Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Обучение учащихся построению графиков функций с модулем

Обучение учащихся построению графиков функций с модулем



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Обучение учащихся построению графиков функций с модулем


Построение графиков, содержащих модуль, осуществляется двумя способами:

  1. На основании определения модуля

Построение графика функцииhello_html_m6f543091.gif

hello_html_55aa9ce8.gifhello_html_5c9a294b.png


Приведем пример построения графика функции hello_html_m10a8074a.gif

hello_html_66f515b1.gif

Пhello_html_m939ba4d.pngостроение графика функции hello_html_m7972134f.gif

hello_html_m29181160.gif

Приведем пример построения графика функции hello_html_1a3e9b61.gif

hello_html_m9468117.gif


  1. На основании правил геометрического преобразования графиков функций.

Какие геометрические преобразования, можно использовать при построении графиков функций? (параллельный перенос вдоль осей ОХ и ОУ, симметричное отображение относительно осей или точки)


Построение графика hello_html_m7972134f.gif.

hello_html_m2e8fcf19.gif

hello_html_287c3ff2.pngЧтобы построить график функции hello_html_54a285a8.gif, если известен график функции hello_html_5b9cdb1a.gif, нужно оставить на месте ту его часть, где hello_html_m64215cfb.gif, и симметрично отобразить относительно оси Х другую его часть, где hello_html_4e5c3649.gif.

Алгоритм построения графика:

1. Построить график функции hello_html_5b9cdb1a.gif,

2. Часть графика hello_html_5b9cdb1a.gif, лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.


Построение графика hello_html_793f3c7d.gif.

hello_html_m68dd1ef5.gif

hello_html_2a4892b0.pngЧтобы построить график функции hello_html_20b2cda8.gif, если известен график функции hello_html_5b9cdb1a.gif, нужно оставить на месте ту его часть, где hello_html_68348c71.gif, а при hello_html_ma009b9e.gif отобразить построенную часть симметрично относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика:

Построить график функции hello_html_5b9cdb1a.gif,

При hello_html_68348c71.gif график сохраняется, а при hello_html_ma009b9e.gif отображается построенная часть симметрично относительно оси ОУ.


  • Пhello_html_m5ceff9e7.pngриведем пример построения графика функции 

Вhello_html_1a20c38f.png “основе” его лежит график функцииhello_html_m5aab6a4c.png, он выглядит так :


Теперь построим графикhello_html_c7a04f1.png


Чhello_html_3ce468a3.pngтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:


Тhello_html_63878fbc.pngеперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функцииhello_html_m39315975.png


Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

hello_html_m1e5d560.pnghello_html_18fb3815.png

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

hello_html_m35c28bd9.png


  • Теперь построим график функцииhello_html_m77afdcfd.png

Вhello_html_m5b353766.pngыражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:hello_html_1f94a6c7.png

При х>2/3 функция запишется так:hello_html_1c6b4a3c.png

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию hello_html_12aba226.png,

а в другой (левее) – график функцииhello_html_34076494.png


  • Сhello_html_9983215.pngледующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля: hello_html_m36daa5c7.png

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:


Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

hello_html_51e03c30.png

Раскрываем модули на первом интервале:hello_html_m584064c.png

На втором интервале:hello_html_3b657506.png

На третьем интервале:hello_html_m3cc048ad.png

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) - график по третьему уравнению:

hello_html_5ab9fe78.png

Строим:

hello_html_m2e0e965f.png























4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

hello_html_100fc19.png

В основе опять знакомый нам график функции

hello_html_m5aab6a4c.png

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

hello_html_118e7bc1.png

то график имеет вид:

hello_html_5d81fb8.png

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

hello_html_m39563a22.png

 при этом сдвинутся обе части: правая - вправо, левая - влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше - видно больше)

hello_html_m4ea187a3.png

График этой функции, умноженной на два,

hello_html_m59c8b132.png

выглядит так:

hello_html_m33ec633a.png

Теперь можно поднять график по оси у:

hello_html_438b4b8e.png

и тогда он будет таким:hello_html_5957f91d.png

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

hello_html_100fc19.png

hello_html_cc74eeb.png

5.Очень интересно выглядит график функции

hello_html_m4841c520.png

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) - второе:

hello_html_m6603f423.png

hello_html_c1bb8f1.png

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по разному:

hello_html_mfadca9c.png

hello_html_m79b08628.pnghello_html_m37749b61.png

hello_html_692d562b.png

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

hello_html_m5ca81255.png

hello_html_m1e63448d.png

Второй:

 hello_html_m530672c1.png

hello_html_m6948ed5d.png

8.Теперь построим график такой функции:

hello_html_72642092.png

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

hello_html_750f9ba4.png

А на интервале [4; ∞)  так:

hello_html_753ec215.png

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

hello_html_m5832ab65.png

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

hello_html_ea0920.png

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

hello_html_6f9efe93.png

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

hello_html_6a28d700.png

На втором интервале (-2;4):

hello_html_40256f6f.png

На третьем интервале (4;∞):

hello_html_m4a0e1276.png

Строим:

hello_html_m4116dfca.png

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

hello_html_27c029a1.png

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

hello_html_m6c4b76b7.png

На втором интервале (-2;4):

hello_html_m54a56e32.png

На третьем интервале (4;∞):

hello_html_m265fb90c.png

График изменится:

hello_html_m3c9ac3dc.png

10. Наконец, последний график мы построим для функции

hello_html_7ff14b6c.png

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

hello_html_m6b060308.png

она выглядит так:

hello_html_m12452e27.png

Далее добавим знак модуля под корень:

hello_html_19077904.png

hello_html_81928f8.png

Теперь опустим этот график вниз на 4 единице по оси у:

hello_html_m576260fb.png

hello_html_18760216.png

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

hello_html_m49fee0f5.png

и не забудем поделить все ординаты на 2:

hello_html_7ff14b6c.png

hello_html_m248ce0f9.png



Автор
Дата добавления 22.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров3423
Номер материала ДБ-093927
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх