²

            1312,5= S₀*1,5625

            S₀=840

Ответ: 840 рублей.

Задача 10.

Житель поселка N решил взять ссуду в банке размером 900 000 рублей на строительство дома. Один банк предложил ссуду под 16% годовых сроком на 20 лет, а другой под 14% годовых на 25 лет. В каком банке заемщику выгоднее взять ссуду?

Решение:

Используя формулу:   S_n = S₀*(1+p/100)ⁿ, n Î Z, имеем

            S₁=900 000*(1+0,16)²⁰» 17514684 (руб)

            S₂=900 000*(1+0,14)²⁵» 23815724 (руб)

            S₁ < S₂, значит в первом банке выгоднее взять ссуду.

Ответ: в первом банке.

Решение задач с помощью уравнений.

Задача 11.

Коммерсант перечислил некоторую сумму в коммерческий банк под определенный процент годовых. Через год он снял 1/3 накопленной за год суммы. Процент годовых банка на следующий год был увеличен вдвое, поэтому еще через год накопленная сумма увеличилась на 68% от первоначального вклада. Чему равен первоначальный процент годовых?

Решение.

Пусть коммерсант перечислил х (р) под р% годовых, р% от х составляет 0,01рх. Через год сумма стала (х+0,01рх) (р). после того, как через год 1/3 суммы была снята, 2/3(х+0,01рх) (р) осталось в банке на второй год под 2р%. найдем 2р% от 2/3(х+0,01рх), т.е. 2/3(х+0,01рх)*0,02р (р) начислено под проценты. Через два года сумма стала

            2/3(х+0,01рх)+ 2/3(х+0,01рх)*0,02р=2/3(х+0,01рх)(1+0,02р).

Так как по условию накопленная сумма увеличилась на 68% от первоначальной, то составим уравнение:            

Спрос и предложение:     2/3(х+0,01рх)(1+0,02р) – х=0,68х       :х,  (х¹0)

                                               р²+150р-7600=0

                                               р₁=-190,  не имеет смысла

 р₂=40

Ответ:  40% - первоначальный процент годовых.

Задача 12.

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Задача 13.

Фермер взял кредит в банке под определенный процент. На следующий год банк повысил процент кредита втрое, поэтому фермер вернул 2/3 всей задолженности за первый год. Через два года долг фермера составил 64% от первоначально взятой суммы. Сколько кредитов берет банк за второй год?

Задача 14.

Вкладчик внес некоторую сумму в сбербанк под определенный процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил ее в коммерческий банк, процент годовых которого был в два раза выше, чем в сбербанке. Еще через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила первоначальную сумму на 4%. Каков процент годовых в сбербанке?

  Спрос и предложение.                               

Задача 15.

На валютном рынке сложилась следующая ситуация: при курсе 20 р/долл объем рыночного предложения валюты равен нулю, а величина спроса составляет 60 млн долл. Кроме того, известно, что при курсе 30 р/долл рынок находится в равновесии и равновесный объем продаж валюты составляет 40 млн долл. Исследования финансовых аналитиков показали, что зависимости величины спроса и объема предложения валюты от ее цены характеризуются линейными функциями. Определите, какой объем валюты должен продать или купить Центральный банк, чтобы снизить равновесный курс до 25 р/долл?

Решение.

Перед составлением математической модели этой задачи учащиеся должны вспомнить некоторые экономические понятия и факты.

Функция спроса на товар характеризует зависимость между ценой товара и величиной спроса на него. Аналогично определяется и функция предложения товара – это функция, описывающая сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Состояние равновесия на рынке характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса на товар совпадает с величиной его предложения.

Так как по условию задачи спрос и предложение задаются линейными функциями, то можно записать, что функция спроса имеет вид q=k₁p+b₁, а функция предложения q=k₂p+b₂, где p – цена валюты в р/долл, а q – объем покупки/продажи валюты в млн долл.

Учитывая условие задачи, для нахождения значений k₁, k₂, b₁, b₂ составим две системы:

       

     10k₁+b₁=60,                                             10k₂+b₂=0,

      30k₁+b₁=40;                                            30k₂+b₂=40.

 Решив первую систему, получим, что k₁=-1, b₁=70. таким образом, функция спроса на валюту имеет следующий вид: q= -p+70.

Решением второй системы является пара  b₂ = -20, k₂ =2. таким образом предложение валюты задается функцией q=2p-20.

Рассчитаем объем спроса и объем предложения при курсе валюты 25 р/долл.

Если p=25, то, подставив данное значение  p в функцию спроса, имеем   q=45 млн долл. Аналогично, подставив p=25 в функцию предложения, получаем q=30, то есть объем предложения валюты равен 30 млн долл.

Таким образом, при курсе 25 р/долл величина спроса на валюту превышает объем ее предложения на 15 млн долл, то есть на рынке валюты наблюдается избыточный спрос. Откуда заключаем, что для того, чтобы снизить равновесный курс доллара до 25 р/долл, Центральному банку необходимо увеличить предложение валюты, продав для этого 15 млн долл.

Задачи на «сухое вещество» вызывают у учащихся наибольшее затруднение.

Прежде всего, надо сообщить учащимся, что любой продукт – яблоки, грибы, картофель, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причем воду содержат как свежие, так и сушеные продукты. В процессе высыхания  испаряется только вода, а сухое вещество никуда не девается и его масса не изменяется.

Задача 16.

 Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 15%. Сколько получится сухих грибов из 17 кг свежих?

    Решение:

По условию задачи: в 100% свежих грибов содержится 90% воды, находим, что сухого вещества – 10%. В 100% сухих грибов содержится 15% воды, значит сухого вещества – 85%. Запишем данные в таблицу.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы	100%
Вода	90%		Вода	15%
Сухое вещество	10%		Сухое вещество	85%

По условию задачи взяли свежих грибов 17 кг. В них содержится 90% воды, значит

17^. 0,9 = 15,3 кг. и сухого вещества осталось 17 – 15,3 = 1,7 кг.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17 кг.	Сушеные грибы	100%
Вода	90%	15,3 кг.	Вода	15%
Сухое вещество	10%	1,7 кг.	Сухое вещество	85%	1,7кг

В этот момент следует обратить внимание на то, что масса сухого вещества в процессе высыхания не меняется. Зная это, заполняем ещё одну ячейку таблицы: 1,7 кг сухого вещества в сушеных грибах.

Теперь можем ответить на вопрос задачи: 1,7 : 0,85 = 2 кг. сухих грибов получится из 17 кг свежих.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	17 кг.	Сушеные грибы	100%	2 кг.
Вода	90%	15,3 кг.	Вода	15%
Сухое вещество	10%	1,7 кг.	Сухое вещество	85%	1,7 кг.

Итак, анализируя условие задачи, мы заполняли таблицу и в результате получили ответ на вопрос задачи. Но это только поиск решения. Осталось записать решение.

Решение:

1) 100 – 90 = 10 (%) сухого вещества содержится в свежих грибах.

2) 17 ^. 0,1 = 1,7 (кг) сухого вещества содержится в 17 кг свежих грибов.

3) 1,7 : 0,85 = 2 (кг)  сушеных грибов получится из 17 кг. свежих.

                                                                                             Ответ: 2 кг.

Задачи для самостоятельного решения.

1. По показателю лесистости  наш район занимает 5-е место в области, уступая Семеновскому, Варнавинскому, Тоншаевскому и Воскресенскому районам. Леса в  районе занимают  72,7% от общей площади.  ( S =176000 га) Найти площадь лесов Краснобаковского района.

                                                                                                    Ответ: 127600 га.

2. На долю хвойных пород в лесах Краснобаковского района приходится около  52% покрытой лесом площади, (127600 га.) на долю мягколиственных пород - 46%,  остальные  твердолиственные породы. Какую площадь занимают  хвойные породы и какую твердолиственные?

                                          Ответ: 66352 га занимают хвойные породы,

                                                       2552 га занимают твердолиственные.

3. В 2007 году Ветлужскую СОШ окончили  37 выпускников, из них 65% поступили в высшие учебные заведения, 30% оставшихся поступили в Краснобаковский  лесхоз-техникум. Сколько человек поступили в ВУЗы и сколько в лесхоз-техникум?

                                      Ответ: 24 ч. поступили в ВУЗы и 4 в лесхоз-техникум.

4. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%.

Сколько сена получится из 1 т. свежескошенной травы?

                                                                                           Ответ: 500 кг. сена.

Приложение №6

Золотое сечение

При изображении пространственных фигур важное место занимает вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих вместе единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора, который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое деление, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.  В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением, а в эпоху Возрождения его называли золотым сечением (sectio aurea). Этот термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519). В 1509г. монах Лука Пачоли, друг Леонардо, написал целуу книгу о золотом сечении, которую назвал “Sectio divina” – «божественная пропорция». Леонардо да Винчи выполнил иллюстрации к этой книге. В ней воздействие божественной пропорции на человека называлось «существенным, невыразимым, чудесным, неизъясниним, неугасимым, возвышенным, превосходнейшим, непостижимым».

Сначала выясним, каким числом выражается золотое сечение. Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части. Большую часть обозначим за х. Тогда  меньшая часть равна  1-х. По определению золотого сечения должно выполняться равенство (1-х):х=х:1. Мы получили уравнение относительно х, которое легко свести к квадратному х²+х-1=0. Положительный корень этого уравнения равен

 х=(-1+Ö5)/2»0,6.

Итак, если длина исходного отрезка равна 1, то его большая часть при золотом сечении равна примерно 0,6.

Полученное число обозначается буквой j. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведения. Самыми знаменитыми из них были статуи Зевса Олимпийского (которая считалась одним из семи чудес света) и Афины Парфенос.

Пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты. Поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Причем не только вся статуя, но и отдельные ее части делятся в золотом отношении.

Одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры – Парфено в Афинах (V в до н.э.) содержитв себе золотые пропорции. Так, отношение высоты здания к его длине равно j. Если произвести деление высоты Парфенона по золотому сечению, то получи те или иные выступы здания.

Известный русский архитектор М.Ф. Казаков тоже широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Его можно обнаружить, например, в архитектуре здания Сената в Кремле.

По проекту М.Ф.Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей им.Пирогова. Фасад этого здания на рисунке.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, называют иногда золотым прямоугольником.

Золотые прямоугольники обладают многими интересными свойствами.

Если, например, от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших

Спираль Архимеда

размеров. Если этот процесс продолжить, то получим так называемые вращающиеся квадраты, и весь прямоугольник оказывается составленным из этих квадратов. Если соединить противоположные вершины квадратов плавной кривой, то получим кривую, называемую «золотой спиралью». Эту кривую можно заметить в созданиях природы. Например, раковины многих моллюсков, улиток, рога архаров закручиваются по золотой спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетает свою паутину по золотой спирали. Природа повторяет свои находки как в малом, так и в большом, например семечки в подсолнухе располагаются по золотой спирали точно так же, как закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

Можно сказать, что золотое сечение, золотой прямоугольник и золотая спираль являются математическими символами идеального соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их даже математическими символами жизни и духовного развития.

Задачи для решения.

Задача 1.

Для данного отрезка постройте с помощью циркуля и линейки отрезок, находящийся с данным в золотом отношении.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Задача 2.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁ откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Задача 3.

На рисунке изображен лотарингский крест, служивший эмблемой «Свободной Франции» (организации, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль).

он составлен из 13 единичных квадратов. Покажите, что прямая, проходящая через точку А и делящая площадь лотарингского креста на две равные части, делит отрезок ВС в золотом отношении.

Решение:

Пусть прямая  DF делит крест на две равновеликие части, тогда S_DEF =2,5 кв ед. Обозначим  DC =х,   GF=y. Учитывая, что сторона каждого квадрата равна 1, получим: [(x+1)(y+1)]/2=2,5. Рассмотрим   DDCA и

 DAGF. Они подобны, т.е. х/1=y/1. Таким образом, получаем систему

        (x+1)(y+1)=5

         xy=1, 

 из которой находим  х=(3-Ö5)/2 и, значит,  BD=(Ö5-1)/2, т.е. точка  D делит отрезок ВС в золотом отношении.

Задача 4.

Обозначим  Ф=(Ö5+1)/2.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а=1 и b=2. Найдем отношение  отрезков a/b=1/2; c/a=Ö5/1; c/b=Ö5/2; (a+c)/b=(1+Ö5)/2=Ф,

где с – длина гипотенузы. Последнее отношение и есть золотое сечение.

Выполним соответствующие геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

а) Из точки В проведем окружность радиусов а=1, которая пересечет гипотенузу АВ в точке D, а ее продолжение в точке М; АМ=Ö5+1.

б) Из точки А проведем окружность радиусом b=2, которая пересечет отрезок АМ в точке К. тогда АМ:АК=(Ö5+1)/2=Ф. следовательно точка К (как и точка D) делит отрезок АМ в золотом отношении.

Задача 5.

Построить отрезок длины Ф, если дан квадрат ABCD со стороной 1.

Решение.

Отметим на стороне АВ квадрата ее середину -  точку К и проведем отрезок КС. Продолжим сторону ВС за точку С, а из точки М – середины отрезка ВС – проведем окружность радиусом КС. Эта окружность пересечет луч ВС в точке N. Очевидно, что КС=Ö0,25+1=Ö5/2, тогда

BN=1/2+Ö5/2=(1+Ö5)/2=Ф.

Задача 6. «Золотой треугольник»

Построить равнобедренный треугольник по боковым сторонам, равным Ф+1 и основанию, равному Ф. Определить углы этого треугольника (при вычислениях можно пользоваться калькулятором). Доказать, что Ф²=Ф+1.

Решение:

Отложим отрезок АВ=1. из точки В восстановим перпендикуляр к отрезку АВ и от точки В отложим на нем отрезок ВС=1. разделим отрезок АВ пополам и обозначим его середину через О. соединим О и С, длина отрезка ОС=Ö5/2. из точки О проведем окружность радиусом Ö5/2, пересекающую луч АВ в точке D, AD=Ф. из точек А и D построить окружности радиусом  Ф+1.

На рисунке показан треугольник со сторонами АС=Ф, АЕ=ЕС=1+Ф. медиана ЕО треугольника АСЕ является одновременно его биссектрисой и высотой. Тогда cosÐEAO=AO/AE= Ф/2:(Ф+1)=[(Ö5+1)/4]: [(Ö5+1)/2+1]=(Ö5-1)/4. С помощью калькулятора найдем значение полученного выражения и градусную меру угла ЕАС: она равна 72⁰. в данном случае ÐЕАС=ÐЕСА=72⁰ и ÐАЕС=36⁰. Осталось доказать, что Ф²=Ф+1.Это нетрудно сделать выполнив необходимые операции:  Ф+1=(Ö5+1)/2+1=(Ö5+3)/2;

Ф²= [(Ö5+1)/2]²=(6+2Ö5)/4=(Ö5+3)/2. Значит Ф²=Ф+1.

Задача 7.

Доказать, что 2cos(p/5)=Ф.

Решение.

Из точки М на стороне АЕ (АМ=1) проведем прямую, параллельную АС, которая пересечет сторону СЕ в точке К, АК – биссектриса ÐЕАС. Четырехугольник АМКС – равнобокая трапеция, а ММ₁ и КК₁ ее высоты. Нетрудно видеть, что DАММ₁=DСКК₁ и АМ₁=К₁С=(Ф-1)/2. Но тогда АК₁=(Ф-1)/2+1=(Ф+1)/2. DАКК₁ прямоугольный и АК=АС=Ф. Тогда cosÐКАК₁=АК₁/АК=[(Ф+1)/2]:Ф=(Ф+1)/2Ф, или cos36⁰=(Ф+1):2Ф. В задаче 2 было доказано, что Ф²=Ф+1, тогда cos36⁰=Ф²/2Ф=Ф/2. учитывая, что 36⁰=p/5 радиан, получаем  cos(p/5)=Ф/2,       2cos(p/5)=Ф. Итак, доказано красивое соотношение, показывающее зависимость между числами p и Ф.

Задача 8.

В полукруг вписан квадрат АВСD со стороной 1. вычислить отношение МС:ВС.

Решение: По условию ВС=1, тогда ОС=1/2,R=Ö5/2; МС=Ö5/2+1/2=(Ö5+1)/2;   МВ==Ö5/2-1/2=(Ö5-1)/2. отношение МС:ВС=(Ö5+1)/2 и отношение ВС:МВ=1:(Ö5-1)/2=(Ö5+1)/2. как видим найдена золотая пропорция МС:ВС=ВС:МВ=Ф.

Задача 9.

С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон 1: [(Ö5-1)/2].

Решение:

Поделим отрезок АВ точкой С в отношении золотого сечения. Из точки А восстановим перпендикуляр АК к отрезку АВ. Из точки А проведем окружность радиуса АС=(Ö5-1)/2. она пересечет перпендикуляр АК в точке D. последующие построения очевидны. Они завершают чертеж прямоугольника ABED, отношение сторон которого 1: [(Ö5-1)/2].

Пентаграмма.

Немецкий профессор Г.Е.Тимердинг, написавший в первой четверти ХХ века книгу

о золотом сечении, констатирует: "У пифагорейцев <...> с правильным пятиугольником

 была связана мысль о таинственных силах и свойствах, но эти свойства обнаруживаются лишь тогда, когда рядом с обыкновенным правильным пятиугольником будет рассматриваться та звезда, которая получается при последовательном соединении через одну всех вершин обыкновенного пятиугольника, составленная диагоналями пятиугольника", - и далее отмечает: пентаграмма играла большую роль во всех магических науках. Пятиконечная звезда, как показывает Тимердинг, буквально нашпигована пропорциями золотого сечения.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Приложение №7

 «Замощение плоскости. Что это?»

На рисунке видно, что вся плоскость покрыта

одинаковыми, повторяющимися фигурами.

Такое покрытие называется замощением плоскости.

Замощение – это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.

Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Поначалу эти конструкции воспринимались как изящные безделушки, но в настоящее время опубликовано несколько сот серьезных научных

статей по физике и математике квазикристаллов – материалах нового типа, открытых в 1984 году. Их физическому открытию предшествовало создание занятных математических моделей – узоров Пенроуза.        Всадники М.Эшера

Различают замощения:

1.  Периодическое замощение                                                     

Замощение, которое переходит в себя на вектор u  и на вектор v.

2. Квазипериодическое замощение:

                  

Любая конечная часть замощения встречается во всем замощении бесчисленное количество раз.

 Рассматривают также замощения с нарушением сплошности и без нарушения сплошности.

Сплошность – это замощение плоскости без сквозных швов.

                

Широкое применение понятие «замощение плоскости» получило при изготовления паркетов.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников. Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.

                         

             Рис.1                                                                      Рис.2

                       

                                                           Рис.3

Оказывается, что других правильных паркетов не существует.

Докажем это.

Углы правильного n-угольника равны     (n-2)/n*180⁰. если в одной вершине паркета сходится m правильных n-угольников, то должно выполняться равенство  m*(n-2)/n*180⁰=360⁰, откуда m=2т/(n-2). Возможными допустимыми значениями n являются 3,4 и 6. при остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника, данного периметра, наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом как можно меньше воска.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие паркеты называются полуправильными.

Для выяснения количества полуправильных паркетов нужно проанализировать возможные случаи расположения правильных многоугольников вокруг общей вершины.

Для этого обозначим через a₁, a₂… - углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания  a₁£a₂£a₃… Учитывая, что сумма таких углов должна быть 360⁰, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажем соответствующие паркеты.

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a1+a2+…=3600
600	600	600	600	600	600	Паркет из треугольников (рис.2)
600	600	600	600	1200		Паркет из треугольников и шестиугольников (рис.4)
600	600	600	900	900		Два паркета  из треугольников и четырехугольников (рис.5,6)
600	600	900	1500			Нет паркета
600	600	1200	1200			Паркет из треугольников и шестиугольников (рис.7)
600	900	900	1200			Паркет из треугольников, четырехугольников и шестиугольников (рис.10)
600	1500	1500				Паркет из треугольников и двенадцатиугольников (рис.10)
900	900	900	900			Паркет из квадратов (рис.1)
900	1200	1500				Паркет из четырехугольников, шестиугольников и двенадцатиугольников (рис.11)
900	1350	1350				Паркет из четырехугольников и восьмиугольников (рис.8)
1200	1200	1200				Паркет из шестиугольников (рис.3)

          

            Рис.4                                                  Рис.5                                       Рис.6

             

            Рис.7                                                  Рис.8                                      рис.9

                        

                        Рис.10                                                            Рис.11

Таким образом, имеется всего 11 типов правильных и полуправильных паркетов.

Задачи на составление паркетов:

1. Нарисуйте правильные и полуправильные паркеты.
2. Можно ли составить паркет из правильных:

a)      Пятиугольников;

b)      Семиугольников?

3. Можно ли составить паркет:

a)      Из прямоугольников;

b)      Параллелограммов;

c)      Треугольников произвольной формы?

4. Составьте паркет из равных четырехугольников произвольной формы.
5. Докажите, что с помощью центрально симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно замостить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
6. Получите паркет, составленный из греческих крестов.
7. составьте паркет из равных:

a)      пятиугольников;

b)      десятиугольников.

8. Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов. Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь комнаты равна 100 м², а сторона правильного восьмиугольника – 10 см?
9. В каком отношении должны находиться количества серых и белых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет, заполняющий всю плоскость?
10. В каком отношении должны находиться количества правильных шестиугольников, треугольников и квадратов, чтобы из них можно было составить паркет, заполняющий всю плоскость?

      11.  Доказать, что правильными треугольниками или шестиугольниками нельзя замостить комнату.

      12. Придумать пример прямоугольной комнаты, которую нельзя замостить никакими квадратными плитками.

Приложение №8

Задача  1.

В России под отходы занято 250 тыс. га земельных угодий, что составляет 0,5% всей площади. Какова площадь земельных угодий в России?

Какое значение играет природа в жизни человека? Люди знают, что разрушать природу нельзя, так зачем же они это делают? О чем бы ты написал в сочинении “Природа и здоровье человека”?

Задача  2.

Суммарный выброс в атмосферу вредных веществ по Нижегородской области в 2001 году составил 235,2 тыс. тонн, причем, в том числе, твердых веществ – 14,7 тыс. тонн. Какая часть твердых веществ выбрасывается в атмосферу, выразите в процентах.

Что такое выхлопные газы? (Выхлопные газы опасны для здоровья человека, так как в атмосферу выбрасываются вредные вещества: свинец, фтор, магний, мышьяк и огромное количество токсических газообразных веществ).

Если бы ты был архитектором города, построил бы школу около большой автотрассы? Какие меры необходимо предпринимать по предотвращению загрязнения окружающей среды? Как влияет выброс вредных веществ на здоровье человека? Только ли человек страдает от этого?

Задача  3.

Для наблюдения за состоянием атмосферы метеорологи иногда поднимаются на воздушном шаре. Сколько квадратных метров материала пойдет на изготовление оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если на швы надо добавить 5 % поверхности шара?

Особую тревогу метеорологов вызывают кислотные дожди. Из-за чего такие дожди происходят?

Задача 4.

Салат из одуванчиков имеет массу 640 г. Узнайте массу каждого компонента, если петрушки в 3 раза больше, чем масла, а масса зеленого лука составляет 60% массы одуванчика, который легче петрушки в 2 раза.

Ты знаешь, когда и как собирать цветки или корни одуванчика? (Одуванчик лекарственный содержит минеральные соли, витамины группы В, органические кислоты и смолы. Используется для улучшения пищеварения, снимает спазмы).

Задача 5.

Дым одной папиросы содержит 5 мг никотина. Сколько мг яда примет один человек за один день, выкурив 10 папирос, если от каждой из них в его организм попадает 20% никотина, содержащегося в папиросе?

Задача 6.

Смертельная доза никотина для 1 человека составляет 1 мг на 1 кг массы тела. В чем опасность для самого человека имеет пристрастие к курению? Какие меры, по вашему мнению, надо принимать, чтобы ограничить распространение этой пагубной привычки?

Задача 7.

Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Население нашего поселка 2200 человек. Через сколько дней заболеют гриппом все жители поселка? (Ответ: через 7 дней.)

Задача 8.

Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 мин. происходит деление бактерий (они удваиваются). Сколько дизентерийных палочек будет в кишечнике через 6 часов? (Ответ: 7864290 шт.)

Задача 9.

В нормальном состоянии объем печени человека равен 2,2 дм3. Через 25 дней с момента заражения вирусным гепатитом она увеличивается до 3,4 дм3. На сколько увеличивается печень ежедневно? (Ответ: 50 см3)

Задача 10.

Площадь поверхности человеческого тела приблизительно 2,5 м2. При заболевании оспой в первый день поражается 5% кожи, за каждый следующий день поражается на 10% коже больше. Через сколько дней будет поражена вся поверхность кожи? (Ответ: 5 дней)

Задача 11.

Головка и шейка бычьего цепня 0,2 см. В первые сутки образуется 2 членика, каждые следующие сутки количество образующихся члеников увеличивается на 1. Длина каждого членика 1,5 см. Какова будет длина цепня через 2 месяца после заражения?

Задача 12.

Каждая пара мух откладывает 120 яиц. Через 20 дней родившиеся мухи снова начинают откладывать яйца. Сколько мух появится на свет за 3 месяца от одной пары (среди родившихся мух – 80% самок). (Ответ: 737191 шт.).

Задача 13.

Каждый курильщик выкуривает в день в среднем 8 сигарет. После выкуривания первой сигареты в легких оседает 0,0002 г. никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается на 0,000001 г. Какое количество вредных веществ оседает в легких за год? (Ответ: 4,846 г.).

творческая работа

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

В РАМКАХ ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

(обобщение педагогического опыта)

Работу выполнил: учитель МАОУ ВСОШ р.п. Ветлужский  Шабаршина Людмила Юрьевна

Введение

       В настоящее время осуществляется реформирование образования, одним из направлений которого  является организация профильного обучения в старших классах общеобразовательных школ.        Во многом от правильного выбора профиля будет зависеть дальнейшая судьба старшеклассников их возможность подготовиться к итоговой аттестации в школе и перспективы на продолжение образования.

       Создание тех или иных профильных классов зависит от выбора учащихся. Для того чтобы этот выбор был осознанным и правильным, возникла необходимость в предпрофильной подготовке учащихся.  Уже в 9 классе основной школы ученик должен получить информацию о возможных путях продолжения образования, оценить свои силы и принять ответственное решение.  Большую часть времени, отводимого на предпрофильную подготовку, занимают краткосрочные курсы по выбору (элективные курсы по предметам), задача которых не только расширить знания учеников по предмету а, прежде всего, способствовать самоопределению школьника относительно выбора профиля обучения в старшей школе. В концепции профильного обучения на старшей ступени предусмотрено введение элективных курсов. И для их проведения были предложены НИРО различные программы, такие как «Методы решения задач с параметрами», «Элементы физико-математического моделирования в естествознании», «Элементы планиметрии в старшей школе» и другие. А для предпрофильной подготовки не было таких рекомендаций. Поэтому возникла необходимость разработки программы элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся основной школы.

       «Элективные курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника». (15,стр. 75)

        Цель  работы – создать и апробировать программу элективного курса «Прикладные задачи в курсе математики»  для 9-х классов в рамках предпрофильной подготовки.

            Объект исследования: процесс обучения математике учащихся 9 классов общеобразовательной школы.

            Предмет исследования: составляют содержание и методика проведения курса «Прикладные задачи в курсе математики»  для учащихся 9-х классов общеобразовательных школ.

            Гипотеза исследования: школьникам в возрасте 14-15 лет необходима помощь в первичном профессиональном самоопределении. Дополнительный курс по математике способствуют расширению представлений учащихся о практических приложениях математического аппарата, развитию прикладных умений и навыков, социализации учащегося 9-го класса, создают благоприятную почву для выстраивания индивидуальной образовательной траектории для каждого, обеспечивают более высокий уровень подготовки по математике для продолжения образования.

Задачи:

-        Разработать содержательную часть дополнительного курса по математике для учащихся 9-х классов.

-        Выделить совокупность форм, методов и средств, позволяющих успешно реализовать содержательную часть курса.

-        Создать дидактический комплекс, способствующий успешной реализации курса по математике для учащихся 9-го класса.

Глава I.

Теоретические основы предпрофильной подготовки учащихся

1.1. История возникновения и развития профильного обучения как формы организации учебной деятельности школьников.

Создание профильных классов в настоящее время становится объективной необходимостью, которая обусловлена развитием самого общества.

 «Переход к профильному обучению в старшей школе мы рассматриваем как возможность расширения  вариативности образования в школе, как средство дифференциации и индивидуализации обучения учащихся с учетом их интересов, способностей и профессиональных намерений».(21, с. 21)

Попытка дифференциации обучения, т.е. организации учебной деятельности школьников, при которой учитываются их склонности, интересы, проявившиеся способности,   была предпринята в 1864 г, как утверждает Г.И. Саранцев (14, с. 209). В то время « это явление означало разделение учебных планов и программ старшего звена средней школы, в результате которого осуществлялась своеобразная, профессиональная ориентация».

«Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки в 1915-1916 годах реформы образования, осуществлявшейся под руководством Министра просвещения П.Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4 – 7 классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную». (15, с. 14)

В 1918 году состоялся первый всероссийский съезд работников просвещения, и было разработано Положение о единой трудовой школе, предусматривающее профилизацию обучения на старшей ступени школы.

 В опытно-показательных учреждениях Наркомпроса того времени создавали группы учащихся по степени одаренности. Занятия с одаренными детьми способствовали повышению их творческой активности. «К сожалению», - отмечает автор  С. В. Кульневич (13, с 174) – «в таких группах наблюдалось перевозбуждение психики детей, их чрезмерная усталость, нервозность, что объяснялось отсутствием опыта работы, недостатком литературы и методик».

     Особую актуальность  дифференциация получила в 50-60 годы.

«При этом акцентировалось внимание на создание в старших классах такой системы обучения, которая позволила бы учащимся наряду с получением среднего образования, более углублённо изучать предметы в избранной ими области знаний» (13,с. 174)

  Цели обучения были направлены на:

«1) выбор учащимися профессии в соответствии с их склонностями  и интересами;

2) удовлетворение интереса учащихся к определенному циклу предметов;

3) повышение эффективности учебно-воспитательного процесса в школе;

4) подготовка к продолжению образования в высшей школе». (14, с. 209)

       В 1963 году при университетах открываются специальные школы-интернаты физико-математического профиля, а в 1966 году в средних школах вводятся факультативные занятия с целью углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развития разносторонних интересов и способностей учащихся.

В конце 80-х – начале 90-х годов появились новые виды общеобразовательных учреждений: создавались гимназии, лицеи, школы с углубленным изучением предметов, колледжи, частные школы.

В настоящее время значительно шире стал спектр  профилей и типов школ: физико-математический, гуманитарный, технический, педагогический, экологический и т.д. Многообразие профилей и типов школ, естественно ведет к изменению целей образования. «Профильное обучение  направлено на реализацию личностно – ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории». (15, с. 11)

    Таким образом, направление развития профильного обучения в российской школе в основном соответствует мировым тенденциям развития образования.

      Вместе с тем сеть общеобразовательных учреждений с углубленным изучением предметов пока развита недостаточно. Для большинства школьников они малодоступны. Это ведет к таким негативным явлениям, как массовое репетиторство, платные подготовительные курсы при вузах и т.п. «Профилизация обучения в старших классах школы должна внести позитивный вклад в разрешение подобных проблем». (15, с. 15)

1.2. Профильное обучение – одно из направлений модернизации школьного образования

В настоящее время возрастает роль образования, усиливается влияние на все сферы социальной жизни. Переход от индустриального общества к информационному означает, что процессы создания и распространения знаний становятся ключевыми. Усиление роли знаний в общественном развитии, постепенное превращение информации в основной капитал принципиально изменяют роль образования в структуре общественной жизни современного мира. Существенно увеличивается значение образования как важнейшего фактора формирования нового качества не только экономики, но и общества в целом. Российская система образования пока ещё способна конкурировать с системами образования передовых стран, однако её преимущества могут быть быстро утрачены, если не будет осуществлена глубокая и всесторонняя модернизация образования с выделением необходимых для этого ресурсов и созданием механизмов их эффективного использования.

Специфика современной системы образования состоит в том, что она должна быть способна не только вооружать учащихся знаниями, но и формировать у него потребность в непрерывном самостоятельном и творческом подходе к овладению новыми знаниями, создавать возможности для отработки умений и навыков самообразования. Современные тенденции социально – экономического развития России заставляют переосмыслить цели школьного образования, соответственно по-новому сформулировать и планируемые результаты образования.

Одним из направлений модернизации является профилизация старшей ступени общеобразовательной школы. Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:

-обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

-создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

-способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

-расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование здесь должно стать более индивидуализированным, функциональным и эффективным.

Многолетняя практика убедительно показала, что, как минимум, начиная с позднего подросткового возраста, примерно с 15 лет, в системе образования должны быть созданы условия для реализации обучающимися своих  интересов, способностей и дальнейших жизненных планов. Социологические исследования доказывают, что большинство старшеклассников (более 70%) отдают предпочтение тому, чтобы «знать основы главных предметов, а углубленно изучать только те, которые выбираются, чтобы в них специализироваться». Иначе говоря, профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и  жизненных установок большинства старшеклассников. При этом традиционную позицию «как можно глубже и полнее знать все изучаемые в школе предметы (химию, физику, литературу, историю и т.д.)» поддерживают около четверти старшеклассников.

К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных Центром социологических исследований Минобразования России, “профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже), начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе”. При этом примерно 70-75% учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности.

В настоящее время в высшей школе сформировалось устойчивое мнение о необходимости дополнительной специализированной подготовки старшеклассников для прохождения вступительных испытаний и дальнейшего образования в вузах.

Реализация идеи профилизации обучения на старшей ступени ставит выпускника основной ступени перед необходимостью совершения ответственного выбора - предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления собственной деятельности. В связи с этим предпрофильная подготовка представляет собой систему педагогической, психологической, информационной и организационной поддержки учащихся основной школы, содействующей их самоопределению по завершению основного общего образования. К предпрофильной подготовке относится информирование и ориентация учащихся 9-х классов в отношении их возможного выбора профиля  обучения в старшей школе, направлений для продолжения обучения в системе начального или среднего профессионального образования.

Таким образом, реализация профиля вызвала необходимость введения дополнительных новаций в школьную практику.

·                  Введение курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки.

·                  Организация информационной работы и профильной ориентации школьников по подготовке к выбору профиля обучения.

·                  Изменение порядка и процедуры проведения аттестации учащихся, заканчивающих вторую ступень основной школы.

·                  Построение рейтинговой оценки ученика, поступающего в профильную школу, которая включает обязательные экзамены, экзамены по выбору, соответствующие профилю; всё это дополняется портфелем индивидуальных достижений – портфолио.

1.3. Теоретические основы предпрофильной подготовки учащихся

Предпрофильная подготовка предшествует  созданию профильных классов. Основная задача предпрофильной подготовки – предоставить учащимся возможность попробовать свои силы, оценить свои возможности.

        В результате изучения курсов по выбору  учащийся 9 класса  должен быть  готовым ответить на два вопроса: «Чего я хочу в своей ближайшей образовательной перспективе?» и «Могу ли я, готов ли я продолжить обучение по выбранному профилю?»

        Отличительными особенностями курсов по выбору для девятых классов являются их вариативность и краткосрочность. Вариативность курсов по выбору проявляется в том, что в ходе предпрофильной подготовки ученик 9 класса, ориентированный на какой-то конкретный профиль или, наоборот, еще колеблющийся в своем выборе, должен попробовать свои силы в освоении разных курсов по выбору, которых должно быть много как количественно, так и содержательно. «Наличие большого числа курсов, отличающихся друг от друга содержанием, формой организации и технологиями проведения, есть одно из важных педагогических условий эффективной предпрофильной подготовки.» (7, с.17)

«Создание элективных курсов – важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения. Поэтому их разработка и внедрение должны стать частью региональных программ перехода к профильному обучению». (15, с. 77)

1.4. Теоретические основы  прикладной направленности обучения математике.                            

                                                         “Источник и цель математики – в практике”.

                                                                                                                     С. Соболев.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была ее неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего в тех, которых связаны с естественными науками, техникой, экономикой. Но математика стала проникать и в области традиционно “нематематические” – управление государством, медицину, лингвистику и другие. Несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления врачу, историку, лингвисту и трудно оборвать этот список, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время.

Одним из моментов в модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практикой. Проблема прикладной направленности обучения математике не нова и на всех этапах ее становления и развития была связана с множеством вопросов, часть из которых не решена до сих пор. Проблема прикладной направленности школьной математики динамична по своему содержанию и в силу постоянного развития математической теории, прогресса ЭВМ, расширения области человеческой деятельности. Даже будучи однажды решенной, она с каждым новым витком истории будет требовать переосмысления и корректировки. Об этом нужно не забывать. Предугадать все аспекты применения математики в будущей деятельности учащихся практически невозможно, а тем более сложно рассмотреть все эти вопросы в школе. Научно – техническая революция во всех областях человеческой деятельности предъявляет новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования. Это ставит перед современной школой новые задачи совершенствования образования и подготовки школьников к практической деятельности.

Прикладные задачи встречаются в 7-9 классах.  Однако практика показывает, что  многие окончившие школу, обладая приобретенными теоретическими знаниями, испытывают трудности в их применении к практическим задачам. Понимание  и умение решать практические задачи  в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Таким образом: задачи с практическим содержанием вместе с задачами, широко применяемыми в преподавании математики, должны образовать единое целое.

1.5.  Принцип прикладной направленности школьной математики.

Прикладная направленность школьного курса математики осуществляется с целью повышения качества математического образования учащихся, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в дальнейшей профессиональной деятельности.

Нельзя обучить приложениям математики, не научив самой математике. Хорошее качество математической подготовки положительно влияет на развитие у учащихся способностей применять математику, на характер этих применений. С другой стороны усиление прикладной направленности обучения математике имеет положительное влияние на качество обучения самой математике.

В разное время проблемой прикладной направленности обучения математике занимались как математики, так и методисты: С.С. Варданян, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых и другие. В своих работах они предлагают различные трактовки понятий: прикладная направленность, практическая направленность. В трактовке Н.А. Терешина под прикладной направленностью к обучению математике понимается ориентация содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики.

Из истории дидактики известно, что интерес к прикладной математике в курсе средней школы всегда носил декларативный характер, хотя формально для каждого периода развития системы образования проблема прикладной направленности “решалась”. Однако не обошлось и без появления работ, которые, по выражению профессора А.Г. Мордковича, имели “псевдоприкладной” характер. До недавнего времени в методике преподавания математики прикладная направленность находила свое отражение в одном из дидактических принципов – принципе политехнизма. Позже широкая математизация подавляющего числа современных наук привела в движение процессы, связанные с внедрением в школьную математику задач не только производственного содержания, характерных для принципа политехнизма, но и задач из области экономики, экологии, социологии, истории и других сфер человеческой деятельности. Принцип политехнизма уступил место прикладной направленности обучения математике, став ее составляющей. Прикладная направленность обучения математике включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с курсами физики, химии, географии, черчения, трудового обучения и т.д.; широкое использование электронно-вычислительной техники и обеспечение компьютерной грамотности; формирование математического стиля мышления и деятельности.

Все приемы и средства обучения, которые учитель использует в ходе урока, должны быть сориентированы на реализацию прикладной направленности обучения во всех возможных проявлениях. Так, учителю следует как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальность математических методов, на конкретных примерах показывать их прикладной характер.

На уроках необходимо обеспечивать органическую связь изучаемого теоретического материала и задачного материала, так, чтобы школьники понимали его значимость, ближнюю и дальнюю перспективу его использования. По возможности, можно очертить область, в которой данный материал имеет фактическое применение. Хорошо известно, что одним из главных условий осуществления деятельности, достижения определенных целей в любой области является мотивация. В основе мотивации, как говорят психологи, лежат потребности и интересы личности. Чтобы добиться хороших успехов в учебе школьников, необходимо сделать обучение желанным процессом. Поэтому каждое новое понятие или положение должно, по возможности, первоначально появляться в задаче практического характера. Такая задача призвана, во-первых, убедить школьников в необходимости и практической полезности изучения нового материала; во-вторых, показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью. Это один из путей усиления мировоззренческой направленности обучения математике.

Использование межпредметных связей является одним из условий реализации прикладной направленности обучения. Объект математики – весь мир, и его изучают все остальные науки. Межпредметные связи в школе – важная дидактическая проблема. Привлечение медпредметных связей повышает научность обучения, доступность (теория насыщается практическим содержанием), естественным образом проникают на урок элементы занимательности. Однако появляется и немало трудностей: учителю требуется освоить другие предметы, практическая задача обычно требует больше времени, чем теоретическая, возникают вопросы взаимной увязки программ и другие. И, конечно же, важную роль в реализации прикладной направленности обучения математике играют задачи.

Глава II

Содержание и методические особенности элективного курса «Прикладные задачи в курсе математики»  для 9 класса общеобразовательной школы

2.1. Программа курса «Прикладные задачи в курсе математики»  для 9 класса общеобразовательной школы.

Пояснительная записка

      Элективный курс «Прикладные задачи в курсе математики» ориентирован на подготовку учащихся по экономическому,  технологическому, естественнонаучному  профилю и позволяет осуществлять задачи предпрофильной подготовки, а также осуществлять функцию интеграции школьных предметов. Данный курс позволяет широко использовать компьютерные технологии. При изучении отдельных тем курса используются электронные таблицы (программа Excel), графический редактор Paint, при реализации  проекта -  Microsoft Power Point, системы компьютерного черчения.

Я считаю, что этот курс может способствовать созданию положительной мотивации обучения на планируемом профиле, помочь ученикам проверить себя, ответить на вопрос: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?».

Данный  для предпрофильной подготовки не  дублирует базовый курс. Он должен подготовить ученика  к успешному обучению в старшей школе.

      Особенности организации курса:

·         курс  небольшой по объему (17 часов), состоит из отдельных тем (каждая по 1-3 часа);

·         для реализации прикладной направленности я предлагаю несколько тем, которые использовала на уроках в разной степени в зависимости от возраста ребят, темы урока, особенностей класса. Все темы появлялись постепенно, част – собственный опыт, часть заимствована из книг, методических пособий. Каждая тема содержит расширенный набор задач, которые каждый учитель может комбинировать на свое усмотрение;

·         курс   направлен на расширение основного программного материала по математике и ориентирован на развитие интереса к предмету с учетом межпредметных связей;

·         уровень сложности  таков, что к рассмотрению вопросов можно  привлечь значительное число школьников, а не только наиболее сильных;

·          практическая направленность курса содержит элементы исследования и  исторические экскурсы;

·         В данный курс можно добавлять новые фрагменты, развивать предложенную тематику или заменять какие-либо сюжеты другими, соответствующими возможностям класса;

·         в результате изучения курса учащийся может быть протестирован в произвольной форме: творческий проект, реферат, презентация, контрольная работа, зачетное задание.

Цель курса:

- расширить представления учащихся о различных задачах, показав широту применения в   реальной жизни;

- способствовать осознанному выбору профиля дальнейшего обучения;

- повысить уровень компетентности.

Задачи курса:

·               сформировать умения решать задачи, необходимые для применения в практической деятельности;

·               продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни;

·               привить учащимся основы математической  грамотности.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы, проектная деятельность. В процессе работы над некоторыми темами у меня накопился некоторый дидактический материал, который дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки, осуществлять дифференцированный подход. Подбор индивидуальных заданий, как на уроке, так и для домашнего задания осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

Дидактический материал систематизирую так, что можно организовать работу учащихся по группам, как дома, так и на уроке. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.

Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

- Самостоятельное  проектирование материала курса с последующей

  презентацией (программные продукты Microsoft Power Point).

- Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором 

  вариантов решений.

- Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса

  из дополнительной математической литературы.

- Коллективный проект «Дом, который строим мы» ( учащиеся разбиваются на группы по специальностям….. )     

В результате изучения курса учащиеся должны:

-              понимать содержательный смысл термина «прикладная задача»;

-              знать широту применения прикладных задач;

-              производить прикидку и оценку результатов вычислений;

-              при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления.

2.2. Учебно-тематический план курса «Прикладные задачи в курсе математики»

9 класс 17 часов

№	Тема	Количество часов
1	Введение в курс. Понятие прикладной задачи. Математическая модель задачи.	2
2	Алгоритм.	1
3	Измерения при различных ограничениях	2
4	Экстремальные задачи.	3
5	Математика в экономике и бизнесе	2
6	Золотое сечение	2
7	Замощение плоскости – что это?	2
8	Задачи здоровьесберегающей направленности	1
9	Итоговая презентация проектов	2

2.3 Методические рекомендации к отдельным темам курса

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

                                      Д.Пойа

1. Введение в курс

Интерес широких слоев учащихся к математическим знаниям за последние десятилетия заметно снизился. Одна из основных причин в том, что уроки математики не достаточно убедительного ответа на вопрос: зачем все это нужно? Обещание благ в отдаленной перспективе не способствует усвоению абстрактных знаний.

В то же время роль математики в самых разнообразных сторонах жизни общества сейчас резко возросла и, несомненно, будет возрастать и далее. Между учебным предметом и математикой, применяемой на практике, возникла определенная пропасть. Мостом между ними может и должно послужить существенное усилие прикладной направленности курса математики.

Прикладную направленность школьного курса математики реализуют с помощью решения практических задач. Социальный опыт пополняется индивидуальными достижениями, но они возникают только после того, как человек усвоит определенную часть этого опыта. Раскрытие процесса интеллектуального развития идет по двум линиям:

– функционального развития (линия количественных накоплений);

– качественных изменений в функционировании интеллекта.

Эти две линии развития не изолированы друг от друга – каждая из них влияет на другую. Обучение имеет прямое отношение к первой из указанных линий развития, а через нее влияет на вторую.

Исходя из теории поэтапного формирования умственной деятельности П.Я. Гальперина основными этапами мыслительной деятельности должны быть:

1) математическая формулировка задачи (построение математической модели, математическое моделирование);

2) выбор метода исследования полученной математической задачи и выполнение исследований (т. е. внутримодельное решение);

3) анализ и интерпретация полученного математического результата.

Задачи и методы решения этих этапов имеют важное развивающие значение в школе. Цель учителя математики – привить учащимся любовь к этому предмету. Неподкрепленная конкретными примерами фраза «математика – царица наук» должного эффекта не дает, необходимы четкие примеры, рассмотрение которых показало бы, что другие науки (физика, химия, астрономия, космонавтика и др.) беспомощны без математики, без ее вычислительных механизмов.

В курсе «Прикладные задачи в курсе математики», который предлагается учащимся 9-х классов, темы тесно связаны с школьным курсом математики, дополняют и развивают те знания, которые учащиеся уже имеют.

Тема 1. «Понятие прикладной задачи. Математическая модель задачи».  

                                                            «Знание – это не только модель действительности, но и      знание об этой модели и условиях ее применения»

                                                                                                                                 Ю.А. Шрейдер

Пояснительная записка                                                                 

Тема рассчитана на 2 часа.

Цель:      Изучить  понятия «модель», «моделирование», формы представления моделей, этапы создания модели, область применения моделирования

Если в изучении предметов естественнонаучного цикла очень важное место занимает эксперимент и именно в процессе эксперимента и обсуждения его организации и результатов формируются и развиваются интересы ученика к данному предмету, то в математике эквивалентом эксперименту является решение задач. Собственно весь курс математики может быть построен и, как правило, строится на решении различных по степени важности и трудности задач. Совершенно ясно, что любую теорему тоже можно и нужно рассматривать как задачу, ее доказательство – как решение этой задачи, а различные следствия из доказательства (использование доказанного в различных областях) – как приложения этой задачи.

При применении математики центральным пунктом является перевод задачи на математический язык, другими словами – построение математической модели.

Метод математического моделирования является с давних времен одним из фундаментальных методов познания, а появление и развитие ЭВМ дало новый толчок его совершенствованию. Чтобы получить полноценное научное мировоззрение, развить свои творческие способности, учащиеся должны овладеть основами  математического моделирования, уметь применять полученные знания в учебной и профессиональной деятельности.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многообразны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и поэтому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Кроме того, в реальном времени оригинал (прототип объекта, процесса, явления) может уже не существовать. На основании известных фактов методом гипотез и аналогий можно построить модель событий или природных катаклизмов далекого прошлого (теории вымирания динозавров или гибели Атлантиды и т.д.).

В результате изучения темы учащиеся должны: уметь строить математические модели для определенного вида задач, уметь применять модели для решения конкретных задач.

Тема 2. «Алгоритм»

«Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей».

                                  Р.Фейнман

Пояснительная записка.

Цель:  познакомить с основами построения алгоритмов (алгоритмизацией ) для решения самых разнообразных задач

Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, развития умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы. В процессе алгоритмизации  задач развиваются творческий и прикладной аспекты мышления.

Тема рассчитана на 1 час. Содержание темы предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но закладывают основы для дальнейшего его изучения.

С дидактической точки зрения этот материал эффективен для развития такого важного умения, как выполнение заданного алгоритма. Содержание темы актуально как пропедевтика математического и технологического образования в профильной старшей школе. Включенный в тему материал может применяться для групп школьников достаточно разной подготовки за счет обобщения знаниевого компонента и его производительности от базового уровня. Тема является подготовительной к изучению информатики в старшей школе, где алгоритмизации отводится важное место в курсе.

Тема 3. «Измерения при различных ограничениях».

 «Книга Природы написана треугольниками, окружностями и другими геометрическими фигурами, без которых человек не сможет понять в ней ни единого слова»

                       Галилео Галилей

Пояснительная записка

Модуль  предназначен для учащихся 9 класса, планирующих выбрать в старшей школе естественнонаучный, физико-математический или экономический профиль.

Цель: На примере решения большого числа задач, в основном практического содержания, показать, как использовать математические идеи и методы для нахождения выхода из разного рода затруднительных положений, которые могут возникнуть в повседневной жизни.

Главное содержание модуля – исследовательская деятельность. Она включает такие элементы, как наблюдение, измерение, выдвижение гипотез, построение математических моделей, математическая обработка результатов, а также предполагается использование коммуникативных умений (сотрудничество при работе в группе, культура ведения дискуссии, презентации результатов).

Другая важная особенность модуля – интегративность, ярко выраженный прикладной характер рассматриваемых тем. Входящие в модуль задачи допускают разный уровень выполнения, имеют ясную и интересную постановку, которая сама мотивирует учеников к исследованию. Они не требуют сложного оборудования, последовательность задач подчиняется определенной логике, основанной, главным образом, на постепенном усложнении исследовательских действий от задачи к задаче и учитывающей содержание программ основных курсов алгебры и геометрии.

Тема рассчитана на 2 часа. Технология реализации: урок-практикум.

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением – во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это точнее.

Вероятно каждый из вас задавал сам себе вопросы подобного рода, но вряд ли сходу находил на них ответы. Решая задачи, мы с вами должны учитывать, что основные измерительные приборы для нас – это шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т.д.  Не менее важно следить за надежностью вашего способа, то есть зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности.

При изучении данной темы, учащимся можно предложить творческие задания. Например: «Русская система мер», «Русская система мер в поэзии В.В.Маяковского и А.С.Пушкина» и др.

Тема 4. «Экстремальные задачи»

 «В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума»

                                Леонард Эйлер

Пояснительная записка

Цель:  дать представление о таких понятиях, как «эффективность», «оптимальность», «экстремум», «наиболее выгодное»… ; показать роль математики как средства решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений.

Экстремальные задачи – задачи на максимум и минимум – во се времена привлекали  внимание ученых. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики.

В чем причина такого интереса?  Во-первых, среди задач на максимум и минимум много красивых задач, которые интересно и приятно решать. Но люди занимаются ими отнюдь не только «из любви к искусству». Много экстремальных задач приходит из практики. Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчетах, в архитектуре, экономике… Кроме того, экстремальные задачи самым неожиданным образом находят применение в науках о природе: физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам.

Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний.

Технологией реализации данной темы могут быть:

1.      Комбинированный урок

2.      Урок –практикум

Тема 5. «Математика в экономике и бизнесе»

«За исключением цифр, нет ничего более обманчивого, чем факты».

                                                        А.Смит

Пояснительная записка.

Глубокие связи, существующие между математикой и экономикой на научном уровне, должны найти адекватное отражение в связях между соответствующими учебными дисциплинами, особенно при подготовке профильных экономических классов. Поэтому при изучении различных математических понятий и фактов целесообразно предлагать учащимся задачи, иллюстрирующие приложение изучаемой теории для решения экономических задач. Решение таких задач позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что будет способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке.

Познавательный материал темы «Математика в экономике и бизнесе» будет способствовать не только выработке умений и навыков вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цель темы: Показать широту применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, штрафы, тарифы.

Задача:  Показать широту применения в экономике  математического аппарата.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти знания могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Хотя при изучении темы не ставиться цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов темы, несомненно, появится прогресс в подготовке учащихся.

Тема рассчитана на 2 часа.

Технология реализации: урок-практикум.

Методические рекомендации.

Объявляя учащимся цель занятия, полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из реальной жизни. Представленные задачи часто могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик самостоятельно выбрал способ решения, наиболее ему удобный и понятный. Также при решении задач предполагается использование калькулятора всюду,  где это целесообразно. Применение калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач. Однако в ряде случаев необходимо считать устно.

Тема 6. «Золотое сечение»

«Геометрия владеет двумя сокровищами:
теоремой Пифагора и золотым сечением.
И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем». 

                                                 Иоганн Kеплер

Пояснительная записка.

Цель:  Показать на материале от античных времен до наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства.

    Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

КРАСОТА! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему, же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами. Посмотрите на предметы обихода жителя древности. Уже тогда создатели этих предметов преследовали не только чисто утилитарные цели — служить хранилищем воды, оружием в охоте и т. д., но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили свое утилитарное назначение и превратились только в украшения.    Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался - в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии, - Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы — квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок — беспорядку, простоту — сложности, определенность — неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы — упорядочение беспорядка (хаоса).

 Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей, равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному — «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Мы предпочли использовать первое название, как наиболее точно отражающее сущность этого понятия.

Учащиеся должны ознакомиться с этим понятием, увидеть, как оно используется в живописи, скульптуре, архитектуре и т.д.

Тема рассчитана на два часа. Занятия можно провести в виде 1)семинаров, темы предложить учащимся заранее. Например: «Элементы математики в творчестве художников эпохи Возрождения», «Путешествие по Петербургу (живопись и архитектура третьей культурной столицы мира)»; 2)урока-практикума «Решение геометрических задач с помощью «Золотого сечения».

Тема 7. «Замощение плоскости. Что это?»

«В наслаждении красотою есть

элемент наслаждения мышлением».

                                         Аристотель

Пояснительная записка.

Цель: расширить представление о сферах применения математики; показать, что фундаментальные закономерности математики являются  формообразующими в архитектуре, строительстве, живописи...

Одной из основных проблем при изучении геометрии в школе является проблема наглядности, связанная с тем, что изображения даже простейших геометрических фигур, выполненные в тетрадях и на доске, как правило содержат большие погрешности. Например, для изображения правильного пятиугольника требуются глубокие теоретические знания, развитые умения и довольно много времени. В результате сложные геометрические фигуры не рассматриваются, и изучение геометрии в школе ограничивается треугольниками, четырехугольниками и окружностями. Конечно, это существенно обедняет геометрическое образование учащихся. Современные компьютерные средства позволяют решать эту проблему, дают метод получения изображений самых разнообразных геометрических фигур, расширяют геометрические представления учащихся.

При рассмотрении этой темы возможно использование компьютерных графических редакторов при изучении паркетов.

Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве. Паркетам посвящены многие замечательные картины М.Эшера.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее, эта тема непосредственно связана с такими понятиями как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др. таким образом, налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов.

 Тема 8.      Задачи здоровьесберегающей направленности.

Природа милостива: она запрограммировала организм с большим запасом прочности, и нужно много стараний, чтобы этот запас свести к нулю…

Пояснительная записка.

Цель: Отработка навыков решения основных задач на проценты, используя задачи

здоровьесберегающей направленности.

Расширение знаний учащихся о путях укрепления своего здоровья (в том числе воспитание культуры правильного питания, воспитание нетерпимости к вредным привычкам). Помочь учащимся приобщаться к здоровому образу жизни.

 Беседа.

Человек – высшее творение природы. Но для того чтобы наслаждаться ее сокровищами, он должен отвечать, по крайней мере, одному требованию: быть здоровым. Это аксиома, про которую мы в текучке и суете дней, к сожалению, забываем.

Обычно молодые люди не склонны всерьез задумываться о здоровье даже тогда, когда вдруг заболеют. В молодости всякие неприятности, в том числе и болезни, воспринимаются “вдруг” - как нечто внезапное и незаслуженное. Но в том-то, к сожалению, и дело, что большинство болезней именно заслужены. А первые шаги к этому делаются нередко в самом цветущем возрасте. Примерно 75% болезней взрослых заработаны в детские годы, когда перестают дружить со спортом, приобретают вредные привычки. За здоровье надо активно бороться. Для этого надо овладеть элементарными знаниями, а также использовать накопленный опыт, которые помогли бы молодым людям сохранять здоровье.

Тема рассчитана на 1 час. Технология реализации: урок-практикум.

      Каждая задача начинается с сообщения некоторой информации, содержание которой соответствует тематике. Почти после каждой задачи предлагаются вопросы или небольшой комментарий, в ходе его учащиеся выразят свое отношение к здоровому образу жизни.

Тема 9. Итоговая презентация проектов

Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

И я научусь.

                             Конфуций

  Цель: развитие навыков самостоятельной работы; овладение учащимися методикой исследования и экспериментирования при решении учебных задач.

В настоящее время основной задачей школы является развитие личности ученика,  способного самостоятельно приобретать необходимые знания, умело применять их на практике, самостоятельно, критически мыслить, уметь увидеть возникающие в жизни проблемы и искать пути их решения. Этому способствует, на мой взгляд, внедрение в учебную деятельность проектного метода обучения.             

      Проектная технология позволяет пройти путь познания вместе с детьми. Пусть то, что открывают ученики или создают по мере разработки своих проектов, есть лишь упрощенное повторение уже созданного наукой – суть в том, что они открывают субъективно новые для них факты и строят новые для себя понятия, а не получают их в качестве готовых от учителя или из учебников.   

                Основные требования к использованию метода проектов.

1.Наличие значимой в исследовательском, творческом плане проблемы (задачи).

2.Практическая, теоретическая, познавательная значимость для  предполагаемых результатов.

3.Самостоятельная деятельность учащихся. (индивидуальная, парная, групповая)

4.Структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов).

Подготовка к защите – это работа всей группы, которая включает в себя следующие моменты:

·         Оформление материала на ватмане или на листах (или других носителях);

·         Подготовка к устной презентации проекта;

·         Подготовка команд для ответов на вопросы.

Каждая позиция направлена на то, чтобы вызвать живой отклик участников проекта, развить любопытство, вызвать интерес, пробудить творчество. Во время защиты ребята демонстрируют знание проблемы, умение четко отвечать на вопросы, отстаивать разработанную позицию и принимать критику.

К защите проектов:

На первом этапе подготовки  разделиться на группы, например:

1.Проектировщики

2. Экономисты

3.Дорожники

4.Плотники

5. Поставщики

Итогом прохождения курса может стать проект «Дом, который строим Мы». Для этого каждая группа выполняет свои расчеты.                                                                                               

О выполненной работе надо  не просто рассказать, ее надо защитить публично.

Критерии оценки приведены в Приложении 9.

2.4. Средства и методы обучения.

«Учебные предметы имеют два главных компонента: программу, которая фиксирует их содержание, и методы организации его усвоения детьми» (11, с. 145-146). Аналогичным образом организуется  и реализуется дополнительное образование по математике для учащихся 9-х классов.

Особенности содержания, заложенные концептуальные положения и вытекающие из них принципы обучения, своеобразие целей и задач курса, приоритет развивающих среди них, обуславливают специфику форм и методов работы с учащимися. Выбор основных методов обучения и форм организации учебного процесса был сделан с учетом возрастных психологических особенностей в развитии детей указанной возрастной группы.

            Анализ результатов выполненных к настоящему времени (хотя и единичных) исследований психологических аспектов профильного обучения  и предпрофильной подготовки следующие особенности старших подростков: несформированность важнейших личностных качеств (способности к самопознанию, самоизменению; доверие к себе; способность к выбору; ответственность; целенаправленность; самостоятельность), отсутствие знаний, необходимых для выбора профиля обучения и профессионального самоопределения; низкой является потребность в профессиональном самоопределении – в выявлении своих способностей, интересов; плохо осознаются мотивы будущей профессиональной деятельности, нет гражданской и нравственной платформы для профессионального самоопределения. В целом степень развития личности старшего подростка не дает ему возможности самостоятельно совершить оптимальный выбор профиля обучения в 10-11 классах и первичный профессиональный выбор. Поэтому содержание предпрофильной подготовки должно быть направлено на развитие личностных качеств, актуальных для выбора профиля обучения и профессионального самоопределения.

            Кроме этого указанный возраст характеризуется, как время когда активно формируется абстрактное, теоретическое мышление, развиваются гипотеко-дедуктивные процессы, появляется возможность строить сложные умозаключения, выдвигать гипотезы и опровергать их. Именно формирование мышления, приводя к развитию рефлексии – способности делать предметом саму мысль, - дает средство, с помощью которого подросток может размышлять о себе, то есть делает возможным развитие самосознания (22, с. 152-154). В интеллектуальной деятельности школьников в 13-14 лет усиливаются индивидуальны различия, связанные с развитием самостоятельного мышления, интеллектуальной активности, творческого подхода к решению задач, что позволяет рассматривать этот возраст как сенситивный период для развития творческого мышления, а так же для:

-        Формирования мотивов учения, развития устойчивых познавательных потребностей и интересов;

-        Развития продуктивных приемов и навыков учебной деятельности;

-        Развития индивидуальных особенностей и способностей;

-        Развития навыков самоконтроля, самоорганизации и саморегуляции;

-        Становления адекватной самооценки, развития критичности по отношению к себе и окружающим;

-        Усвоения социальных норм, норм нравственного развития;

-        Развития навыков общения со сверстниками, установления прочных дружеских контактов.

Каждое учебное занятие направляется на достижение триединой цели: обучить, воспитать и развить. С учетом этого общие требования конкретизируются в дидактических, воспитательных и развивающих требованиях. К дидактическим (или образовательным) требованиям относятся:

-        Четкое определение образовательных задач каждого учебного занятия;

-        Рационализация информационного наполнения учебного занятия, оптимизация содержания с учетом социальных и личностных потребностей;

-        Внедрение новейших технологий познавательной деятельности;

-        Рациональное сочетание разнообразных видов, форм и методов;

-        Творческий подход к формированию структуры учебного занятия;

-        Сочетание различных форм коллективной деятельности с самостоятельной деятельностью учащихся;

-        Обеспечение оперативной обратной связи, действенного контроля и управления;

-        Научный расчет и мастерство проведения учебного занятия.

Воспитательные требования к учебному занятию включают:

-        Определение воспитательных возможностей учебного материала, деятельности на уроке, формирование и постановку реально достижимых воспитательных целей;

-        Постановку только тех воспитательных задач, которые органически вытекают из целей и содержания учебной работы;

-        Воспитание учащихся на общечеловеческих ценностях, формирование жизненно необходимых качеств: усидчивости, аккуратности, ответственности, исполнительности, самостоятельности, работоспособности, внимательности, честности, коллективизма и др;

-        Внимательное и чуткое отношение к учащимся, соблюдение требований педагогического такта, сотрудничество с учащимися и заинтересованность в их успехах.

К постоянно реализуемым развивающим требованиям относятся:

-        Формирование и развитие у учащихся положительных мотивов учебно-познавательной деятельности, интересов, творческой инициативы и активности;

-        Изучение и учет уровня развития и психологических особенностей учащихся, проектирование «зоны ближайшего развития»;

-        Проведение учебных занятий на «опережающем» уровне, стимулирование наступления новых качественных изменений в развитии;

-        Прогнозирование «скачков» в интеллектуальном, эмоциональном, социальном развитии учащихся и оперативная перестройка учебных занятий с учетом наступающих перемен.

Большинство сведений и представлений учащиеся получают в ходе учебного диалога, самостоятельной деятельности, организуемой учителем. Роль объяснения, сопровождающего различными презентациями и демонстрациями, как метода организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, в большинстве своем носит со стороны учителя корректирующий, информационный характер, дополняющий информацию, полученную по данной проблеме от учащихся, исходя из их жизненного опыта. А при контроле и самоконтроле эффективности учебно-познавательной деятельности объяснение поступает со стороны учащегося, как отчет о результатах выполненных заданий. Диалог между учителем и учеником, учеником и учеником, а также высшая фаза диалога – учебная дискуссия, способствует стимулированию и росту мотивации учебно-познавательной деятельности на определенных этапах обучения. Это  говорит об активном использовании эвристического метода обучения. Такой подход позволяет уделить большое внимание речевой деятельности учащихся, помочь, если речь ученика затруднена, бедна, неконкретна, нелогична. Активные формы речевой деятельности способствуют выработке навыков и воспитанию культуры межличностного общения социального взаимодействия. Это позволяет решать и проблему адаптации и социализации школьного коллектива. В процессе обучения дети приобретают навыки и культуру межличностного общения, социального взаимодействия, профильного самоопределения, что необходимо в дальнейшем.

            В курсе «Прикладные задачи в курсе математики»  предусмотрено большое количество практических работ, творческих заданий. Выполняя их учащиеся осваивают приемы получения и обработки результатов. Курс способствует формированию знания важнейших понятий математики; учит применять полученные в школе знания для решения математических задач;  понимать смысл задачи, составлять алгоритм решения задачи, овладеть навыками решения математических задач; учит логически мыслить;  работать с литературой, проводить подборку, анализ,  оформлять и защищать на занятии проект, учит использовать компьютер для работы с математическими моделями.

Заключение.

К осознанному выбору профиля ребенка нужно подвести, в этом суть и назначение предпрофильного обучения. Введение профильного обучения в школе способствует улучшению качества образования, дает возможность учащемуся расширить свои познания, побудить интерес к изучению выбранного им предмета, творчески подойти к закреплению материала по профильному курсу.

           Основной причиной перехода к профильному обучению послужило повышение  требований к качеству знаний выпускников школы со стороны учреждений профессионального образования, производства и общества.

        «Реализация  идеи профильности старшей ступени, ставит выпускника основной ступени перед необходимостью совершения ответственного выбора – предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления  собственной деятельности».

 (7, с. 112 )

Направления работы школы.

             Первоначально, когда только вводили профильное обучение в виде эксперимента, предпрофильная подготовка осуществлялась в ходе факультативных занятий.  При создании профильных классов учитывали желание учеников, их возможности и желание их родителей. Так как предпрофильная подготовка была явно недостаточна, то можно было встретиться с таким фактом, что ученик, оказавшийся в профильном классе, не мог усвоить программу повышенного уровня по математике.

Чтобы не столкнуться с такой ситуацией, мы стали заниматься предпрофильной подготовкой. В 9-х классах создали группы учащихся по интересам. Им были предложены элективные курсы по математике и другим предметам.

На диаграмме виден  сравнительный анализ факторов, способствующих выбору  профиля:

Уровень качества знаний в профильных классах по сравнению с общеобразовательными классами виден из следующей диаграммы:

 Поскольку основной задачей школы в настоящее время является организация профильного обучения в старших классах, то  возникла необходимость в предпрофильной подготовке учащихся,  следовательно,  необходимость разработки программы элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся основной школы.

Некоторые темы были апробированы с учащимися 8-9 классов. Темы, наиболее заинтересовавшие учащихся, вошли в данный элективный курс. Также учащимися были предложены и другие темы для изучения. Результат исследования заинтересованности учащихся виден из диаграммы:

Опираясь на проведенные опросы, я построила этот элективный курс.

      В первой главе своей работы я описала историю возникновения и развития профильного обучения школьников.  Руководствуясь нормативными документами Министерства образования и науки Российской Федерации по профильному обучению, я рассмотрела особенности курсов по выбору для предпрофильной подготовки учащихся основной школы. А также рассказала о теоретических основах прикладной направленности обучения математике в школе.

     Во второй главе своей работы я представила методические разработки занятий элективного курса в рамках предпрофильной подготовки, в которых рассмотрела задачи прикладного характера, что является важной частью при изучении математики в старших классах.

    Здесь я рассмотрела задачи на выбор оптимального решения, составление паркетов, измерения на местности, при имеющихся ограничениях, которые вызывают интерес у учащихся.  Так же можно отметить, что особое место занимают задачи связанные с экономикой, это задачи на банковские вклады, так как многие очень близко сталкиваются с этим в жизни и хотят об этом знать  больше.  

      Исходя  из  психолого-педагогических   особенностей   учащихся  9  классов, считаю целесообразным изучение темы «Прикладные задачи в курсе математики» на элективном курсе в основной школе, так как она способствует  развитию познавательных интересов, экономической грамотности, предоставляет возможность учащимся подготовиться к сознатель­ному выбору профиля обучения в старшей школе   

Литература.

1.  Азевич А.И. «ОТ золотой пропорции к ее «производным».//Математика в школе. – 1995. - № 3

2. «Аспекты модернизации российской школы. Научно-методические рекомендации к эксперименту по обновлению содержания и структуры общего среднего образования». – Москва; ГУ ВСШ, 2007.

3.  Башарин  Г.П. “Начало финансовой математики”. -   М., 1998.

4.      Величко М.В. «Проектная деятельность учащихся».  – Волгоград; Учитель,      2007.

5.      Возняк Г.М., Гусев В.А. «Прикладные задачи на экстремумы». – М.; Просвещение,  1998.

6.      Володарская И., Салмина Н. «Моделирование и его роль в решении задач».//Математика. – 2006. - №18  

7.      Воронина Г.А. «Элективные курсы: алгоритмы создания, примеры  программ: практическое руководство для учителя».- М.;Айрис пресс,2006

8.      Варданян С.С. «Задачи по планиметрии с практическим содержанием». – М.; 2002.

9.      «Закон Российской Федерации об образовании» 4 издание. – Москва; Просвещение. 2002

10.  Иванова Т.И. Перевощикова Е.Н., Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И. « Теоретические основы обучения математике в средней школе». -   Н.Новгород; НГПУ,2003.

11.  Ксензова Г.Ю. «Перспективные школьные технологии: Учебно-методическое пособие». – М.; Педагогическое общество России, 2001, -224с.

12.  «Концепция математического образования (проект)» // Математика в школе.-  2000. – № 2, с.13-18

13.  Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. «Современный урок». Часть I. - Учитель, 2005.

14.  «Методика обучения математике в средней школе». – М.; Просвещение, 2002.

15.   Петров В.А. «Элементы финансовой математики на уроках»//  Математика

     в школе - 2002. - №8

16.  «Профильное обучение: Нормативные правовые документы» -  М.;ТЦ Сфера, 2006.

17.  «Сборник нормативных документов, федеральный государственный стандарт. Федеральный учебный план. Математика». – Москва; Дрофа, 2004.

18.  «Современный словарь по педагогике». – Минск; Современное слово, 2001.

19.  Терешин Н.А. «Прикладная направленность школьного курса математики». – Москва; Просвещение, 1998.

20.  «Цели, задачи и стандарты математического образования»//Математика. – 2003 - №21

21.  .Ширшина Н.В. «Организация профильного обучения в средней школе:

нормативы, планирование, рекомендации» // Учитель. - 2006.

22. Якиманская И.С. «Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся». – М., Просвещение, 1989. -221с.

• 1 слайд

  муниципальное общеразовательное учреждение
  Ветлужская средняя общеобразовательная школа
  Краснобаковского района
  Нижегородской области
  
  Элективный курс
  «Прикладные задачи в курсе математики»
  
  в рамках предпрофильной подготовки
  (Обобщение педагогического опыта)
  
   
  Автор:
  учительница математики Шабаршина Л.Ю.
  
  

• 2 слайд

  Профильное обучение – одно из направлений модернизации школьного образования
  Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.»
  Введение профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы направлено на развитие способности будущего выпускника к самоопределению, что значительно расширяет возможности для раскрытия творческого потенциала личности, проявления активности и деловой инициативы.
  
  

• 3 слайд

  Элективные курсы в предпрофильном обучении
  Задача:
  – предоставить учащимся возможность попробовать свои силы, оценить свои возможности.
  Результат:
  учащийся 9 класса должен быть готовым ответить на два вопроса:
  «Чего я хочу в своей ближайшей образовательной перспективе?»
  «Могу ли я, готов ли я продолжить обучение по выбранному профилю?»
  
  

• 4 слайд

  Элективный курс
  
  «ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»
  
  содержание элективного курса:
  1. Пояснительная записка
  2. Учебно-тематический план
  3. Содержание программы
  4. Методические рекомендации .
  
  
  

• 5 слайд

  Элективный курс «Прикладные задачи в курсе математики»
  ориентирован на подготовку учащихся по экономическому, технологическому, естественно-
  научному профилю
  
  

• 6 слайд

  В результате изучения курса учащиеся должны:
  Понимать
  содержательный
  смысл термина
  «прикладная задача»
  Знать
  широту
  применения
  прикладных задач
  
  Уметь производить
  прикидку
  и оценку результатов
  вычислений
  
  При вычислениях сочетать
  устные и письменные приемы,
  применять калькулятор,
  использовать приемы,
  рационализирующие вычисления
  
  

• 7 слайд

  Учебно-тематический план курса «Прикладная направленность уроков математики» 9 класс 17 часов
  

• 8 слайд

  Тема 1. «Понятие прикладной задачи. Математическая модель задачи».
  Цель:
  Изучить понятия «модель», «моделирование», формы представления моделей, этапы создания модели, область применения моделирования
  «Знание – это не только модель действительности, но и знание об этой модели и условиях ее применения»
  Ю.А. Шрейдер
  
  

• 9 слайд

  Прикладная задача – это задача, поставленная вне
  
  математики и решаемая математическими средствами
  Математическая модель
  Алгоритмы (человеко-машинные процедуры) схемы решения
  Прикладная задача
  Процесс решения (вычисления, работа экспертов)
  
  Решение(я)
  Этапы простого прикладного математического исследования:
  Задача 1.К дому нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?
  Задача 3. Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.
  Задача 2. Имеется квадратный лист картона. Из листа по углам вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость? Какого размера нужно взять лист, чтобы получить из него коробку с максимальным объемом.
  

• 10 слайд

  Тема 2. «Алгоритм»
  Цель:
  познакомить с основами построения алгоритмов (алгоритмизацией ) для решения самых разнообразных задач
  «Математика – орудие для размышления.
  В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей».
  Р.Фейнман
  

• 11 слайд

  В данной теме рассматриваются
  Стадии создания алгоритма
  Свойства алгоритмов
  Виды алгоритмов
  
  Задача 1. Длина класса 7 метров, ширина – 5 метров, высота – 3 метра. В классе 25учеников. Сколько кв. м площади и сколько куб. м воздуха приходится на одного ученика?
  Составить алгоритмы
  «Подсчет объема траншеи»
  Требуется отрыть траншею длины L для закладки фундамента. Форма траншеи – прямоугольник.
  «Кладка стен здания из кирпича» Подсчет выработки
  Найти выработку рабочего, если норма на кладку 1куб.м стены – 2,3ч.
  «Укладка труб. Время укладки»
  Найти время выполнения работы по укладке труб общей длиной 265м, звеном из 6-ти монтажников, если норма на установку 1 пог.м трубы одним рабочим - 0,47ч.
  

• 12 слайд

  Тема 3. «Измерения при различных ограничениях».
  Цель:
  показать, как использовать математические идеи и методы для нахождения выхода из разного рода затруднительных положений, которые могут возникнуть в повседневной жизни.
  «Книга Природы написана треугольниками, окружностями и другими геометрическими фигурами, без которых человек не сможет понять в ней ни единого слова»
  Галилео Галилей
  

• 13 слайд

  Как Фалес измерял расстояние до кораблей в открытом море?
  
  «Лилия, на одну пядь, поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места: исходя из этого требовалось определить глубину озера»
  Г.Лонгфелло, роман «Канава»
  Как найти глубину котлована, не опускаясь в него?
  Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы? [Математическая формулировка: Дан прямой угол. Найдите множество середин всевозможных отрезков данной длины d, концы которых лежат на сторонах данного угла.] По какой линии будет двигаться котёнок, если он сидит не на середине лестницы?
  

• 14 слайд

  Тема 4. «Экстремальные задачи»
  Цель:
  дать представление о таких понятиях, как «эффективность», «оптимальность», «экстремум», «наиболее выгодное»… ;
  показать роль математики как средства решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений.
  «В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума»
  Леонард Эйлер
  

• 15 слайд

  Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
  полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
  Задача Дидоны.
  От прямой линии берега веревкой данной длины
  отгородить участок земли наибольшей площади.
  Задача Герона. На плоскости дана прямая n и точки А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой точку М, для которой сумма АМ+МВ наименьшая.
  Школа, детский сад, работа отца и работа матери находятся в разных местах. (на чертеже точки A,B,C,D. Где семье выбрать место для строительства дома, чтобы сумма расстояний от него до учреждений была наименьшая?
  

• 16 слайд

  Тема 5. «Математика в
  экономике и бизнесе»
  Цель темы:
  Показать широту применения в жизни процентных расчетов.
  Использование базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, штрафы, тарифы.
  «За исключением цифр, нет ничего более обманчивого, чем факты».
  А.Смит
  

• 17 слайд

  Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили
  первоначальную
  цену товара?
  В начале года на сберкнижку в Сбербанк было положено 1600 руб., а в конце года (до начисления %) взято 750 руб. В конце второго года на книжке оказалось 867 руб. Сколько % начисляет Сбербанк?
  
  
  За хранение денег
  сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течении десяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через 5 лет, через десять лет?
  Житель поселка N решил взять ссуду в банке размером 900 000 рублей на строительство дома. Один банк предложил ссуду под 16% годовых сроком на 20 лет, а другой под 14% годовых на 25 лет. В каком банке заемщику выгоднее взять ссуду?
  

• 18 слайд

  Тема 6. «Золотое сечение»
  Цель:
  Показать на материале от античных времен до наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства.
  «Геометрия владеет двумя сокровищами:
  теоремой Пифагора и золотым сечением.
  И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем».
  Иоганн Кеплер
  

• 19 слайд

  Для данного отрезка постройте с помощью циркуля и линейки отрезок, находящийся с данным в золотом отношении.
  Построить отрезок длины Ф, если дан квадрат ABCD со стороной 1.
  Построить равнобедренный треугольник по боковым сторонам, равным Ф+1 и основанию, равному Ф. Определить углы этого треугольника (при вычислениях можно пользоваться калькулятором). Доказать, что Ф2=Ф+1.
  В полукруг вписан квадрат АВСD со стороной 1. вычислить отношение МС:ВС.
  

• 20 слайд

  Тема 7. «Замощение плоскости. Что это?»
  Цель: расширить представление о сферах применения математики; показать, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, строительстве, живописи...
  
  

• 21 слайд

  ЗАДАЧИ
  Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов. Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь комнаты равна 100 м2, а сторона правильного восьмиугольника – 10 см?
  
  
  В каком отношении должны находиться количества серых и белых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет, заполняющий всю плоскость?
  
  
  Докажите, что с помощью центрально симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно замостить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
  
  
  

• 22 слайд

  «В наслаждении красотою есть
  элемент наслаждения мышлением».
  Аристотель
  
  
  

• 23 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Тема 8. Задачи здоровьесберегающей
  направленности.
  
  Цель: Отработка навыков решения основных задач на проценты, используя задачи
  здоровьесберегающей направленности.
  Природа милостива: она запрограммировала организм с большим запасом прочности, и нужно много стараний, чтобы этот запас свести к нулю…
  
  

• 24 слайд

  ЗАДАЧИ
  Суммарный выброс в атмосферу вредных веществ по Нижегородской области в 2001 году составил 235,2 тыс. тонн, причем, в том числе, твердых веществ – 14,7 тыс. тонн. Какая часть твердых веществ выбрасывается в атмосферу, выразите в процентах.
  Каждый курильщик выкуривает в день в среднем 8 сигарет. После выкуривания первой сигареты в легких оседает 0,0002 г. никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается на 0,000001 г. Какое количество вредных веществ оседает в легких за год? (Ответ: 4,846 г.).
  В нормальном состоянии объем печени человека равен 2,2 дм3. Через 25 дней с момента заражения вирусным гепатитом она увеличивается до 3,4 дм3. На сколько увеличивается печень ежедневно? (Ответ: 50 см3)
  В России под отходы занято 250 тыс. га земельных угодий, что составляет 0,5% всей площади. Какова площадь земельных угодий в России?
  

• 25 слайд

  Тема 9. Итоговая презентация проектов
  Скажи мне, и я забуду.
  Покажи мне, и я запомню.
  Дай мне действовать самому,
  И я научусь.
  Конфуций
  Цель:
  развитие навыков самостоятельной работы;
  овладение учащимися методикой исследования и экспериментирования при решении учебных задач.
  

• 26 слайд

  ПЛАН УЧАСТКА
  ПЛАН ДОМА
  ФУНДАМЕНТ
  

• 27 слайд

• 28 слайд

  Содержание программы
  
  Тема 1. «Понятие прикладной задачи. Математическая модель задачи».
  Тема 2. «Алгоритм»
  Тема 3. «Измерения при различных ограничениях»
  Тема 4. «Экстремальные задачи»
  Тема 5. «Математика в экономике и бизнесе»
  Тема 6. «Золотое сечение»
  Тема 7. «Замощение плоскости – что это?»
  Тема 8. «Задачи здоровьесберегающей направленности».
  Тема 9. «Итоговая презентация проектов»