Обучающие работы (8 класс)

ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ

1. Параллелограмм

///////////////|////!///////!/////////!////////!!/!!///////////!////////////////!/////////////!!!!!!!//////////!

О с н о в н ы е     с в е д е н и я

Свойства параллелограмма

Если в условии задачи дано, что ABCD — параллелограмм, то

можно использовать его свойства:

                                                            AB║CD   ВС║AD

   АB=CD,  BC=AD

 ABCD — параллелограмм                ∟А=∟С, ∟B=∟D,

   ∟А+∟В= 180º (и т.д.),

   AO=ОС, ВО=OD

Признаки параллелограмма

Если в задаче нужно доказать. что ABCD — параллелограмм, то применяют один из признаков:   АВ║ СD и BC║ AD                   ABCD - параллелограмм               

     АВ = СD и BC = AD          АВCD - параллелограмм

     АВ ║ CD и АВ = CD          ABCD - параллелограмм

     AO = OC и BO = OD          АВСD -  параллелограмм

Задача 1. Прямая МК (см. рисунок) параллельна стороне АD параллелограмма ABCD. Докажите, что МКDА также является параллелограммом.

Дано: ABCD — параллелограмм,

МК║АD._________________________

Доказать: AMKD — параллелограмм.

Здесь нужно воспользоваться сначала свойствами параллелограмма (так как дано, что ABCD — параллелограмм), а затем одним из признаков (так как нужно доказать, что АМКВ — параллелограмм).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Так как по условию АВСD — параллелограмм, то АВ║CD, тогда и АМ║KD.

2. В четырехугольнике АМКD имеем: АМ║KD (доказано в п. 1), MK║AD (по условию).

Следовательно, АМКD — параллелограмм.

Задача 2. В параллелограмме MONK биссектриса угла М пересекает сторону ON в точке D. Докажите, что ∆MOD — равнобедренный.

Дано: MONK — параллелограмм,

МО — биссектриса угла ОМК.

Доказать: ∆МОD — равнобедренный.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Так как MONK — параллелограмм (по условию), то MK║ON.

2. ∟MDO = ∟DМК (как накрест лежащие при MK║ON и секущей MD).

3. MD — биссектриса угла М (по условию), тогда ∟ОМВ = ∟DМК.

4. В ∆MOD:

∟МDО = ∟ОМD (так как ∟МDО = ∟DМК и ∟ОМD = ∟DМК);

значит, ∆МОD — равнобедренный, MO=OD.

З а д а ч и

1. Найдите вcе углы параллелограмма, если один из них равен:

а) 42º; б) 54º; в) 128º; г) 132º.

2. Определите углы параллелограмма, если:

1) один из них больше другого: а) на 50º; б) на 70º,

2) один из них меньше другого: а) в4 раза; б) в 11 раз;

3) сумма двух из них равна: а) 82º, б) 112º.

3. Найдите периметр параллелограмма, если известны две его стороны: а)7м и 9 м; б) 5м и 11м; в) а м и b м.

4. Определите стороны параллелограмма, если:

1) его периметр равен 38 дм, а одна из сторон:

а) на 7 дм меньше другой;     б) на 11 дм больше другой;

2) его периметр равен 60 м, а одна из сторон:

а) в 4 раза больше другой;     б) в 5 раз меньше другой.

5. Диагонали параллелограмма ВСDЕ пересекаются в точке М. Найдите периметр:

а) треугольника ВМС, если DЕ = 7 см, ВD = 12 см, СЕ = 16 см;

б) треугольника DМС, если ВЕ=9 ем, СЕ= 10 см, DВ= 14 см.

6. Диагонали параллелограмма KMOP пересекаются в точке С. Докажите, что:

а) ∆КМС=  ∆ОРС; б) ∆MСО=  ∆РСК.

7. В окружности проведены диаметры АВ и CD. Докажите, что АСВD — паралле- лограмм.

8. В параллелограмме ACDE на сторонах АЕ и CD отложены равные отрезки АК и DM Докажите, что  ∆АКС =  ∆DМЕ.

9. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки ВО и DN. Докажите, что четырехугольник ONEF также является параллелограммом.

************************************************************************

10. На диагонали МК параллелограмма MNKO отложены отрезки MA = КВ. Докажите, что: 1) ∆МАN=  ∆КВО; 2) АN║ОВ.

11. Диагонали параллелограмма продолжены за вершины на одинаковую длину. Докажите, что полученные точки являются вершинами параллелограмма.

12. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке М, а биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что: 1) ∆АМB =  ∆СКD; 2) ВМ║DK.

ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ

2. Трапеция

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I!!!!I

О с н о в н ы е    с в е д е н и я

Свойства трапеции

В трапеции имеются: два основания (параллельные стороны) и две боковые стороны (непараллельные стороны).

В решении задач на трапецию можно использовать свойства углов при параллель -ных прямых и секущей:

 

Кроме того при решении задач часто используются два вида дополнительных построений, показанных ниже.

 

Теорема Фалеса

Пусть прямые m║n║l пересекают стороны угла.

Тогда АB=ВС   A₁B₁ =B₁C₁                               

В частности:  если В — середина отрезка АС,

то и В₁ — середина отрезка А₁С₁.

Задача 1. Докажите, что у равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одному основанию, равны.

План решения.

1 способ               1. Проведем СЕ║АВ.

2. Докажем, что ABCE — параллелограмм, тогда АВ = СЕ.

3. Докажем, что ∆CDE — равнобедренный, тогда ∟1 = ∟2.

4. Докажем, что ∟А = ∟2 (используя, что АВ║CE, ∟A и ∟1 соответственные).

5. Докажем, что ∟В = ∟BCD (используя, что АD║ВС, ∟В и ∟А,

∟BCD и ∟2 — пары односторонних углов)                                                  

II способ                                                           

1. Проведем ВМ┴AD и СН┴AD.

2. Докажем, что ВСHМ — параллелограмм,

    тогда BM= CH.

3. Докажем, что ∆АВМ= ∆DCH (по катету и гипотенузе), тогда ∟А = ∟D.

4. Аналогично 1 способу докажем, что ∟АВС = ∟BCD.

Задача 2. В треугольнике АВС сторона ВС равна 20 см. Прямая m, параллельная стороне АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и К. Известно, что АМ: МВ = 2: 3. Найдите ВК.                                                      

Решение.

1.     Разделим сторону АВ на 5 равных частей и  проведем

через точки деления прямые, параллельные  стороне АС.

Одна из этих прямых совпадет с прямой m.

2. По теореме Фалеса эти прямые пересекут сторону ВС в точках, которые делят эту сторону на 5 равных частей. При этом отрезок СК содержит два таких отрезка, а BK — три таких отрезка.

3. Каждый из полученных пяти отрезков равен 20 см : 5 = 4 см, Отсюда СК = 8 см, ВК = 12 см.

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

З а д а ч и

1. Дана трапеция MPOK с основаниями МК и ОР. Найдите:

1) неизвестные углы трапеции, если:

а) ∟M= 72º, ∟О = 105º;        б) ∟K = 81º, ∟Р = 110º;

2) ∟ОРК и ∟РОМ, если:

а) ∟ОМК= 38º,  ∟PKM=48º;

б) ∟КМО = 54º, ∟MKP = 38º;

3) углы треугольника MKN (где N — точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОРК и РОМ соответственно равны:

а) 72º и 48º; б) 36º и 54º, в) α и β.

2. Трапеция CDEF — равнобедренная, CF и DE — се основания.

1) Найдите неизвестные углы трапеции, если:

а) ∟С = 67º, б) ∟D = 112º; в) ∟E = α.

2) Докажите, что ∆FСЕ =  ∆СFD.

3) Найдите углы треугольника FCE, если известно, что:

а) ∟DEC= 60º, ∟CDE= 100º, б) ∟DEC =40º,, ∟СDЕ= 110º .

3. Дано: KMNO — трапеция, NA║КМ (см. рисунок).         

1) Определите вид четырехугольника КМNА.

2) Докажите, что ∟К =∟NАО = ∟МNА.

3) Найдите углы треугольника ANO и

четырехугольника KMNA, если:

а) ∟К=62º, ∟МNО=113º; б) ∟O=68º, ∟OAN=58º.

4) Докажите, что если трапеция равнобедренная, то ∆ОАN— равнобедренный с основанием АО.

5) Докажите, что если ∆ОАN — равнобедренный с основанием АО, то трапеция — равнобедренная.

4. Отрезок ВЕ параллелен стороне CD трапеции BCDF     

    (cм. рисунок), ВС = а, CD = b, DF = с, BF = d. Найдите:

а) периметр четырехугольника ВСDЕ;

б) периметр треугольника ВЕГ.

5. В трапеции ABCD проведены перпендикуляры BH и СК к основанию АD. Определите:                                                                         

а) стороны четырехугольника ВСКН, если

АD = а, АН = b, KD = с, BH = d;

б) периметр треугольника KCD, если:

AD = а, АН = b, ВС = с, ВН = d, СD = m.

6. В равнобедренной трапеции DEFC на большее основание DC опущены перпенди- куляры ЕА и FВ. 1) Докажите, что ∆DЕА = ∆CFB.

2) Чему равны отрезки DA и СВ, если:

а) ЕF = 8 см, CD = 30 см;        б) EF = 10 см, CD = 28 см?

7. Прямые АМ, BN и СО параллельны,                     

DМ= MN= NO. Найдите:

1) длину отрезка DC, если:

а) АВ = 12; б) ВС = 9; в) АВ = m;

2) длину отрезка АВ, если:

а) BD = 16; б) АС = 18; в) DC = b;

3) длину отрезка АС, если:

а) CD = 27; б) DC = 36; в) DB = а.

8. Начертите произвольный отрезок АВ. Разделите его:

а) на 5 равных частей;   б) на 6 равных частей.

************************************************************************

9. Найдите углы равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне и в два раза меньше другого основания.

10. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции разбивают её на четыре треугольника, из которых два равны и два других являются равнобедренными.

11. Диагонали трапеции являются биссектрисами углов при большем основании. Докажите, что данная трапеция является равнобедренной, а ее меньшее основание равно боковой стороне.

12. В треугольнике АВС на стороне ВС взяты точки М и К такие, что ВМ= СК = 0,25 ВС. Через точки М и К проведены параллельные стороне АВ прямые МО и КР (О и Р — точки на стороне АС).

Найдите длины отрезков АР и ОР, если сторона АС равна 24 см.

13. В равнобедренной трапеции АВС0 высота ВН делит большее основание AD на отрезки AH и HD. Докажите, что отрезок АН равен полуразности оснований, а отрезок HD равен полусумме снований трапеции.

14. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Докажите, что высота трапеции равна полусумме оснований.

3. Прямоугольник

Основные сведения

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами

                                      АВ║CD,    ВС║АD,             

ABCD — прямоугольник       AB = CD,   ВС = AD,

AO= ОС,    ВО= OD.

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

                                               а) ∟А =  ∟В =  ∟С =  ∟D = 90º

АВСD — прямоугольник                (все углы прямые),

б) АС = BD (диагонали равны).

Признаки прямоугольника

                                                                                                                                                                            

Можно доказать и другие признаки прямоугольника.

Задача. Доказать, что четырехугольник, у которого есть три прямых угла, является прямоугольником.

Дано: четырехугольник ABCD,                                           

∟А =∟В = ∟С = 90º.

Доказать: АВСD — прямоугольник.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. AD ┴АВ, ВС┴АВ (по условию), тогда АD║ВС (как два перпендикуляра к одной

    прямой).

2. АВ┴ВС, CD┴ВС (по условию), тогда АВ║CD (как два перпендикуляра к одной

    прямой).

3. Так как AD║ВС и АB║CD, то ABCD — параллелограмм (по определению).

4. ∟D =∟В (как противолежащие углы параллелограмма).

5. В параллелограмме АВСD: ∟А = ∟B =∟С= ∟Р =90º, значит, ABCD — прямоугольник (по определению).

Задачи

1. В прямоугольнике АВСD проведена диагональ АС.

1) Найдите неизвестные углы треугольника АСD, если:

а) САD = 55º; б) ACD = 66º.

2) Найдите острые углы треугольника АВС, если один из них больше другого:

а) в 5 раз; б) на 42º.

2. В прямоугольнике BCDE диагонали пересекаются в точке О.

Найдите отрезки OD и ОВ, если:

1) диагональ ВО равна: а) 17 см; б) 25 см;

2) диагональ СЕ равна: а) 13 см; б) 19 см.

3. Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке N.

Докажите, что:

1) треугольник DNE — равнобедренный;

2) если точка О является серединой стороны EF, то NOEF.

4. Точка пересечения диагоналей прямоугольника соединена с серединами двух соседних сторон. Определите:

1) вид отсекаемого четырехугольника;

2) периметр отсекаемого четырехугольника, если периметр данного прямоу- гольника равен 52 см.

5. В окружности с центром О проведены диаметры МК и NP.

1) Докажите, что MNKP — прямоугольник.

2) Найдите углы треугольника MNP, если:

а) МОР = 140º; б) МОN= 80º.

6. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла В пересекает сторону АВ в точке М

1) Докажите, что треугольник ADM — равнобедренный.

2) Найдите периметр данного прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита точкой М на отрезки длиной 3 см и 5 см.

Сколько решений имеет задача?

 7. Докажите, что вершины прямоугольника лежат на одной окружности, центром которой является точка пересечения его диагоналей.

8. Найдите длину диагонали прямоугольника, если его вершины лежат на окружнос- ти с радиусом:         а) 11см       б) 21 см;     в) R.

9. Найдите радиус окружности, которой принадлежат вершины прямоугольника,

если:           1) его диагональ равна:  а) 15 м;      б) 23м;        в) 1;

2) его диагональ образует угол 60º со стороной, равной 18 см.

10. Начертите произвольный прямоугольник. Постройте окружность, описанную около данного прямоугольника.

11. В прямоугольнике DEFK биссектриса угла D пересекает сторону EF в точке С, причем отрезок CF в 2 раза больше отрезка ЕС.

Найдите:    1) периметр прямоугольника, если DE = 12 см;

2) стороны прямоугольника, если его периметр равен 32 см.

12. Дан прямоугольник МУСК (см. рисунок).           

1) Найдите ВМN и  ∟МВN, если  А = β

2) Докажите, что ∆АМК = ∆МBN, еcли точка М —

середина стороны АВ.

3) Найдите стороны и диагонали прямоугольника  MNCK,

если точка М является серединой стороны АВ, АС= 12 см, АВ = 13 см, ВС= 5

4. Ромб и квадрат

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

О с н о в н ы е    с в е д е н и я

Свойства ромба

Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то он обладает общими свойствами параллелограммов и

                                        АВ║CD,ВС║АD,

АВСD-                           ∟А = ∟С, ∟В = ∟D,   — свойства параллелограмма;

  ромб                             АО = ОС, ВО = OD

                                      АВ = ВС= CD =АР         — все стороны равны,

 АВСР –                                 АС┴ВD,                — диагонали перпендикулярны,

 ромб                             АС — биссектриса ∟А   — каждая диагональ                    

и т. д.                                   биссектриса угла ромба

Признаки ромба

АВ =ВС= СО=АD                                       АВСD — ромб

АВСD — параллелограмм и АС┴ВD                 АВСD — ромб

  ABCD — параллелограмм                    

   и АС — биссектриса угла А                             ABCD — ромб

Свойства квадрата

Квадрат по определению является прямоугольником, у которого все стороны равны. Это значит, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоуголь -ника и ромба:

        АBCD-                                                                          

        квадрат

АB║CD, BC║АD,                  — стороны попарно параллельны,

                 АВ = ВС = CD = АD                 — все стороны равны,

    ∟А = ∟В = ∟С = ∟D = 90º,      — все углы прямые,

                АО = ВО = CO = DO.                 — отрезки диагоналей равны,

                          АС┴BD,                           — диагонали перпендикулярны,

АС, ВО, СА, DB — биссектрисы    — каждая диагональ является

    углов                      биссектрисой угла ромба

Признаки квадрата

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно:

• доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;

• доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами.

Задача. Два диаметра окружности перпендикулярны. Докажите, что их концы являются вершинами квадрата.

Дано О — центр окружности,                 

АВ и CD — диаметры,

         АВ┴CD ____________

Доказать: АСВD — квадрат.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

l. АВ и CD — диаметры, значит, АО=ВО и СO=DO

Тогда АСВD — является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

2. АСВD — параллелограмм и АВ = CD, значит, АСВD — прямоугольник (по признаку прямоугольника).

3.АСВD — параллелограмм и АВ┴CD, значит, АСВD — ромб (по признаку ромба). Тогда АС = СВ = ВD = АD.

4. АСВD — прямоугольник и его стороны равны, значит, ACBD — квадрат (по определению квадрата).

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

З а д а ч и

1. Найдите периметр ромба сторона которого равна:

а) 7см; б) 11см; в) а.

2. Найдите стороны ромба, если его периметр равен:

а) 30 см; б) 22 см; в) Р.

3. Найдите ∟А и ∟D ромба АВСD, если:

1) ∟С равен                           а) 25º;         б) 34º,

2) ∟B больше, чем ∟С         а) на 40º;     б) на 70º;

3) ∟В меньше, чем ∟С         а) в 4 раза; б) в 5 раз;

4) ∟В: ∟C = 1: 3.

4. В ромбе CDEF проведена диагональ DF. Определите:

1) угол CFD, если:        а) ∟CFE = 80º,    б) ∟EFC = 100º;

2) угол CDF, если:        а) ∟EFC = 112º;  б) ∟CFE = 68º,

3) углы треугольника СFD, если:

а) ∟EFD = 42º;    б) ∟EDF = 54º,    в)∟DEF = 62º

r) ∟СDЕ=112º;   д) ∟CFE=42º .

5. В ромбе ABCD проведены диагонали.

1) Докажите, что они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

2) Найдите катеты этих треугольников, если диагонали равны:

а) 12см и 18см;    б) 16см и 20см.

3) Найдите острые углы этих треугольников, если  ∟С равен:

а) 78º;         б) 144º;       в) α.

6. Докажите, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов

ромба равен: а) 60º; б) 120º.

7. В квадрате проведена диагональ.

1) Докажите, что она разбивает квадрат на два равных равнобедренных  треугольника.

2) Найдите углы этих треугольников.

8. В квадрате проведены диагонали.

1) Докажите, что при этом он разбивается на четыре равных равнобедренных треугольника.

2) Найдите углы этих треугольников.

9. Докажите, что точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности, на которой лежат вершины квадрата.

10. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определите вид четырехугольника АВКО и найдите все его углы.

11. Найдите радиус окружности, на которой лежат вершины квадрата, если его диагональ равна: а) 15 см; б) 25 см; в) m.

************************************************************************

12. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Определите вид четырехугольника АВСР.

13. Докажите, что середины сторон квадрата являются вершинами квадрата.

14. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М. Из точки М проведен перпендикуляр МК к стороне CD. Найдите углы треугольника СМК, если известно, что:         a)∟CВЕ = 82º      б) ∟BED = 142º;           в) ∟СDК = β

15. Б равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе и две на катетах. Докажите, что гипотенуза треугольника в 3 раза больше стороны квадрата.

16. На сторонах ромба ABCD взяты точки: М — на стороне АВ, P— на стороне ВС, К — на стороне CD и L — на стороне АD, причем известно, что АЕ = АМ = CP = СК. Докажите, что MPKL — прямоугольник.

17. Б прямоугольнике MNPK биссектрисы четырех углов; причем биссектрисы углов М и К пересекаются в точке А, биссектрисы углов М и N — в точке С, биссектрисы углов Р и К — в точке D, биссектрисы углов P и N — в точке В, лежащей на стороне МК. Определите вид четырехугольника АСВО.