Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Обучающий модуль по алгебре на тему "Арифметическая и геометрическая прогрессия"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обучающий модуль по алгебре на тему "Арифметическая и геометрическая прогрессия"

библиотека
материалов

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретический материал


1. Понятие прогрессии

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Число, которое прибавляется к предыдущему члену прогрессии для получения следующего, называется разностью арифметической прогрессии. Обозначается d.

Пример: (аn):2;4;6;8;… аn+1= аn + 2 , d=2

n):17; 15,5; 14; 12,5;… хn+1 = хn - 1,5, d= -1,5

аn+1= аn +d

Рекуррентная формула арифметической прогрессии




Геометрической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Число, на которое умножается предыдущий член прогрессии для получения следующего, называется знаменателем геометрической прогрессии. Обозначается q.

Пример: (bn):2;4;8;16;… bn+1= 2bn , q=2

(yn):5; -5; 5; -5;… yn+1 = -yn , q= -1

bn+1= bnq

Рекуррентная формула геометрической прогрессии





2. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Выведем формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Пусть (аn)-некоторая арифметическая прогрессия. Пусть(bn)-некоторая геометрическая прогрессия

Значит аn+1= аn +d , т.е. Значит bn+1= bnq , т.е

hello_html_m78d758c1.gif

b2= b1 q

b3= b2 q= b1 q2

b4= b3 q= b1 q3

bn= bn-1 q= b1 qn-1



hello_html_m78d758c1.gif

а2= а1 +d

а3= а2 +d= а1 +2d

а4= а3 +d= а1 +3d

аn= аn-1 +d= а1 +(n-1)d








аn= а1 +(n-1)d


bn= b1 qn-1





Примеры.

Составим формулу n-го члена последовательности (аn):5;3;1;-1;…

Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией, т.к. аn+1= аn -2, в которой а1 =5, d=-2. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид аn= 5 +(n-1)(-2). Преобразовав данное выражение, получим: аn= -2n+7.

Составим формулу n-го члена последовательности (хn):1;0,5;0,25;0,125;…

Данная последовательность является геометрической прогрессией, т.к. хn+1= 0,5хn , в которой х1 =1, q=-0,5. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид хn= 1 0,5n-1. Преобразовав данное выражение, получим: хn= hello_html_2708d061.gif.

3. Характеристическое свойство членов прогрессии

Легко доказать что:

  • любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е. hello_html_6b812908.gif.

  • любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.hello_html_76040091.gif.

Также можно доказать, что hello_html_m2045edd8.gif, а hello_html_3e1eeb40.gif. ( Проверьте эти равенства самостоятельно!)

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: определение арифметической и геометрической прогрессии

рекуррентное задание арифметической и геометрической прогрессии

формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии

характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии


Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.16,18.


  1. Из приведенных ниже последовательностей выпишите те, которые являются а)арифметической прогрессией; б)геометрической прогрессией. Запишите рекуррентную формулу каждой из них Укажите ее первый член и разность или знаменатель:

1 (хn): 10;20;30;… 3 (хn): hello_html_17d2b6ec.gif 5 (хn): 0,3; 0,03; 0,003;…

2 (хn): 1;2;4;7;11;… 4 (хn): hello_html_m760f6e98.gif 6 (хn): hello_html_57b51b03.gif

  1. Запишите первые пять членов арифметической прогрессии, в которой а)а1=2, d=-3; б) а1=-3, d=2. Составьте формулу n-го члена и найдите а10, а20 , а100..

  2. Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, в которой а)с1=2, q=-3; б) c1=-3, q=2. Составьте формулу n-го члена и найдите с6.

  3. Найдите члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

-6; -4; х3; х4; х5;…

х1; 3; 7; х4, х5;…

х1; х2; 3; х4; 7;…

3; х2; х3; х4; -13;…

  1. Найдите члены геометрической прогрессии, обозначенные буквами:

3; 1; у3; у4; у5;…

у1; 2; 8; у4, у5;…

у1; 4; у3; у4; 0,032;…

5; у2; у3; у4; 0,3125;…

  1. n) – арифметическая прогрессия. Найдите:

с1, если d=5 с7=2

d, если с1=4 с15=48

с1, если с5=2 с11=3

  1. n) – геометрическая прогрессия. Найдите:

у1, если q=-2 y6=50

q, если y3=4 y5=8.

  1. Вставьте между числами 2 и 3 три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли арифметическую прогрессию.



Ключ для проверки

  1. Арифметической прогрессией является первая и последняя последовательность, причем для первой справедливо: хn+1=xn+10, x1=10, d=10,а для последней - хn+1=xn - hello_html_m6df86869.gif, x1=3,d =hello_html_m6df86869.gif.

Геометрической прогрессией является четвертая и пятая последовательность. для четвертой последовательности выполняется: хn+1=xnhello_html_m6df86869.gif,x1=hello_html_m6df86869.gif,q=hello_html_m6df86869.gif.

для пятой последовательности справедливо: хn+1= 0,1 xn ,x1=0,3,q=0,1.

  1. a) 2; 1; -4; -7; -10;… аn=-3n+5 a10=-25, a20=-55, a100=-295

б)-3; -1; 1; 3; 5;… аn=2n-5 a10=15, a20=35, a100=195

  1. а) 2; -6; 18; -54; 162;… cn=2(-3)n-1c6=-486

б)-3; - 6; -12; -24; -48;… cn=-32n-1c6=-96

  1. -6; -4; -2; 0; 2;… -1; 3; 7; 11; 15;-1; 1; 3; 5; 7;… 3; -1; -5; -9; -13;…

  2. hello_html_m791e358.gif hello_html_m179de3c7.gif 20; 4; 0,8; 0,16;0,032;… 5; ±2,5; 1,25; ±0,625; 0,3125;…

  3. с17-6d=-28 d=hello_html_2070e9dc.gif d=hello_html_5f48956c.gifc1=c5-4d=hello_html_m291bc923.gif

  4. hello_html_4817a67a.gif hello_html_m4f8051e1.gif

  5. 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику



Ответьте на вопросы.

  1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.

  2. Что такое разность арифметической прогрессии? Объясните, как найти ее, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а8; а3 и а12?

  3. Объясните, как в арифметической прогрессии найти первый ее член, зная пятый и разность прогрессии; пятый и двенадцатый ее член?

  4. Объясните на примере последовательности (хn): 3; 7; 11;…, как составить формулу ее n-го члена.

  5. Поясните, при каких условия арифметическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.

  6. Объясните на примере характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

  7. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите примеры.

  8. Что такое знаменатель геометрической прогрессии? Объясните, как найти его, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а4; а10 и а12?

  9. Объясните, как в геометрической прогрессии найти первый ее член, зная пятый член и знаменатель прогрессии; пятый и седьмой ее член?

  10. Объясните на примере последовательности (хn): 3; 6; 12;…, как составить формулу ее n-го члена.

  11. Поясните, при каких условиях геометрическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.

  12. Объясните на примере характеристическое свойство членов геометрической прогрессии


Арифметическая и геометрическая прогрессии

Проверочная работа


А1

  1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn) и найдите а11, если а1=2,4; d=-0.8

  2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn):3; -6;…

  3. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-1,2; с5=-0,4

  4. В геометрической прогрессии (уn) у3=hello_html_m6df86869.gif, у5=hello_html_m64bf1ad2.gif. Найдите у2 и у6.

  5. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а6=23; а11=48..

А2

  1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn):-2,4;-1,6;… и найдите а11.

  2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn), если х1=81;q=hello_html_m6df86869.gif:.

  3. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-2,7; с4=-1,8

  4. В геометрической прогрессии (уn) у3=hello_html_m6df86869.gif, у5=hello_html_5083bb97.gif. Найдите у4 и у7.

  5. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а4=4; а12=36..

Б1

  1. Дана арифметическая прогрессия (аn): -22,5;-21;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

  2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b3=hello_html_668426b0.gif,q=hello_html_77efce13.gif.

  3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а4=1,8; а7=0,6.

  4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 22, если а3=-2; d=3.

  5. Между числами hello_html_668426b0.gif и 9 вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

Б2

  1. Дана геометрическая прогрессия (аn): 30,-3;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

  2. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (bn), если b3= -25,d=0,7.

  3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а3= -2,3; а8= -0,8.

  4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 47, если а4= -3; d=5.

  5. Между числами 16 и hello_html_m7ba30320.gif вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

В1

  1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (аn), если а5=-9,1; а12=-7.

  2. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии (сn), если с1=8 с4; с5=hello_html_m7f402c7b.gif.

  3. Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=11n-78, является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой прогрессии. Найдите ее первый положительный член.

  4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 4х и 16х-12 составляют геометрическую прогрессию.

В2

  1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (аn), если а4= -4; а6= -8.

  2. Найдите n-й член арифметической прогрессии (сn), если с3 с4=80;hello_html_m4299cdb1.gif..

  3. Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=n2+2n, не является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой последовательности. Найдите ее наименьший и наибольший член.

  4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 2х+1 и х2-3 составляют арифметическую прогрессию.



Ключ для проверки

А1

1. аn= -0.8n+32, a11= -5.6

2. bn=3(-2)n

3. d=0.2

4. y2=±2/3, y6=±1/24

5. a1=2

Б1

1. an+1=an+1.5, a1= -22.5,

an=1.5n-24

2. b7=1

3. d= -0.4, a1=3

4. n=11

5. ±1/3; 1; ±3

B1

1. a17= -4.3

2. c6=3/32, cn=3/2n-1

3. c a8>0, a8=10

4. x=3; 4;12;36

A2

1. аn= -3.2+0.8n, a11= 5.6

2. bn=81/3n-1

3. d=0.3

4. y2=±2/3, y6=16/3

5. a1= -8

Б2

1. an+1=an(-0.1)n-1, a1= 30,

an=30(-0.1)n-1

2. b17= -15.2

3. d= 0.3, a1= -2.9

4. n=14

5. ±4; 1; ±1/4

B2

1. a7= hello_html_m4fd2bc47.gif

2. cn= -2n-16, cn= -2n+16

3. наименьшее x1=3, наиб. нет

4. x=4 и -1; 5;9;13 или 0; -1; -2

Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии


1. Понятие суммы n первых членов последовательности.

Пусть в последовательности (аn) известны первые n ее членов: а1, а2, а3,… аn. Выражение а1+ а2+ а3+…+ аn. Называется суммой n первых ее членов. Обозначается Sn.

Sn= а1+ а2+ а3+…+ аn.





Пример. Сумма пяти первых членов некоторой последовательности – это сумма всех ее членов с первого по пятый, т.е. S5= а1+ а2+ а3+ а4+ а5.

Сумма двадцати первых членов последовательности – это сумма всех ее членов в первого по двадцатый, т.е. S20= а1+ а2+ а3+…+ а19+ а20.


2. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Для того, чтобы в некоторой последовательности найти сумму ее первых n членов необязательно знать все эти члены. Можно воспользоваться формулами.

Дhello_html_22419a44.gifля арифметической прогрессии hello_html_m2e35103.gif или hello_html_m5ba99ee1.gif

hello_html_22419a44.gif

Для геометрической прогрессии hello_html_m1cf14010.gif или hello_html_m49a4ec8e.gif

В этих формулах: а1 и b1 – первые слагаемые в сумме

an и bn- последние слагаемые в сумме

n- количество слагаемых (совпадает с номером последнего слагаемого)

d и q- соответственно разность и знаменатель прогрессии


( Объясните, как из одной формулы получить вторую)

( Разберите вывод формул по учебнику)


Примеры.

  • Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой с1=3; q=2. Для этого удобнее воспользоваться второй формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии. Т.к. нужно найти сумму пяти первых ее членов, т.е. сумму с первого члена по пятый, то n=5. Значит hello_html_19e03b66.gif. Проверим! Для этого найдем все члены этой прогрессии с первого по пятый: 3; 6; 12; 24;48. Найдем их сумму 3+ 6+12+24+48=93. Т.е. hello_html_m12fece5a.gif.

  • Найдем сумму всех двухзначных чисел, не превосходящих 50. Выпишем числа – члены некоторой последовательности – сумму которых необходимо найти: 10; 11; 12; 13;…50. Заметим, что эти числа составляют арифметическую прогрессию, в которой а1=10; d=1, значит для нахождения суммы этих чисел можно применить одну из приведенных выше формул. Применим первую формулу hello_html_m2e35103.gif. Первое слагаемое в искомой сумме а1=10, последнее слагаемое аn=50. необходимо знать количество слагаемых, т.е. n, которое совпадает с номером последнего слагаемого. Т.к. для членов арифметической прогрессии справедливо равенство аn= а1+d(n-1), то применив его, найдем номер члена аn равного 50. 10+1(n-1)=50, откуда n=41. Т.е. в искомой сумме 41 слагаемое, а значит 50 – это а41. Найдем сумму hello_html_m6fc75431.gif. Можно применить и вторую формулу hello_html_7f7907db.gif.

Использовать нужно ту формулу, которая наиболее удобна в зависимости от условия,


3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия, в которой hello_html_m7bbe6280.gif, т.е.-1<q<1, является убывающей.

Например. Последовательность (аn):2; 1; 0,5; 0,25; 0,125;… является бесконечной убывающей геометрической прогрессией знаменатель которой равен 0,5 (0,5<1). Геометрическая прогрессия (сn):3; -0,3; 0,03; -0,003;… также является убывающей, q=-0.1 (-1<0.1<1).


Ясно, что с увеличением номера члены последовательности уменьшаются, становясь все меньше и меньше отличными от нуля. Говорят, что с возрастанием n члены прогрессии bn стремятся к нулю. Значит, члены прогрессии с большими номерами практически не влияют на сумму n первых ее членов. Поэтому, при больших n сумма hello_html_2e68ae99.gif.


Дhello_html_4c6f1ad.gifля бесконечной убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле hello_html_215ade0c.gif


Пример.

Найдем сумму 0,3+0,03+0,003+0,0003+… Заметим, что слагаемые данной суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой а1=0.3, q=0.1. q<1, прогрессия убывающая, а значит сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле hello_html_m6a8f9a50.gif

О

!

братите внимание, что 0,3+0,03+0,003+0,0003+…=0,3333…=hello_html_m6df86869.gif. Это можно использовать для перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную.



Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.



Разберите примеры, приводимые в учебнике.

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику

Сумма членов арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: понятие суммы n первых членов последовательности

формулы, для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

формулы, для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии

понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии


Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.


Обязательный уровень

  1. Запишите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (аn): 2; 7;12;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

  2. Запишите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (хn): 2; 10;50;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

  3. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии,( аn) в которой а1=5; d=3.

  4. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии,( хn) в которой х1=5; q=1/2.

  5. Найдите сумму 2+4+6+…+20

3+6+9+…+99

-50+(-45)+(-40)+…+40+45+50.

(Подсказка: найдите номер последнего слагаемого в сумме)

  1. Найдите сумму: всех двухзначных чисел

двухзначных чисел, кратных 5

  1. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена хn=12n-3; сумму шести первых членов геометрической прогрессии заданной формулой уn=4n.

  2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив сначала, что ее знаменатель q удовлетворяет условиюhello_html_m1a969a91.gif: 10; 2; 0,4;…


  1. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q=3, S4=560.

  2. Представьте бесконечную периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной.

  3. В арифметической прогрессии а1=1, а сумма первых восьми ее членов равна 120. Найдите разность этой прогрессии.

  4. В арифметической прогрессии сумма первых четырех ее членов равна 42, а сумма восьми первых членов в 3 раза больше. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.

  5. Арифметическая прогрессия задана формулой хn=10-7n. Найдите сумму ее членов с десятого по двадцатый.

  6. Сколько надо сложить последовательных натуральных чисел, кратных 7, чтобы их сумма была равна 546?

  1. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

  2. Решите уравнение, в котором слагаемые составляют арифметическую прогрессию: 4+7+10+…+ъ=116; 26+24+22+…+х=136.

  3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (хn), если известно, что hello_html_5f348a24.gif и S3=42.

  4. Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых n ее членов которой вычисляется по формуле а) Sn=3n2 ; б) Sn=n2-4n.


Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Задание для разработки темы

Ключ для самопроверки

Обязательный уровень

  1. hello_html_4ddb19f.gif

  2. hello_html_448ef416.gif

  3. hello_html_24bc1f62.gif

  4. hello_html_61962dc7.gif

  5. а) hello_html_1d9692c5.gif б) hello_html_m1e5d70da.gif в) 0

  6. а) hello_html_m46de356f.gif б) hello_html_4333e437.gif

  7. а) hello_html_1f049d76.gif б) hello_html_3ecfb031.gif

  8. hello_html_6de45f8a.gif

  1. hello_html_mff3551d.gif

  2. 8/9

  3. d=4

  4. a1=6, d=3

  5. hello_html_mb79c94b.gif

  6. hello_html_34e415b5.gif


  1. hello_html_m59cca1e.gif

  2. а) х=25 б)х=16; х=-14

  3. hello_html_m4bed6c15.gif

  4. а) да, d=6 б)нет


Краткое описание документа:

    Данный модуль разработан для изучения темы "Арифметическая и геометрическая прогрессия" в 9 классе на основе сравнения этих понятий и их свойств ( в отличие от учебника, где изучение ведется последовательно). Модуль содержит необходимый теоретический материал по данной теме, задания для разработки теоретического материала с ключами для самопроверки, вопросами для проверки уровня усвоения изученного материала, что позволяет проводить обучение независимо от имеющихся учебных пособий.   

   Данный модуль могут использовать ученики для самостоятельного изучения темы или учителя для организации учебной деятельности учащихся на уроках по изучению темы или ее повторению при подготовке к ЕНТ

Автор
Дата добавления 25.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1163
Номер материала 337909
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх