Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыОбобщение педагогического опыта"«Развитие математического мышления и творческих способностей посредством решения текстовых задач»

Обобщение педагогического опыта"«Развитие математического мышления и творческих способностей посредством решения текстовых задач»

Скачать материал
библиотека
материалов



Обобщение педагогического опыта учителя математики МОАУ «СОШ № 23 г. Оренбург»

Мухамеджановой Гульчачак Зайнуллеевны






«Развитие математического мышления и творческих способностей посредством решения текстовых задач»















г. Оренбург 2020





План

I.Введение

II.Формирование независимости мышления в ходе решения задач.

III.Задачи:

1.1 Задачи на движение

  • По прямой (навстречу и вдогонку)

  • На среднюю скорость

  • Протяженность тел

  • По воде

  • По замкнутой трассе

  • Прототипы задания №22 ОГЭ

  • Сложные задачи на движение

1.2 Задачи на производительность

1.3 Задачи на совместную работу

1.4 Задачи на концентрацию

1.5 Задачи на прогрессии


























Введение

В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является основной задачей школьного курса обучения. Перед учителем математики стоит задача – не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логической культуры обучающихся. При этом математика имеет огромные возможности для реализации этой цели.

Но сейчас математика необходима не только как вспомогательное орудие. Ломоносов говорил: "Математику уже, зачем учить следует, что она ум в порядок приводит, она – школа мышления".

Школьная математика – основа всей математики. Чтобы изучение шло успешно, необходимо усвоить азы. Для этого необходимо, прежде всего, научить решать задачи, особенно логические. Задачи, которые кажутся на первый взгляд простыми, могут потребовать остроумия, смекалки при ее решении.

Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Цель же уроков по логике не заучивание правил, а развитие способностей умения рассуждать и делать правильные выводы.

Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач ученикам предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это вызывает и сохраняет интерес к математике. Обдумывание задачи и попытка рассуждать, конструировать логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей учеников.

Очень важно уже с раннего возраста учить ребят мыслить логически, то есть мыслить последовательно, связно. Прежде всего, это важно для их дальнейшего успешного обучения.







Формирование независимости мышления в ходе решения задач

«Что значит владение математикой? Это умение решать задачи,

причём не только стандартные, но и требующие известной независимости

мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Д.Пойа



Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений, навыков. От эффективности использования задач в математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитание и развитие обучающихся, но и степень их практической подготовленности к последующей деятельности в любой сфере.

Задачи – основное средство развития математического мышления обучающихся. Речь идёт не о упражнениях тренировочного характера, а о нестандартных задачах, поиск решения которых, как и нестандартные решения традиционных задач, является важнейшим слагаемым на пути развития способностей обучающихся. Ведь человеку в его практической деятельности приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и новые, никогда не встречавшиеся. Мы должны научить выпускника находить пути к решению проблем, а это значит – формировать у обучающихся способность к самостоятельному, творческому мышлению.

Творческая деятельность выпускника зависит от трех компонентов:

  1. высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализ и синтез, сравнение и аналогия, классификация;

  2. высокий уровень активности и неординарности мышления, который проявляется в различных вариантах решения и выдвижении нестандартных идей;

  3. высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, который проявляется в умении выделять существенное в явлениях и осознании применяемых способов мышления.

Следовательно, задача должна сводиться к формированию указанных составляющих мышления.

Арифметический способ решения задач является одним из лучших средств развития самостоятельного творческого мышления обучающихся. С помощью специально подобранных задач можно показать красоту и простоту логического рассуждения, приводящего к решению. Обучающиеся накапливают определённый опыт работы с задачами: анализ условия, переформулировку условия, установление связей между величинами.

1.Когда велосипедист проехал пути, велосипед сломался. На оставшийся путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

Решение:

Пешком велосипедист прошёл пути, то есть вдвое меньше того, что проехал, а времени затратил вдвое больше. Значит, он ехал в четыре раза быстрее, чем шёл.

2.На одну чашку весов положили кусок мыла, а на другую чашку положили такого же куска и ещё 50 г. Весы находятся в равновесии. Какова масса куска мыла?

Решение:

Удалим мысленно с чашек весов по куска мыла. Тогда на одной чашке останется часть куска мыла, а на другой 50 г. Так как весы останутся в равновесии, то куска мыла имеет массу 50 г, а весь кусок весит 200г.

Как развить у обучающихся навыки самостоятельного отыскания решения задачи? В процессе решения задачи нужно чётко соблюдать этапы:

  1. понимание постановки задачи;

  2. план решения;

  3. решения;

  4. изучение полученного решения.

При решении даже несложной задачи обучающиеся часто много времени тратят на рассуждения о том, с чего начать. Учителю нужно уметь помочь им найти путь к решению, поставив себя на место решающего, увидеть затруднения, направить его, при этом оставив посильную долю самостоятельной работы. Можно задать вопрос: «Известна ли подобная, родственная задача?», «Найдите связь между данной задачей и задачей с известным решением. Или с задачей, которая решается проще». А если опыта обучающихся недостаточно, то рассмотреть вспомогательные задачи, которые могут помочь решить предложенную.

3. Вычислите сумму + + + + .

Вспомогательная задача. Придумайте несколько дробей, произведение которых равно разности.

- = ; - = ; - = .

Использование вспомогательных задач убедит обучающихся в необходимости быть наблюдательными и накапливать математические факты, установленные в результате решения задач.

При решении одних задач больше внимания уделяется обсуждению подходов к их решению, при решении других – изучению полученного результата. Решив задачу, спросите обучающихся, чему полезному они научились в ходе решения; какие новые знания они приобрели; что полезно запомнить; как проверить результат; можно ли решить другим способом; при решении каких задач моно использовать данный метод.

4. Как рассадить 45 кроликов в клетках так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Полезно запомнить метод решения:

1+ 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2 +8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

Задачи на использование этого метода (приём Гаусса):

а) Вычислите сумму всех нечётных чисел, находящихся в первой сотне.

б) Сложите числа от 1 до 100.

Для закрепления результата можно предложить следующие задачи:

  • Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единицы?

  • Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Использование таких примеров показывает связь между задачами. А анализ результата и метода решения позволяет углубить знания, закрепить навыки, необходимые для решения задач.

Хотя в практике современного обучения математике на решение задач отводится значительная часть учебного времени, но задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, чаще всего ограничены одной темой и сводятся к иллюстрации изучаемого теоретического вопроса, к разъяснению его смысла. Поэтому у обучающимся известно, каким методом следует решать данную задачу. Этот метод подсказывается названием раздела учебника, темой, изучаемой на уроке.

5. По тропинке вдоль кустов

Шло одиннадцать хвостов.

Сосчитать я также смог,

Что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда-то

Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

И узнать я был бы рад,

Сколько было поросят?

РЕШЕНИЕ:

Способ I. Решение задачи методом перебора.

Способ II. Важно увидеть в данной задаче возможность применения метода уравнивания. Пусть все поросята встанут на задние ноги.

11 2 =22 столько ног будет шагать по тропинке;

30 – 22 = 8 столько передних ног у поросят;

8 :2 = 4 поросенка шло по тропинке.

Ну, а петухов было 11 – 4 =7.

В 7-м классе начинается обучение решению текстовых задач методом составления уравнений, то есть обучающиеся учатся переводить условие задачи на алгебраический язык. При обучении решению задач с помощью уравнений полезно сопоставлять арифметический и алгебраический способы решения.

6. В семье две пары детей-близнецов, родившихся с разницей в три года. В 2000 году всем вместе исполнилось 50 лет. Сколько лет каждому из детей было в 1998 году?

Арифметическим способом решить задачу труднее и эффект алгебраического способа ощутим. Такое сравнение служит мотивом обучения алгебраическому методу. При обучении составлению уравнений по условию задачи необходимо рассматривать возможность составления разных уравнений по одному и тому же условию, сравнив полученные уравнения, выяснить, какое уравнение выгоднее и почему.

Вернемся к задаче 5. Составим разные уравнения по условию задачи, обозначив буквой:

а) число поросят: 4р + 2(11-р) = 30;

б) число петухов: 2р + 4(11-р) = 30;

в) число ног у поросят: р + 2(11 - ) = 30

г) число ног у петухов: р + 4(11 - ) = 30.

7. От города до посёлка мотоциклист доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы расстояние за 2 ч. Чему равно расстояние от города до посёлка?



3x =2(x +25)

- =25

После того как обучающиеся познакомятся с решением систем уравнений, полезно вернуться к этим задачам и решить их с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Решение задач различными способами предоставляет большие возможности для совершенствования обучения. При решении задач одним способом, единственная цель у обучающихся – найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов, то они стараются отыскать наиболее оригинальное, красивое, экономическое, решение. Вспоминают многие теоретические факты, методы и приёмы, анализируют их с точки зрения применимости к данной задаче. Всё это активизирует учебную деятельность, прививает интерес к предмету. Полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем решить несколько однотипных задач одним способом. Нельзя отвергать предложенное учеником оригинальное решение, если оно не соответствует структуре учебника. Напротив, поощрять самостоятельные находки, обращать на них внимание всего класса.

8. Два одинаковых огурца и один помидор весят вместе 800 г., а два таких огурца и одного помидора в отдельности.

Способ I (с помощью уравнения).

Пусть x г весит один огурец, тогда (800 - 2 x) г весит один помидор. По условию задачи два огурца и помидор весят 700 г. Составим и решим уравнение

x +2(800 - 2 x) = 700,

x =300(г) весит один огурец;

800 – 2 300 = 200 (г) весит один помидор.

Способ II (с помощью системы уравнений)

Пусть x г весит один огурец, y г весит один помидор. Составим систему уравнений:





Способ III (арифметический).

800 - 700 = 100 (г) - на столько тяжелее один огурец, чем один помидор;

700 – 100 = 600 (г) весят три помидора;

600: 3 =200 (г) весит один помидор;

200 + 100 = 300 (г) весит один огурец.

Способ IV (арифметический);

800 + 700 = 1500 (г) весят три огурца и три помидора;

1500: 3 = 500 (г) весят один огурец и один помидор;

800 -500 = 300 (г) весит один огурец

700 – 500 200 (г) весит один помидор.

На примере следующих задач можно показать обучающимся, что решение задач по шаблону, по указанному алгоритму (с помощью уравнений), часто приводит к увеличению объёма работы и иногда решение усложняется. Поэтому полезно предложить правило: прежде составить уравнение для решения задачи, нужно внимательно изучить условие, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует её условию, попытаться решить задачу арифметическим способом, так как этот способ более красивый.

9.В пакете лежат яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем оставшихся яблок. После этого в пакете осталось 10 яблок. Сколько яблок было первоначально?

Решение:

Способ I.

Начнём рассуждение с «конца». 10 яблок составляет числа яблок, оставшихся во второй раз.

10 : = 15 (яб.) осталось во второй раз;

15 – 5 = 10 (яб.) половина;

10 2 = 20 (яб.) было всего.

Способ II.

Пусть x яблок было первоначально, тогда придем к уравнению

( x + 5) = 10

x + 5 = 10 : 2 3

x = 10

x = 20

Ответ: 20

Решение любой задачи, особенно сложной, требует от обучающихся напряженного труда и упорства. А упорство проявляется, если задача интересна. Значит, нужно подбирать задачи, которые ученики хотели бы решать. Чаще всего интерес вызывают задачи практического содержания.

Такими задачами для 5-6 –х классов могут быть комбинаторные задачи.

  • Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом роздано фотографий?

  • Сколькими способами в классе из 25 человек можно выбрать старосту и его заместителя?

  • В понедельник в вашем классе должно быть 5 уроков: русский язык, литература, математика, история и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день? А если учесть, что первым и вторым уроком должны быть математика или русский язык?

Обучающимся интересны задачи, которые связаны с местным производством. Например, ребята получили задание узнать:

а) сколько кормовых единиц получает в день каждая корова на ферме;

б) составить круговую диаграмму наличия кормов на ферме вашего отделения.

Затем на уроке решали задачу, в которой нужно узнать, получает ли в достаточном количестве кормовых единиц каждая корова при таком рационе. Сколько килограммов травяной муки нужно добавить, чтобы рацион соответствовал норме?

Занимательные задачи тоже должны найти место на уроке. Заинтересованный занимательными задачами обучающийся начинает увлекаться математикой и переносит интерес к ней и на «скучные» разделы, неизбежные в каждом предмете занимательность. В итоге это способствует быстроте и глубине усвоения, прочности запоминания

Информационная занимательность вызывает любопытство у обучающихся. Например, история о богаче – миллионере и незнакомце (9-й класс, «Геометрическая прогрессия»).

10. При встрече незнакомец предложил богачу «Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сто тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день ты должен по нашему уговору уплатить 1к., во второй день – 2 к., в третий день – 4 к., в четвёртый день – 8 к., и так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего». Богач с радостью согласился. Сколько денег заработал богач?

Числа начали расти очень быстро. В последний раз богач, получив в общей сумме 3 000 000 р., подсчитал, что сам отдал незнакомцу 10 737 418 р. 23 к. Без малого 11 миллионов! А началось с одной копейки.

Самое главное на уроке: испытать радость от деятельности, мига понимания, момента перехода непонятного в понятное. Когда такое происходит, ученики уходят с урока удовлетворенными своей работой и ждут следующего урока, чтобы узнать новое и, возможно, сделать открытие.

III.Задачи

Рассмотрим решение задания № 22 ОГЭ по математике.

Обратите внимание на экзамене на оформление задач и конкретный ответ на поставленный вопрос в условии задачи.

Однако с заданиями повышенной сложности из части 2 ребятам придется снова столкнуться на ЕГЭ, уже в его базовой части. Например, задание № 22 повышенного уровня сложности — «текстовая задача» — аналогично заданию № 11 из части 1 ЕГЭ. Поэтому, как мне кажется, ребятам уже в 9 классе надо освоить методы и приемы решения заданий из части 2.

Какие есть «подводные камни» в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

Задание 22.

Это текстовая задача, как правило, на «движение», «работу», «концентрации растворов» или «смеси и сплавы». Для ее решения необходимо составить уравнение или систему уравнений. Я бы посоветовала ребятам для наглядности обязательно заполнять таблицу, в которую вносятся известные по условию величины, выбранная переменная или переменные, после чего в пустые клетки вписываются соответствующие им величины, выраженные через введенные переменные, и только потом приступать к составлению уравнения (или системы).

1.1 Задачи на движение:

  • По прямой (навстречу и вдогонку)

  • На среднюю скорость

  • Протяженность тел

  • По воде

  • По замкнутой трассе

Задачи по прямой навстречу:



  1. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

Пусть x км — расстояние, которое проехал второй велосипедист до места встречи, тогда (286-x) км — расстояние, которое проехал первый велосипедист до места встречи.

Составим таблицу по данным задачи:

 

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Первый велосипедист

10


286-x

Второй велосипедист

30


x

 

Так как первый велосипедист сделал остановку на  28 мин = ч. =ч , составим уравнение:

x-(286-x)=14

4x=872

x=218


Таким образом, второй велосипедист проехал 218 км до места встречи.

 

Ответ: 218



  1. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.



  1. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго – 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи.

  2. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго — 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

  3. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго-30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.


6. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго-30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.




7*. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N, расстояние между которыми 25 км. Первый пешеход

пришел в N на 2 ч 5 мин раньше, чем второй в М. Найдите скорости пешеходов, если известно, что они встретились через 2 ч 30 мин после выхода.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость первого пешехода, y км/ч – скорость второго пешехода.

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

1 пешеход

x


25

2 пешеход

y


25

Первый пешеход пришел в N на 2 ч 5 мин раньше, чем второй в М


8*. Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов M и N расстояния между которыми 38 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 2 км, а ещё через 3 часа первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км меньше, чем второму до M. Найдите скорость пешеходов.

9*. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пункта M и N, расстояние между которыми 45 км. Через 1,5 ч велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью. Первый прибывает в пункт N на 2ч 15 мин раньше, чем второй в пункт M. Найдите скорости велосипедистов.


10*. Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов навстречу друг другу и встретились через 15 минут. За сколько минут второй велосипедист проезжает расстояние между этими пунктами, если первый велосипедист проезжает его за 40 минут.


Задачи по прямой вдогонку:

1.С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси.


Решение

Пусть x км/ч — скорость такси, тогда (x-20) км/ч — скорость автобуса.

Составим таблицу по данным задачи:

 

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Автобус

x-20


40

Такси

x


40

 

Так как пассажир опоздал на 10 мин = ч. =ч , составим уравнение:

- =

40 - 40(x-20) =x(x-20)

x2-20x-4800=0

x1=80

x2= -60 не подходит по смыслу задачи

80 км/ч — скорость такси

Ответ: 80


2. Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?



3. Расстояние между двумя пунктами 20 км. Из этих пунктов в одном направлении одновременно выехали автомобиль и мотоциклист, причем автомобиль двигался впереди. Через 5 часов расстояние между ними стало 170 км. Найти скорость мотоциклиста, если скорость автомобиля 70 км/ч.

4. Расстояние между пунктами равно 50 км. Из этих пунктов одновременно в одном направлении выезжают велосипедист и мотоциклист, причем велосипедист едет впереди. Скорость велосипедиста равна 13 км/ч, скорость мотоциклиста — 38 км/ч. На каком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

5. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.



Задачи на среднюю скорость

1.Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км -со скоростью 65 км/ч, а последний 225км - со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.



2.Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

3.Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

4.Первые 345 км автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 380 км — со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

5.Первые 550 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 150 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.


6.Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.



1* Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

2* Автомобиль проходит первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

3* Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в кило–метрах в час.

4* Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину - 90 км/ч. найдите среднюю скорость на протяжении всего пути.


5* Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 34 км/ч, а вторую половину - 51км/ч. найдите среднюю скорость на протяжении всего пути.







11** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 71 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути 2t часов, тогда его средняя скорость равна:=78 км/ч.  

13** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 62 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 68 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

14** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

15** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

16** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 79 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

17** Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 61 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

18** Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч

19** Туристическая конная группа двигалась по прямому маршруту от одной турбазы к другой со средней скоростью 12 км/ч, а обратно туристы возвращались на вертолёте со средней скоростью 150 км/ч. Найдите среднюю скорость туристов на протяжении всего пути. Ответ округлите до целых и дайте в километрах в час. (22км/ч)

Задачи на протяженность тел

В задачах на движение протяженных тел обычно требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации, предлагаемые в таких задачах, - определить длину поезда, проезжающего мимо:

  • придорожного столба;

  • идущего параллельно путям пешехода;

  • лесополосы определенной длины;

  • другого двигающегося поезда.

Скорость навстречу друг другу – сумма скоростей при движении навстречу друг другу.

Скорость при движении в одном направлении(вдогонку) – разность скоростей.

1.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах. (500)

2.Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд, а мимо платформы длиной 378 метров – за 25 секунд. Найдите длину поезда.  (147)

3.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 84 км/ч, проезжает мимо семафора за 24 секунды. Найти длину поезда в метрах. (560)

4.Поезд проезжает мост со скоростью 90 км/ч за 42 секунды. Какова длина поезда, если длина моста 634 метров? (416)

5.Какова длина поезда, успевающего проехать мимо идущего навстречу ему вдоль путей пешехода за 6 секунд, если скорость пешехода 4,2 км/ч, а скорость поезда 108 км/ч? (187 м)

6.Какова длина поезда, успевающего проехать мимо идущего вдоль путей в том же направлении пешехода за 30 секунд, если скорость пешехода 5,4 км/ч, а скорость поезда 123 км/ч? (980)

7. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, за 30 секунд проезжает мимо велосипедиста, едущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 12 км/ч. Найдите длину поезда в метрах. (525)


8. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 140 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (400)

8/1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах. (600)

9. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и скорый поезда. Скорый поезд, двигаясь со скоростью 120 км/ч, догнал пассажирский поезд и прошёл мимо него за 100 секунд. Найдите скорость пассажирского поезда, если его длина составляет 800 метров, а длина скорого поезда – 700 метров. Ответ дайте в км/ч. (66)



10.По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах. (150)

11.По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. (300)



Задачи на движение по воде

Собственная скорость лодки = Скорость лодки по озеру = Скорость лодки в стоячей воде = vл

Скорость реки – vр

Скорость лодки по течению реки = собственная скорость +скорость реки

vпо теч = vл +vр

Скорость лодки против течения реки = собственная скорость - скорость реки

vпротив теч = vл - vр

Скорость плота (бревна, спички) = скорости реки.

1.Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся обратно в пункт А в 15:00. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.




Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

По течению

x+3


15

Против течения

x-3


15

Катер

x



Река

3




С 11:00 часа по 15:00 часа – 4 часа.

4ч-1ч20мин = 2ч40 мин=часа

На весь путь было затрачено часа, составим уравнение:

+=

153(x-3) +153(x+3) =8(x-9)

8x2-90x -72 =0

4x2-45x -36 =0

x1=12

x2=- не подходит по смыслу задачи

12 км скорость катера

Ответ: 12


2.Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними 420 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней, сделав в пути остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найти скорость баржи на пути из А из В.


3.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

5. Расстояние между пристанями А и В равно 63 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 20 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

6.От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

7.Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 16 км, сделала стоянку на 40 мин и вернулась обратно через 3 ч. после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.



8. Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.



9. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
















Задачи по замкнутой трассе

При движении вдогонку объекты могут как сближаться, так и удаляться.

Если скорость объекта, который идет впереди, меньше скорости идущего вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.

Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:  hello_html_62eec0ca.png

  hello_html_5b5f5cf1.png

Если скорость идущего впереди объекта больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет догнать первого и они удаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

  hello_html_m5defb08d.png

  hello_html_40e4d7e9.png

Скорость, время и расстояние связаны между собой  формулой пути:

  hello_html_673e44c9.png



1.Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

2.Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение:

В момент времени 8 часов 00 минут между минутной и часовой стрелками 8 делений. Чтобы минутная стрелка четыре раза поравнялась с часовой, ей надо сначала пройти эти 8 делений, затем пройти еще 3 круга по 12 делений (чтобы поравняться трижды с часовой стрелкой), и, чтобы поравняться в четвертый раз, минутной стрелке необходимо пройти еще x делений, которые за это время прошла часовая стрелка.

Время движения до четвертой встречи у минутной и часовой стрелок одно и то же. Составим и решим уравнение: =

11x=44

x=4

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Приведем другое решение

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Ответ: 240

9. Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Переведем минуты в часы: 17мин= ч; 48мин=ч = ч.

С помощью формулы движения вдогонку s= (v1- v2)t найдем скорость сближения, так как известно, что за t= первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг, то есть на s=8 км. Получаем уравнение:

8=(v1−v2) ;

v1−v2=10.


858

Так как в задаче известно, что на финиш первый пришёл раньше второго на часа, то составим и решим уравнение.

- =

x2- 10x – 24000 =0

x1= -160

x2 =150

Таким образом, скорость второго гонщика равна 150 км/ч.

Ответ: 150



Прототипы задания 22 ОГЭ

1.Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 140 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 195 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

5. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 156 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

6. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый ехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км / ч, а вторую половину пути - со скоростью 78 км / ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км / ч.


7.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.



8.Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

9. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

10. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.





Сложные задачи на движение

1* Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист доехал до озера и вернулся обратно. От поселка до озера велосипедист доехал за 1 час, а обратно за 46 мин. Его скорость на горизонтальном участке 12 км/ч, на подъеме - 8 км/ч, а на спуске - 15 км/ч. Найти расстояние от поселка до озера.

2* Дорога из А в B длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В затратил 2ч 54 мин, а на обратную дорогу - 3ч 6мин. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине- 4 км/ч, а под гору – 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть пути, которая идет по равнине?

3* Путь от дома отдыха до почты сначала идет в гору, а потом под гору. Пешеход дошел до дома отдыха до почты и вернулся обратно. В гору он шёл со скоростью 3км/ч, а под гору - со скоростью 6 км/ч. Найти расстояние от п дома отдыха до почты, если пешеход на путь до почты затратил 1ч.40мин, а обратный путь занял у него 2ч.20мин.

4* Путь от села к городу идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист едет на горизонтальном участке со скоростью 12 км/ч, в гору со скоростью 7 км/ч, с горы 14 км/ч. Вычислите расстояние от села до города, если на путь в одном направлении велосипедист тратит 3 часа, а в обратном направлении – 2 часа.

5* Дорога от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору и всего составляет 19 км. Пешеход шёл в гору 1 ч, а под гору 2 ч. Скорость его под гору была на 2 км/ч больше, чем в гору. С какой скоростью шёл пешеход в гору и с какой под гору?


6* Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км.  Пешеход при подъеме идет со скоростью на 3 км/ч меньшей, чем на спуске.  Путь от поселка до станции у него занимает 2 часа, а обратный путь -2часа 30 мин. Определить длину подъема.  и скорость на подъеме и спуске.

7* Путь от туристической базы до моря пролегал сначала в гору, а затем с горы. От турбазы до моря туристы шли в гору 45 мин и с горы 40 мин, а обратно — в гору 1 ч 15 мин, а с горы 24 мин. Найдите длину каждого участ- ка пути, если путь в одну сторону равен 6,4 км. (14.26 задачник Мордкович)

8* 14.25. На велогонке по гористой местности спортсмен должен был двигаться сначала с горы, потом в гору, а затем в обратном направлении. Путь туда велосипедист преодолел с горы за 20 мин, в гору за 45 мин, а путь обратно — с горы за 25 мин, в гору за 35 мин. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы, если путь в одном направлении равен 17 км?



1.2 Задачи на работу

Ты уже освоил тему « Задачи на движение»? 

Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула здесь выглядит так:



Производительность =

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы.

Рассмотрим, есть ли аналогия?

Сравним формулы:

Движение

Работа

v=


Скорость движения

Скорость выполнения работы, т.е. производительность

Пройденный путь

Выполненная работа

Потраченное на движение время

Потраченное на работу время

1.На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?



Решение:

Работа

Производительность

Время

1 рабочий

99

x+1


2 рабочий

110

x


Так как в задаче известно, что первый рабочий потратил на всю работу на 2 часа меньше, составим решение.

- =2

2x2-9x -110=0

x1 = 10

x2= - 5,5

Таким образом, 10 деталей в час делает второй рабочий.

Ответ: 10



2. На изготовление 45 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 63 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

3. На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

4. На изготовление 35 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 42 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

5. На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

6. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?


7. Заказ на 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если первый делает в час на 3 детали больше, чем второй.

На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

8. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

9. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?

1.3 Задачи на совместную работу



1.Братья Сережа и Саша вместе красят одну часть забора за 12 минут. Один Саша может покрасить такую же часть забора за 22 минуты. За сколько минут покрасит эту часть забора Сережа?

Решение:

Всю работу примем за 1, тогда часть работы, выполненная Сашей.

часть работы выполнена вместе. Тогда часть работы, выполненная Сережей равна -=

Всю работу Сережа выполнит за 1: = 26,4 часа.

Ответ: 26,4





2. Две трубы, работая вместе могут наполнить бассейн за 15 минут. Если бы первая труба работала одна, то бассейн наполнился бы за 20 минут. Сколько времени понадобится для заполнения этого бассейна только через вторую трубу?

3.Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

4. Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

5.Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только  0,6  всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

6.Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

7.Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

8.Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

9.Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

10. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

11. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1.4 Задачи на концентрацию.

Метод «стаканчиков»

Часто условие задачи удобно наглядно представить в виде рисунка, например, «стаканчиков».

Рассмотрим решение задачи «методом стаканчиков» (берутся два стакана с растворами, которые сливаются в третий, и получается раствор новой концентрации).

1.Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:





+ =





Метод стаканчиков удобнее и проще при решении подобных задач. Этот способ более экономичен по времени и менее трудоемок.

Составим уравнение: 10x +40 (x+3) =30

x =3

масса третьего сплава равна 23+3=9 (кг)

Ответ:9




2. Найдите массу 10% сплава никеля. Его получили из двух сплавов. Первый сплав содержал 5% никеля, второй  — 12% никеля. Масса второго сплава была больше массы первого на 9 кг.

3.Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? 

Решение:

30%

x кг

+

60%

y кг

+

0%

10 кг

=

36%

(x+y+10) кг

30%

x кг

+

60%

y кг

+

50%

10 кг

=

41%

(x+y+10) кг

Составим систему уравнений:





4.Смешав 40-процентный и 90-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси?

5. Смешав 27-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 29-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 27-процентного раствора использовали для получения смеси?

6. Смешав 5-процентный и 10-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 4-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 24-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 5-процентного раствора использовали для получения смеси?

7. Смешав 71-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 86-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 91-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 71-процентного раствора использовали для получения смеси?

8. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

9. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?



1.5 Задачи на прогрессию

1.Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решeние:

Пусть рабочие в первый день проложили а1 метров тоннеля, во второй — а2 , …, в последний — а10 метров тоннеля. Длина тоннеля S10 =500 метров.

S10= n , n=10 дней. Тогда в последний день рабочие проложили a10=-a1 =97 метров.

Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 105 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 9 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 7 дней.

3. Рабочие прокладывают тоннель длиной 102 метра, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 12 дней.


4.
Рабочие прокладывают тоннель длиной 22 метра, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 4 дня.



5. Рабочие прокладывают тоннель длиной 165 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 10 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.

6.Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

7. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?


8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его 14прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?



















  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Обобщение педагогического опыта учителя математики по теме "Решение задач"ю

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Решение задач различными способами предоставляет большие возможности для совершенствования обучения. При решении задач одним способом, единственная цель у обучающихся – найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов, то они стараются отыскать наиболее оригинальное, красивое, экономическое, решение. Вспоминают многие теоретические факты, методы и приёмы, анализируют их с точки зрения применимости к данной задаче. Всё это активизирует учебную деятельность, прививает интерес к предметуПолезнее решить одну задачу несколькими способами, чем решить несколько однотипных задач одним способом.

Очень много различны задач :

1. Задачи на движение

  • По прямой (навстречу и вдогонку)
  • На среднюю скорость
  • Протяженность тел
  • По воде
  • По замкнутой трассе
  • Прототипы задания №22 ОГЭ
  • Сложные задачи на движение

2. Задачи на производительность

3. Задачи на совместную работу

4. Задачи на концентрацию

5. Задачи на прогрессии

Проверен экспертом
Общая информация
Учебник: «Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

Номер материала: ДБ-1129436

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Правовое обеспечение деятельности коммерческой организации и индивидуальных предпринимателей»
Курс повышения квалификации «История и философия науки в условиях реализации ФГОС ВО»
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного ВУЗа»
Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»
Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по водоотведению и очистке сточных вод»
Курс повышения квалификации «Международные валютно-кредитные отношения»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.