Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Обучение доказательству математических предложений в средней школе.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обучение доказательству математических предложений в средней школе.

библиотека
материалов

Обучение доказательству математических предложений в средней школе.

Способность ученика справляться с решением задач, доказательством теорем в значительной степени зависит то используемой учителем технологии обучения. До настоящего времени школьное обучение нацеливалось главным образом на усвоение знаний, на овладение умениями и навыками, а не на развитие учащихся.

Успех в обучении учащихся доказательству теорем определяется не применением одного какого-нибудь приема или метода, а системой преподавания в целом.

Структурной единицей учебно-познавательной деятельности является умение доказывать. Ведущая функция этого умения обусловливается тем, что в любом учебном предмете доказательство выступает в качестве метода исследования тех элементов знаний, которые составляют его содержание.

Основными целями обучения школьников доказательству в курсе математики являются:

- обеспечение усвоения учащимися теоретических знаний по курсу математики;

- формирование у учащихся представления о математике как о дедуктивной науке;

- обеспечение осознанности, глубины и устойчивости знаний;

- развитие мыслительной деятельности учащихся.

Изучение теорем в школе имеет своей целью сообщение школьникам не только некоторых готовых результатов, но и методов, с помощью которых эти результаты получаются. Уместно в связи с этим напомнить слова А. Дистервега: « Плохой учитель преподносит истину, хороший – учит ее находить».

Доказательство каждой новой теоремы обычно рассматривается как отдельно взятый факт, добавляющий к знаниям учащихся еще один элемент знаний. На усвоение школьниками этого нового факта и направлены все усилия учителя. Следует же особо обращать внимание школьников на приемы, которые используются при доказательстве теорем, на приемы поиска этого доказательства. При таком подходе доказательство каждой новой теоремы будет служить не только объектом усвоения, но и средством для формирования общих приемов доказательства теорем. Разница между способным учеником и слабоуспевающим состоит не в том, что он владеет более богатым арсеналом различных приемов получения знаний, знает приемы и способы их использования.

Основная же причина состоит в том, что при обучении доказательству теорем учебно-познавательная деятельность учащихся направляется учителем главным образом на понимание и запоминание, в ущерб ознакомлению школьников с методами и способами рассуждений, лежащих в основе поиска доказательства. Учителем не стимулируется постоянный анализ обучающимися своей деятельности при доказательстве теорем, в результате чего эта деятельность ими не осознается.

Основными направлениями в работе с учащимися по формированию у них умения доказывать могут быть следующие:

- показывать учащимся роль и значение доказательства в открытии новых знаний и усвоении учебного материала курса математики;

- разъяснять школьникам, в чем состоит сущность доказательства как процесса утверждения и опровержения истинности мыслей;

- проводить целенаправленную работу по обучению учащихся пользоваться индуктивным и дедуктивным методами (формировать умение находить общее в отдельных частных примерах, отличать индуктивные умозаключения от дедуктивных, воспитывать у учащихся критическое отношение к индуктивному заключению);

- планомерно формировать у учащихся умения выводить логические следствия из посылок, приучать школьников логически верно оформлять свои рассуждения;

- формировать у учащихся познавательные действия, необходимые для доказательства, и учить их применять в нужных ситуациях;

- учить школьников обобщать познавательные действия, которые выполняются в ходе доказательства.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называют теоремой.

Название «теорема» происходит от греческого слова τεορεμα — представление, зрелище (так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

В школьном курсе математики для словесной формулировки теоремы используются три формы суждения:

  1. Категорическая.

Пример 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пример 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: hello_html_48ae482f.gif

  1. Условная.

Пример 1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Пример 2. Если Р'(х)= 0 на некотором промежутке, то на этом промежутке Р(х)= С, где С — постоянная.

  1. Разделительная.

Пример 1. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Пример 2. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

В школьном курсе математики формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других — из одного условия вытекает несколько заключений, в - третьих — из нескольких условий вытекает одно заключение и т. д.

Но в любом случае теорема состоит из трех частей:

1)разъяснительная часть, где описывается множество М объектов, о которых идет речь в этой теореме;

2)условие теоремы, т. е. некоторый предикат А(х), заданный на множестве М;

3)заключение теоремы — некоторый предикат B(х), заданный на том же множестве М.

В символах математической логики теорема может быть записана следующим образом: hello_html_7a4d930e.gifгде hello_html_3533e696.gif —разъяснительная часть теоремы; hello_html_589c600d.gif— условие теоремы; В(х) — заключение теоремы

С любой теоремой обычно связаны еще три теоремы. Приведем все четыре вида теорем:

hello_html_7a4d930e.gifпрямая теорема;

hello_html_7c94429e.gifобратная теорема;

hello_html_43c0983c.gifпротивоположная теорема;

hello_html_451949ac.gifтеорема, обратная противоположной (контрапозитивная).

Между прямой, обратной, противоположной и контрапозитивной теоремами существует тесная связь, которую символически можно выразить так, как показано на рисунке .

(1) (2)

hello_html_m498f5d96.jpg

(3) (4)

Структура доказательства как логическая конструкция состоит из тезиса, аргументов и демонстрации.

В демонстрации отражается характер логических связей между тезисом и аргументами. В зависимости от вида демонстрации в методической литературе часто употребляются термины: «способ доказательства» и «метод доказательства». Покажем, в чем состоит их отличие.

Если доказательство утверждения отличается от другого доказательства того же самого утверждения не логической основой, а последовательностью умозаключений, то будем говорить, что утверждение доказывается двумя различными способами. Если же одно доказательство отличается от другого логической основой, то будем говорить о различных методах доказательства.

Основным инструментом доказательства теорем являются умозаключения. Умозаключение — рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (называемых посылками умозаключения) выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.

Формой дедуктивных умозаключений, используемых при доказательстве теоремы, является силлогизм. В силлогизме содержится три понятия, а состоит он из двух посылок и вывода. Его структуру можно представить в таком виде:

Все М есть Р — большая посылка (ВП);

К есть М — меньшая посылка (МП);

К есть Р — вывод (В).

Приведем пример силлогизма: «Все ромбы (M) есть параллелограммы (Р). Квадрат (K) есть ромб (М). Следовательно, квадрат (К) есть параллелограмм (Р)».

Цепочка последовательно связанных силлогизмов, устанавливающая истинность теоремы, называется доказательством теоремы. Различают частные и общие методы доказательства теорем. К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Общими методами доказательства теорем в курсе математики средней школы являются синтетический, аналитический методы, доказательство противоречием, доказательство методом перебора, доказательство методом исключения, метод бесконечных исключений, метод полной индукции, метод математической индукции, метод конструирования.

Работа по обучению учащихся доказательству теорем должна начинаться задолго до того, как начнут явно изучаться теоремы. Пропедевтически готовить школьника к доказательству теоремы надо еще на уровне 5—6 классов.

Поскольку в основе доказательства теорем лежат такие умения, как оперирование понятиями, работа с текстом теоремы, работа с чертежом, выбор необходимых знаний для выведения следствий, то пропедевтика обучения доказательству должна строиться вокруг перечисленных умений.

Строить методику обучения учащихся доказательству теорем необходимо с учетом их склонностей и способностей. Для правильной организации работы по формированию у школьников умения доказывать теоремы следует с помощью прогностических методов выявить все за и против, которые влияют на этот процесс. Учитель, располагающий подобным материалом, имеет возможность строить свою работу так, чтобы, снимая отрицательные факторы, целенаправленно формировать у школьников познавательный интерес к изучению доказательств теорем.

При изучении теоремы полезно придерживаться определенной организации учебно-познавательной деятельности учащихся:

  1. Понимание проблемы, т. е. осознание необходимости или пользы изучения нового познавательного вопроса.

  2. Наблюдение ряда частных случаев, проведение опыта, эксперимента.

  3. Высказывание догадок, выработка гипотезы.

  4. Осознание необходимости дедуктивного доказательства.

  5. Дедуктивное обоснование гипотезы, т. е. доказательство (или опровержение).

  6. Практические приложения полученного математического результата.

Изучение теоремы можно подразделить на три этапа:

- сознательное усвоение формулировки теоремы;

- обеспечение усвоения доказательства теоремы:

- закрепление теоремы

Учитель должен провести анализ формулировки теоремы с целью выделения разъяснительной части, условия и заключения теоремы, выяснить сущность каждого элемента формулировки, предусмотреть ошибки, которые могут допустить учащиеся в формулировке теоремы, и подготовить соответствующий контрпример.

Учитель должен подготовить аналитическое рассуждение, которое поможет ученикам уяснить последовательность шагов доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений.

Учитель, готовясь к уроку, на котором будет изучаться теорема, должен выяснить метод, прием, идею и другие особенности доказательства.

Так, например, многие теоремы в школьном курсе математики (-30%) доказываются методом от противного, а поэтому при изучении таких теорем задача учителя — довести до сознания учащихся не только сами теоремы, но и метод, с помощью которого они доказываются. Вместе с учащимися может быть выработан план доказательства теоремы методом от противного.

Следует заметить, что, чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства теорем, тем выше у них уровень умений осуществлять поиск доказательств. Готовясь к уроку, учителю надо исследовать математическую ситуацию, возникающую при доказательстве теоремы, рассмотреть все возможные случаи.

При доказательстве какой-либо теоремы следует использовать лишь ту последовательность понятий, аксиом, теорем, которая логически предшествует данной теореме в данном курсе геометрии, чтобы ни одним из высказываний этой цепочки не оказалась бы доказываемая теорема. Например, наиболее простым доказательством теоремы Пифагора могло бы быть доказательство, следующее из теоремы косинусов hello_html_3d37d4cc.gif при hello_html_m5a857a14.gif. Но в курсах геометрии, по которым учащиеся учатся в школе, так доказывать теорему Пифагора нельзя, так как она является одним из звеньев в цепи утверждений, которые приводят к теореме косинусов.

Учитель должен всякий раз следить, позволяет ли логическая структура учебника геометрии, по которому ведется обучение, рассматривать предложенное доказательство.

Доказательство теоремы в учебниках дается почти всегда сплошным текстом, но учителю следует расчленить доказательство на части, на отдельные логические шаги. Надо составить план доказательства и продумать рациональную запись доказательства теоремы.

Учителю так же надо продумать работу, подготавливающую учащихся к доказательству теоремы, подобрать задачи, решение которых прольет свет на доказательство. Важнейшим моментом при подготовке к уроку является подбор упражнений, закрепляющих связи доказываемой теоремы с другими теоремами курса.

Для формирования у учащихся интереса к математике, удовлетворения потребностей тех школьников, которые изучают математику на продвинутом уровне, полезно продумывать внеклассную работу (кружковые и факультативные занятия), которая расширила и углубила бы материал, связанный с изученной теоремой или понятием.

Исследования психологов убедительно свидетельствуют о том, что все познавательные процессы эффективно развиваются при такой организации обучения, когда школьники включаются в активную поисковую деятельность. По их мнению, поиск нового составляет основу для развития воли, внимания, памяти, воображения и мышления. В обучении математике особое значение в этой связи приобретает исследовательская деятельность учащихся, непосредственно связанная с усвоением математических знаний.

Следует при этом заметить, что полное доказательство теоремы, как правило, направлено на его запоминание, а краткое, схематичное доказательство теоремы — на его понимание.

Ознакомить учащихся с доказательством теоремы можно различными приемами.

Прием 1. Для изложения доказательства теоремы учитель использует частично-поисковый метод, таким образом, активизация класса происходит посредством эвристической беседы, которую ведет учитель с учащимися.

Прием 2. Учитель излагает доказательство теоремы объяснительно-иллюстративным методом в форме краткого рассказа, не прерывая его вопросами в адрес учащихся.

Прием 3. Метод самостоятельного изучения доказательства по учебнику. Учитель выступает здесь в роли консультанта и организатора. Учащимся даются указания к выполнению работы, обращается внимание на основные и наиболее трудные моменты в доказательстве. Для облегчения самостоятельного изучения доказательства теоремы учитель может предложить учащимся готовый план.

Закрепление теоремы осуществляется в два этапа: на уроке, где эта теорема изучается, и на последующих уроках. Закрепление теоремы сводится к повторению ее формулировки и доказательства, к формированию у учащихся умений и навыков по применению теоремы к решению задач.

Приемы, которые может использовать учитель для закрепления теорем и их доказательств.

Прием 1. После объяснения доказательства теоремы учителем один или несколько учащихся повторяют его, а остальные слушают.

Прием 2. Учитель предлагает учащимся несколько вопросов, ответы на которые позволят повторить узловые части теоремы.

Прием 3. Ученикам предлагается по ходу доказательства теоремы, которое проводит учитель или с которым они знакомятся самостоятельно по учебнику, составить план доказательства.

Прием 4. После изучения теоремы учащиеся сразу приступают к решению задач, а в конце урока, при подведении итогов, возвращаются к теореме (вспоминают ее формулировку, основные этапы доказательства и т. д.).

Прием 5. На уроке можно организовать такую работу, которая бы заменила проработку теоремы дома.

Прием 6. На доске или на пленке для кодоскопа заранее готовится запись доказательства теоремы в виде одних лишь выводов, без соответствующей аргументации каждого из них. Учащимся предлагается привести большую и меньшую посылки для каждого вывода.

Прием 7. Слабоуспевающие учащиеся могут отработать доказательство теоремы, используя тетрадь с печатной основой (рабочую тетрадь).

Прием 8.Проработка доказательства теоремы по учебнику дома.

Для отработки теоремы учащимся должны быть предложены задачи полуалгоритмического и эвристического характера.

При обучении любому учебному предмету, в том числе и математике, должны ставиться цели и из аффектной области (формирование эмоционально-личностного отношения к окружающему миру, интересов и склонностей и т. д.), и из психомоторной области (формирование навыков устной и письменной математической речи, развитие воображения, внимания, памяти и т. д.) Сказанное означает, что не одни только учебные цели должны находиться в центре внимания учебного процесса, а в первую очередь развитие личности школьника.

В заключении, можно сказать, что успех в обучении учащихся доказательству теорем определяется не применением одного какого-нибудь приема или метода, а системой преподавания в целом. В значительной степени этот успех зависит от того, на каком уровне сформированы у учащихся такие интеллектуальные умения, как понимание предложенной задачи, умение сформулировать проблему, спланировать деятельность, выделить существенное в наблюдаемых явлениях, провести исследование, интерпретировать полученные данные, провести измерения в нестандартных ситуациях и пр.


Автор
Дата добавления 12.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров527
Номер материала ДБ-024636
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх