Образец "Прямые и плоскости в пространстве."

Внеаудиторная самостоятельная работа №10

Прямые и плоскости в пространстве.

Теория. 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

3. Длина ломаной равна сумме длин ее звеньев.

4. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

5. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

6. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

7. Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

8. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

9. Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

№ задания

Условие и план решения или решение.

Рисунок

1

Указание. Используйте первое теоретическое предложение (две точки указаны на прямой, третья точка является вершиной многогранника).

2

Указание. Используйте первое и второе теоретические предложения.

3.

План решения.

1. Сделайте рисунок

2. Проведите ломаную

3. Посмотрите сколько сторон ломаной являются ребром куба, а сколько диагоналями грани куба.

4. Диагональ грани куба найдите по теореме Пифагора.

5. Посчитайте длину ломаной.

4.

Условие задачи. Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А₁, В₁ и Р₁. Найдите длину отрезка РР₁, если АА₁ = 19,4см, ВВ₁ = 8,2 см.

А

А₁

В₁

Р

В

Р₁

Рисунок.

Решение.

1. АА₁ ВВ₁ по условию, следовательно четырехугольник АА₁В₁В трапеция.

2. РР₁ = = = 13,8 см.

Ответ. 13,8 см.

5

Условие задачи. Точка К лежит между параллельными плоскостями и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость в точках А₁ и В₁, а плоскость β в точках А₂ и В₂ соответственно. Найдите КВ₁, если А₁К:А₁А₂ = 2:5, В₁В₂ = 25см.

Рисунок.

А₁

В₂

А₂

К

В₁

Решение.

1. А₁В₁ А₂В₂, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

2. А₁В₁К А₂В₂К по двум равным углам

( А₁КВ₁ = А₂КВ₂ как вертикальные углы,

( А₁В₁К = А₂В₂К как внутренние накрест лежащие)

3. Так как А₁К:А₁А₂ = 2:5, то А₁К:КА₂ = 2:3.

Обозначим КВ₁ = х,

то КВ₂ = 25 - х

4. У подобных фигур соответственные стороны пропорциональны

= ; = ;

5. Используя основное свойство пропорции имеем

2·(25 – х) = 3х,

50 – 2х = 3х,

5х = 50, х = 10.

Ответ. КВ₁ = 10 см.

6.

Условие задачи. В плоскости α лежат В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если

АВ = 8см, АС = 10см, ВС = 8см.

В

D

С

А

Рисунок.

Решение.

1. Обозначим DС = х, тогда DВ = 8 – х.

2. Из двух треугольников АВD и АСD выразим искомое расстояние АD по теореме Пифагора.

3. АВD: АD² = АВ² - ВD²,

АD² = 8² - (8 – х)².

АСD: АD² = АС² – СD²;

АD² = 10² – х².

4. 8² - (8 – х)² = 10² – х²,

64 – 64 + 16х – х² = 100 - х²,

16х = 100,

х = = 6,25 см.

5. Находим АD² = 10² – 6,25² =

= 100 – 39 = 61,

АD² = = 7,8 см.

Ответ. 7,8 см.

6(а)

Условие задачи. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна

6 см, а другая 5 см. Проекция меньшей наклонной равна 3 см. Найдите проекцию большей наклонной.

В

А

D

C

Рисунок.

Решение задачи.

1. АDС по теореме Пифагора имеем

АD² = АС² – DС² = 5² -3² =

=25 – 9 = 16,

2. АВD по теореме Пифагора имеем

ВD² = АВ² – АD² = 6² – 16 =

= 36 – 16 = 20,

ВD = = 4,5 см.

Ответ. ВD = 4,5 см.

7.

Условие задачи. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если

АС = м, ВD = 6 м, СD = 8 м.

Решение задачи.

1. ВD, уголD = 90⁰, по теореме Пифагора имеем

CB² = CD² + BD² =

= 8² + 6² = 100.

2. В, уголС = 90⁰, по

теореме Пифагора имеем

AB² = AC² + CB² =

= + 100 = 121,

AB = = 11 (м).

Ответ. AB = 11 м.

/