Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Обзорная лекция по теме "Векторы и операции над ними" для учащихся 10 классов

Обзорная лекция по теме "Векторы и операции над ними" для учащихся 10 классов

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Обзорная лекция по теме "Векторы и операции над ними" для учащихся 10 классов.

Опр. Отрезок называют направленным, если на нём задано упорядочение точек от одного конца к другому. Если — начальная точка в этом порядке, а точка — последняя, то говорят, что задан направленный отрезок с началом и концом , который обозначают символом «». Нулевым направленным отрезком называют отрезок, который превратился в точку. Ненулевые направленные отрезки и называют равными, если обычные отрезки и имеют общую середину; нулевые равны по определению.

Следствие (о разности координат). Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда разность одноимённых координат конца и начала одного направленного отрезка равна разности одноимённых координат конца и начала другого.

Доказательство: Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат . Пусть . По определению равенства направленных отрезков, отрезки и имеют общую середину. Запишем факт совпадения середин с помощью формулы координат середины отрезка: . Умножая обе части этих равенств на два, получим . Затем перенося в одну часть координаты концов одного отрезка, выводим в итоге .

Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем равенство направленных отрезков.

Лемма (о транзитивности равенства направленных отрезков). Если и , то .

Доказательство: Если хотя бы один из данных направленных отрезков нулевой, то утверждение очевидно по следствию о разности координат. Рассмотрим случай ненулевых направленных отрезков.

Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат . Пусть . По определению равенства направленных отрезков, отрезки и имеют общую середину и отрезки и имеют общую середину. Запишем факт совпадения середин для каждой пары отрезков с помощью формулы координат середины отрезка:

;

.

Сложив покоординатно односторонние части этих равенств друг с другом, получим.

Уничтожая одинаковые слагаемые в разных частях равенств, выводим соотношения: .

Из них следует, что отрезки и имеют общую середину, а это по определению означает, что .

Опр. Пусть введена в пространстве прямоугольная декартова система координат . Радиус-вектором называют направленный отрезок, с началом в точке . Координатами радиус-вектора называют координаты точки . Нулевым называют радиус-вектор .

Опр. Углом между радиус-векторами и называют . Суммой радиус-векторов и называют новый радиус-вектор с координатами, равными сумме координат точек и . Если сумма оказалась равной , то называют противоположенным и обозначают символом «», то есть .

Следствие (о противоположенном радиус-векторе). Противоположенный радиус-вектор имеет координаты, противоположенные одноимённым координатам исходного.

Лемма (правило параллелограмма). Суммой ненулевых радиус-векторов и , образующих ненулевой неразвёрнутый угол, является радиус-вектор такой, что отрезок является диагональю параллелограмма со смежными сторонами и .

Доказательство: Пусть и , тогда по определению координат радиус-вектора и Пусть — середина отрезка . Возьмём точку таким образом, чтобы точка была серединой отрезка . Тогда по формуле координат середины отрезка получим:



Отсюда следует, что . Следовательно по определению, . С другой стороны, в четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке и делятся ею пополам. Следовательно, точки лежат в одной плоскости и, по теореме, является параллелограммом. Значит, отрезок есть диагональ параллелограмма со смежными сторонами и .

Опр. Вектором называют множество направленных отрезков, равных радиус-вектору . Координатами вектора называют координаты соответствующего радиус-вектора. Суммой векторов и противоположенным вектором называют векторы, порождённые соответственно суммой и противоположенным радиус-векторами. Разностью векторов и называют новый вектор . Вектор может также обозначаться символом .

Следствие (о координатах вектора). Если и , то .

Доказательство: Пусть и , тогда по определению координат радиус-векторов и . Следовательно, имеет координаты , а это по определению и есть .

Опр. Пусть задана точка и . Тогда говорят, что вектор отложен от точки .

Данный направленный отрезок единственен по следствию о разности координат, то есть если , то .

Лемма (правило треугольника). .

Доказательство: По определению суммы векторов и : . Последнее означает, что координаты вектора совпали с координатами вектора .

Таким образом, по следствию о разности координат, множество направленных отрезков, порождённое радиус-вектором , совпало с множеством направленных отрезков, порождённым радиус-вектором . А это по определению и означает, что .

Опр. Углом между ненулевыми векторами и называют угол между соответствующими им радиус-векторами. Ненулевые векторы и называют сонаправленными и обозначают , если угол между ними равен нулю. Ненулевые векторы и называют противоположено направленными и обозначают , если угол между ними равен развёрнутому. Векторы и называют коллинеарными и обозначают , если они являются сонаправленными, либо противоположено направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы называют компланарными, если соответствующие им радиус-векторы лежат в одной плоскости.

Опр. Произведением вектора на число называют вектор . Скалярным произведением векторов и называют число , которое вычисляют по формуле . Модулем вектора называют число .

Следствие (о модуле). равен длине отрезка .

Доказательство: Пусть и , тогда . По определению модуля вектора:

.

Теорема (основные свойства операций над векторами). Для любых векторов и чисел справедливы утверждения:

;

;

;

;

;

;

.

Теорема (критерии коллинеарности и компланарности). Пусть даны ненулевые векторы :

;

;

;

.

Теорема (о скалярном произведении)., где угол между векторами и .

Теорема (о разложении вектора по трём некомпланарным векторам). Пусть даны некомпланарные векторы . Тогда любой вектор трёхмерного пространства можно представить в виде , где коэффициенты определяются единственным образом.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Материал данной лекции предлагает учащимся краткое, универсальное сообщение базовых понятий и операций векторной алгебры. Особенностью данного конспекта является подчёркивание отличий между понятиями "направленного отрезка" и "вектора", введение понятия "радиус-вектора" как разновидности направленного отрезка, общий подход в определении коллинеарности и независимое от понятия длины определение модуля вектора.

Автор
Дата добавления 07.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров16
Номер материала ДБ-329420
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх