ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

№6. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СФЕРА, ЭЛЛИПСОИД, КОНУС  И ПАРАБОЛОИД. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.

План:

1. Общие уравнения поверхностей второго порядка.
2. Цилиндрические поверхности.
3. Конус второго порядка.
4. Эллипсоид  и  сфера
5. Параболоиды.

Поверхность второго порядка представляет собой геометрическое место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

       Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Hyz + Kx+Ly+Мz+N = 0,                        (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B, C, D, E, H отличен от нуля. Поверхность, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от одной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Для каждого уравнения (1) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (1) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности не будет представлять затруднений. Простейшее для каждой поверхности уравнение называется каноническим. Далее будем определять поверхности только каноническими уравнениями и исследовать по ним вид этих поверхностей.

1. Ц и л и н д р и ч е с к и е   п о в е р х н о с т и   в т о р о г о   п о р я д к а. Если в уравнении (1) одна из координат равна нулю, то определяемая этим уравнением поверхность называется цилиндрической. Предположим, что равна нулю координата z. Тогда уравнение

                                                      (2)

в котором по крайней мере один из коэффициентов  A, B и D  отличен от нуля, определяет в плоскости Oxy одну из кривых второго порядка, которая называется направляющей цилиндрической поверхности. Соответствующая цилиндрическая поверхность получается параллельным переносом направляющей вдоль прямых, параллельных координатной оси Оz и называемых образующими этой поверхности. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей второго порядка.

Поверхность, определяемая уравнением

                                                                                            (3)

является цилиндрической и называется  эллиптическим цилиндром (рис. 50).  Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости Oxy. В частности, если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

                                                          (4)

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

                                                                                           (5)

называется гиперболическим цилиндром (рис. 51). Направляющей цилиндра служит расположенная в плоскости Oxy гипербола с действительной  полуосью  a  и  мнимой  полуосью  b.

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

                                                                                                     (6) называется параболическим цилиндром (рис. 52).  Направляющей цилиндра явля-ется парабола, лежащая в плоскости Oxy, а образующие параллельны оси Oz.

 2. К о н у с   в т о р о г о   п о р я д к а. Конусом второго порядка или, кратко, конусом (рис. 53) называется поверхность, определяемая уравнением

                                                  (7)

Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса плоскостями  и  являются прямые  и . В плоскости   имеем эллипс

с полуосями   Если  то поверхность называется прямым круговым конусом. Его уравнение

                                          (8)

3. Э л л и п с о и д   и   с ф е р а.   Поверхность, определяемая уравнением

                                        (9)

называется эллипсоидом. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Так как в уравнение (9) текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называются вершинами эллипсоида.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью , и пусть при этом  Тогда линия, которая получается в сечении, определяется системой уравнений

                                               (10)

где   Из уравнений (10) видно, что сечение эллипсоида (9) плоскостью    ()  представляет собой эллипс с полуосями   уменьшающимися с увеличением  При  имеем  и сечение стягивается в точку – вершину эллипсоида. При  эллипсоид с плоскостью , очевидно, не пересекается.

Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями    и   также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный  на  рис. 54.

Если две полуоси эллипсоида равны, например , то получаем уравнение

                                                                          (11)

которое определяет эллипсоид вращения, получаемый вращением вокруг  оси  Oz  эллипса

расположенного в плоскости Oxz. Если все три полуоси эллипсоида (9) равны между собой,  то получается сфера, определяемая  уравнением

                                                   (12)

Таким образом, сфера оказывается частным случаем эллипсоида.

4. Г и п е р б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением

                                        (13)

называется однополостным гиперболоидом. Установим вид поверхности (19). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz  ()  и  Oyz  ().  Получаем соответственно уравнения

         и      

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью , параллельной координатной плоскости Oxy, получится эллипс, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h. При  получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и имеющий наименьшие полуоси a и b.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся  по  мере  удаления  от  плоскости  Oxy  (рис. 55).

При  получим однополостный гиперболоид вращения

                                           (14)

При пересечении его плоскостями  получаются окружности.

Поверхность, определяемая уравнением

                                        (15)

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями Oxz и Oyz, получим соответственно гиперболы

         и      

Если двуполостный гиперболоид (15) пересечь плоскостью  ( при ), то в сечении получится эллипс

с полуосями, возрастающими с возрастанием . При  поверхность (15) с плоскостью , очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. Поверхность имеет вид, показанный на рис. 56.

При  уравнение (15) имеет вид

                                                                          (16)

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего с плоскостью  ( при ) получается окружность

радиуса

5. П а р а б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением

                                                         (17)

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки, называется эллиптическим параболоидом. В дальнейшем для определенности будем считать, что p > 0,  q > 0.

При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы

             и                

а при пересечении плоскостью  () – эллипс

с полуосями  и  (рис. 57). В случае  получим параболоид вращения

                                               (18)

Поскольку переменные  x и y  входят в уравнение (5.55)  в  четных  степенях,  эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz. Начало координат является вершиной поверхности.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

      (19)

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки. Для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.

При пересечении гиперболического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно параболы (рис. 58)

              и                

Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями   представляют  собой  при  h > 0  гиперболы

                                                                                 (20)

с полуосями , , а при h < 0 – сопряженные гиперболы  для  гипербол  (5.58)

                                                                                  (21)

с  полуосями  ,  .

При h = 0, т. е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью Oxy, получится линия, уравнение которой в плоскости  Oxy  имеет  вид

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений

                        

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плоскостью Oxy по двум прямым

                      и                                  (22)

лежащим в плоскости Oxy и проходящим через начало координат. Из уравнений (20) и (21) вытекает, что прямые (22) являются асимптотами гипербол, определяемых этими уравнениями.

Гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, расположенной на рис. 58 в плоскости Oyz, когда ее вершина движется вдоль параболы, расположенной на том же рис. 58 в плоскости Oxz.

В заключение укажем, что кроме двух прямых (22), существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

         и                        (23)

где  α и β – произвольные параметры, ибо уравнение (19) представляет собой алгебраическое следствие уравнений (21) (уравнение (19) получается из уравнений каждого семейства прямых (22) путем их перемножения).

Поверхности, составленные из прямолинейных образующих, называются линейчатыми. Кроме гиперболического параболоида линейчатыми являются цилиндрические и конические поверхности, а также однополостный гиперболоид.

Возможность составления указанных поверхностей из прямых линий широко используется в практике для сооружения строительных конструкций с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ