ОГЭ -2016, описание проекта экзаменационной модели

Проект

Описание проекта экзаменационной модели для проведения

Единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ

в соответствии с требованиями ФГОС основного общего образования

I.             Кодификаторы для создания экзаменационной модели по математике для государственной итоговой аттестации обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования

Кодификаторы подготовлен в соответствии с предметными требованиями по математике Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (Приказ Министерства образования и науки РФ от 17 декабря 2010 г. №1897, с изменениями в соответствии с приказом Министерства образования и науки РФ от 29.12.2014 № 1644 ) и с учетом содержания наиболее востребованных предметных программ для ступени среднего общего образования, которые рекомендованы к использованию в образовательных организациях в условиях введения ФГОС и содержания учебно-методических комплектов, рекомендованных к использованию в образовательных организациях в условиях введения ФГОС.

Раздел  1 содержит планируемые результаты обучения (ПРО), которые детализируют предметные требования ФГОС СОО и операционализованные умения (ОУ), которые являются объектом контроля в рамках государственной итоговой аттестации за курс основной школы.

Раздел  2 сдержит перечень элементов содержания (ЭС), на базе которых разрабатываются задания для оценки достижения планируемых результатов обучения.

Раздел  1. Планируемые результаты обучения и операционализированные умения

В первом столбце указан код раздела курса математики, во втором столбце – код операционализированного умения.

Код раздела	Код ОУ	Планируемые результаты обучения (ПРО), операционализированные умения (ОУ)
1		Элементы теории множеств и логики
	1.1	Оперировать понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность; задавать множества перечислением элементов, находить пересечение и объединение множеств, числовые множества на координатной прямой, отрезок, интервал; находить пересечение и объединение двух множеств на числовой прямой; использовать графическое представление множеств при решении задач
	1.2	Строить на числовой прямой подмножество числового множества, заданное простейшими условиями
	1.3	Оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство; распознавать логически некорректные утверждения; приводить примеры и контрпримеры в рассуждениях об истинности утверждений
2		Числа и выражения
	2.1	Оперировать  понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень; использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений; распознавать рациональные и иррациональные числа; сравнивать числа; оперировать понятием «стандартная запись числа»
	2.2	Выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами; оценивать результаты вычислений при решении практических задач; оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа
	2.3	Использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач
	2.4	Оперировать понятиями об одночленах и многочленах; стандартном виде многочлена, степени многочлена
3		Уравнения и неравенства
	3.1	Оперировать  понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства; проверять справедливость числовых равенств и неравенств
	3.2	Уметь решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным
	3.3	Уметь решать линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к линейным; решать системы несложных линейных уравнений, неравенств; изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой
	3.4	Уметь решать квадратные уравнения; знать и уметь применять формулу корней квадратного уравнения; уметь применять теорему Виета для поиска и проверки корней
	3.5	Уметь решать квадратные неравенства
	3.6	Уметь решать несложные дробно-рациональные уравнения и неравенства
4		Тождественные преобразования
	4.1	Выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с целым показателем; целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, использовать формулы сокращенного умножения для упрощения вычислений; раскладывать многочлены на множители, приводить их к стандартному виду
	4.2	Выполнять преобразования дробно-линейных выражений, выражений со степенями с целым и рациональным показателем, выражений с квадратными корнями
5		Функции
	5.1	Находить значение функции по заданному значению аргумента; находить аргумента по заданному значению функции; определять положение точки по её координатам, координаты точки по её положению на координатной плоскости; по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции; строить графики изученных функций (квадратичной, линейной, обратной пропорциональности); проверять, является ли данный график графиком данной функции; определять приближённые координаты точек пересечения графиков
	5.2	Оперировать  понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия; решать задачи, используя свойства арифметической и геометрической прогрессии
	5.3	Использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств
6		Статистика и теория вероятностей
	6.1	представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков; читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
	6.2	Иметь представление о важных описательных характеристиках числовых наборов; уметь находить среднее арифметическое, медиану, дисперсию, стандартное отклонение, наибольшее и наименьшее значение, размах числовых наборов; сравнивать статистические характеристики
	6.3	Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора; оценивать количество возможных комбинаций; владеть понятиями о сочетании и перестановке, числе сочетаний и чисел перестановок; уметь находить числа сочетаний и перестановок с использованием таблиц и формул; уметь находить вероятности событий в несложных ситуациях, в том числе, применяя сведения из комбинаторики
	6.4	Иметь представление о случайном эксперименте, случайном событии, вероятности случайного события; иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий в жизни; оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях; иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях
7		Текстовые задачи
	7.1	Решать сюжетные задачи на все арифметические действия на покупки, движение совместную работу; выделять величины и отношения между ними; строить модель условия; осуществлять поиск решения; составлять план решения; выделять этапы решения; интерпретировать вычислительные результаты, исследовать полученное решение; решать несложные логические задачи; выдвигать гипотезы о средних, наибольших, наименьших возможных значениях величин (делать прикидку)
	7.2	Решать задачи на нахождение части числа и числа по его части; находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины
8		Геометрия
	8.1	Оперировать понятиями геометрических фигур; извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде; применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме; решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам; использовать свойства фигур для решения задач практического содержания
	8.2	Владеть основными методами построений циркулем и линейкой; проводить анализ и реализовывать этапы решения задач на построение
	8.3	Выполнять измерения длин, расстояний, величин углов с помощью измерительных инструментов; применять формулы периметров, площадей многоугольников, объёмов и площадей поверхностей отдельных многогранников при вычислениях; применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях
	8.4	Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси или центра симметрии; распознавать симметричные фигуры
	8.5	Оперировать понятиями: равенство фигур, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция
	8.6	Оперировать понятиями: вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости; определять приближённо координаты точки по её изображению на координатной плоскости; использовать векторы для решения задач
	8.7	Решать практические задачи с применением простейших свойств фигур; выполнять измерения длин и величин углов с помощью измерительных инструментов; выполнять простейшие измерения и построения на местности; оценивать размеры реальных объектов
	8.8	Оперировать понятием о подобных фигурах, в частности – подобных треугольниках. Использовать свойства подобных фигур при решении задач
9		История математики
	9.1	Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки; знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей
10		Методы математики
	10.1	Выбирать подходящий изученный метод для решении изученных типов математических задач; приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства

Кодификатор 2. Элементы содержания, проверяемые заданиями КИМ

В первом столбце указаны коды содержательных разделов курса, во втором столбце – коды элементов содержания, объединенных в тематические блоки, на базе которых разрабатываются задания для оценки достижения планируемых результатов обучения.

Код раздела	Код ЭС		Элементы содержания, проверяемые заданиями КИМ
1			Элементы теории множеств и логики
	1.1		Множество, элемент множества, подмножество, принадлежность; пересечение и объединение множеств, числовые промежутки
	1.2		Утверждения, определение, аксиома, теорема, доказательство. Истинные и ложные утверждения. Контрпримеры
2			Числа и выражения
	2.1		Натуральные, целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа. Действительные числа. Сравнение чисел. Изображение чисел на числовой прямой. Запись числа в стандартном виде. Действия с дробями. Сокращение дробей
	2.2		Округление. Приближенные значения, оценки
	2.3		Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10. Деление с остатком. НОД и НОК
	2.4		Степень с натуральным и целым показателем. Арифметический квадратный корень. Степень с рациональным показателем. Корни. Свойства степеней и корней
			Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Стандартный вид многочлена
3			Уравнения и неравенства
	3.1		Равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения. Система уравнений с двумя переменными. Решение системы. Линейные уравнения
	3.2		Квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета
	3.3		Неравенство с одной переменной, решение неравенства. Изображение решений неравенства на числовой прямой с помощью промежутков. Линейные неравенства
	3.4		Квадратные неравенства
	3.5		Дробно-рациональные неравенства
4			Тождественные преобразования
	4.1		Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности, сумма и разность кубов. Разложение многочлена на множители. Приведение многочлена к стандартному виду
	4.2		Преобразования целых и дробно-рациональных выражений, выражений с корнями и степенями
5		Функции
	5.1	Функция, аргумент, значение, график, область определения, множество значений, нули функции, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции
	5.2	Линейная функция, ее свойства и график. Угловой коэффициент прямой
	5.3	Квадратичная функция, ее свойства и график. Парабола.
	5.4	Функции , , обратная пропорциональность . Свойства и графики этих функций
	5.5	Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена, формула суммы
	5.6	Геометрическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена, формула суммы первых членов. Сходящаяся геометрическая прогрессия, формула суммы сходящейся геометрической прогрессии
6		Статистика и теория вероятностей
	6.1	Таблицы, диаграммы, графики
	6.2	Числовой набор. Описательные характеристики: среднее арифметическое, медиана, дисперсия, стандартное отклонение, наибольшее и наименьшее значение, размах
	6.3	Организованный перебор. Факториал числа. Перестановки и число перестановок. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля
	6.4	Случайный эксперимент, элементарное событие, случайное событие, вероятность случайного события. Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными событиями
	6.5	Случайные величины и их характеристики. Математическое ожидание  и дисперсия случайной величины.
	6.6	Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей
7		Текстовые задачи
	7.1	Решение текстовых задач на движение, совместную работу, проценты, доли и части
	7.2	Решение задач с помощью организованного перебора вариантов
8		Геометрия
	8.1	Геометрические фигуры. Точки, лучи, прямые на плоскости. Свойства и признаки параллельности. Теоремы о параллельных и перпендикулярных прямых. Теорема Фалеса
		Угол. Градусная мера угла. Измерение углов с помощью транспортира. Изображение углов. Смежные и вертикальные углы. Вычисление углов
	8.2	Треугольник. Равнобедренный и равносторонний треугольник. Элементы треугольника (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии). Сумма углов треугольника. Теоремы о треугольниках. Вписанная и описанная окружность. Замечательные точки треугольника. Формулы площади треугольника. Решение треугольников
	8.3	Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольных треугольниках. Решение прямоугольных треугольников
	8.4	Четырехугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция. Теоремы о четырехугольниках. Вписанные и описанные четырехугольники. Формулы площадей четырехугольников. Нахождение элементов четырехугольников
	8.5	Окружность и круг. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей
	8.6	Теоремы о вписанных и описанных углах, хордах и секущих окружности
	8.7	Правильные многоугольники, их свойства. Площади правильных многоугольников
	8.8	Основные построения циркулем и линейкой. Решение задач на построение треугольников
	8.9	Центральная и осевая симметрия на плоскости
	8.10	Подобные треугольники. Подобные фигуры. Соотношения в подобных фигурах. Отношение площадей подобных фигур
	8.11	Вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, коллинеарные векторы. Скалярное произведение. Применение векторов при решении задач
	8.12	Координаты точки и вектора. Уравнение прямой. Уравнение окружности. Формула расстояния между точками. Координаты середины отрезка. Координатный метод решения задач

ПРОЕКТ

Спецификация

контрольных измерительных материалов для проведения
основного государственного экзамена
по МАТЕМАТИКЕ

1. Назначение КИМ ОГЭ – оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников IX классов общеобразовательных организаций в целях государственной итоговой аттестации выпускников. Результаты экзамена могут быть использованы при приёме обучающихся в профильные классы средней школы.

ОГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом Российской Федерации от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

2. Документы, определяющие содержание КИМ

Содержание экзаменационной работы ОГЭ определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

Кроме того, в экзаменационной работе нашли отражение концептуальные положения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»). КИМ разработаны с учётом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны: овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных и внеучебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.

3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ

Структура КИМ ОГЭ отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.

В целях обеспечения эффективности проверки освоения базовых понятий курса математики, умения применять математические знания и решать практико-ориентированные задачи, а также с учётом наличия в практике основной школы как раздельного преподавания предметов математического цикла, так и преподавания интегрированного курса математики в экзаменационной работе выделено четыре модуля: «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика», «Реальная математика».

Содержательное единство государственной итоговой аттестации за курс основной и средней школы обеспечивается общими подходами к разработке кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников по математике. Оба кодификатора строятся на основе раздела «Математика» Федерального государственного образовательного стандарта основного, среднего (полного) общего образования.

4. Характеристика структуры и содержания КИМ

Работа состоит из четырёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика» «Реальная математика». В модули «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» – одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне.

При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемонстрировать: владение основными алгоритмами; знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов решения задач и проч.); умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Части 2 модулей «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Все задания требуют записи решений и ответа. Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры.

Модуль «Алгебра» содержит 10 заданий: в части 1 – 7 заданий; в части 2 – 3 задания.

Модуль «Геометрия» содержит 5 заданий: в части 1 – 3 задания; в части 2 – 2 задания.

Модуль «Вероятность и статистика» содержит 3 задания: в части 1 – 2 задания; в части 2 – 1 задание.

Модуль «Реальная математика» содержит 4 задания.

Всего в работе 22 задания, из которых 16 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.

Таблица 1. Распределение заданий по частям работы

№	Часть работы	Тип заданий	Количество заданий	Макси­мальный первич­ный балл	Процент максимального первичного балла для каждой части работы от максимального первичного балла за всю работу, равного 28
1	Часть 1	С выбором ответа	2	2	7
2	Часть 1	С кратким ответом	14	14	50
3	Часть 2	С развернутым ответом	6	12	43
	Итого		22	28	100

Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса математики основной школы, отражённым в кодификаторе элементов содержания (КЭС). Количество заданий по каждому из разделов кодификатора примерно соответствует удельному весу этого раздела в курсе. Распределение заданий по разделам кодификатора планируемых результатов обучения (ПРО) приведено в таблице 2.

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 25.12.2013 № 1394 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 № 31206)

«48. Экзаменационные работы проверяются двумя экспертами. По результатам проверки эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы... В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Третий эксперт назначается председателем предметной комиссии из числа экспертов, ранее не проверявших экзаменационную работу.

Третьему эксперту предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу обучающегося. Баллы, выставленные третьим экспертом, являются окончательными».

1.      Работа направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 и более балла.

В этом случае третий эксперт проверяет только то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

2.     Работа участника ГИА-9 направляется на третью проверку при наличии расхождений в двух и более заданиях.

В этом случае третий эксперт перепроверяет все задания с развёрнутым ответом 17–22.

Таблица 2. Распределение заданий части 1 по кодификатору ПРО

Модуль	Код раздела по код. ПРО	Планируемые результаты обучения	Количество заданий[1]
Алгебра	2	Числа и выражения	2
	3	Уравнения и неравенства	1
	4	Тождественные преобразования	2
	5	Функции	2
Геометрия	8	Геометрия	3
Вероятность и статистика	6	Статистика и теория вероятностей	2
Реальная математика	1	Элементы теории множеств и логики	1
	2	Числа и выражения	1
	7	Текстовые задачи	2

Часть 2. Задания части 2 направлены на проверку таких качеств математической подготовки выпускников, как:

§  уверенное владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

§  умение решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

§  умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

§   умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;

§   умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

§   владение широким спектром приемов и способов рассуждений.

Распределение заданий части 2 по разделам кодификатора ПРО представлено в таблице 3.

Таблица 3. Распределение заданий части 2 по кодификатору ПРО

Код раздела по код. ПРО	Планируемые результаты обучения	Количество заданий
3, 4	Уравнения и неравенства	1
3, 5	Функции	1
3, 7	Текстовые задачи	1
1	Элементы теории множеств и логики	1
8	Геометрия	2
6	Статистика и теория вероятностей	1

В таблице 4 приведено распределение заданий КИМ по уровням сложности.

Таблица 4. Распределение заданий КИМ по уровням сложности

Уровень сложности заданий	Количество заданий	Максималь­ный первич­ный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального балла за всю работу, равного 28 баллам
Базовый	16	16	57
Повышенный	4	8	29
Высокий	2	4	14
Итого	22	28	100

Часть 1 состоит из заданий базового уровня сложности (Б). В экзаменационной работе задания по уровню сложности распределяются следующим образом: 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 80–90, 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 70–80 и 4 задания с предполагаемым процентом выполнения 60–70.

Части 2 модулей «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика» состоят из заданий повышенного (П) и высокого (В) уровней сложности. Планируемые проценты выполнения заданий частей 2 приведены в таблице 5.

Таблица 5. Планируемый процент выполнения заданий частей 2

Модуль	Алгебра			Геометрия		Вероятность и статистика
Номер задания	17	18	19	20	21	22
Уровень сложности	П	П	В	П	В	П
Ожидаемый процент выполнения	30–50	15–30	3–15	15–30	3–15	15–30

5. Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками используется общий балл. В таблице 6 приводится система формирования общего балла.

Максимальный балл за работу в целом – 28.

Задания, оцениваемые 1 баллом, считаются выполненными верно, если указан номер верного ответа (в заданиях с выбором ответа), или вписан верный ответ (в заданиях с кратким ответом), или правильно соотнесены объекты двух множеств и записана соответствующая последовательность цифр (в заданиях на установление соответствия).

Таблица 5. Система формирования общего балла

Модуль «Алгебра»
Максимальное количество баллов за одно задание			Максимальное количество баллов
Часть 1	Часть 2		За часть 1				За часть 2			За модуль в целом
№ 1–7	№17–19
1	2		7				6			13
Модуль «Геометрия»
Максимальное количество баллов за одно задание				Максимальное количество баллов
Часть 1	Часть 2			За часть 1		За часть 2					За модуль в целом
№ 8–10	№ 20–21
1	2			3		4					7
Модуль «Вероятность и статистика»
Максимальное количество баллов за одно задание					Максимальное количество баллов
Часть 1	Часть 2				За часть 1			За часть 2	За модуль в целом
№ 11–12	№ 22
1	2				2			2	4
Модуль «Реальная математика»
Максимальное количество баллов за одно задание Часть 1,   № 13–16		Максимальное количество баллов за модуль в целом
1		4

Задания, оцениваемые 2 баллами, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то учащемуся засчитывается на 1 балл меньше указанного.

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 25.12.2013 № 1394 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 № 31206)

«48. Экзаменационные работы проверяются двумя экспертами. По результатам проверки эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы... В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Третий эксперт назначается председателем предметной комиссии из числа экспертов, ранее не проверявших экзаменационную работу.

Третьему эксперту предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу обучающегося. Баллы, выставленные третьим экспертом, являются окончательными».

3.        Работа направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 балла.

В этом случае третий эксперт проверяет только то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

4.        Работа участника ОГЭ направляется на третью проверку при наличии расхождений в двух и более заданиях.

В этом случае третий эксперт перепроверяет задания 17–22 с развёрнутым ответом.

Об освоении выпускником Федерального государственного образовательного стандарта в предметной области «Математика» свидетельствует преодоление им минимального порогового результата выполнения экзаменационной работы. Устанавливается следующий рекомендуемый минимальный критерий: 8 баллов, набранные по всей работе.

6. Продолжительность ОГЭ по математике

На выполнение экзаменационной работы отводится 235 минут.

7. Дополнительные материалы и оборудование

Учащимся разрешается использовать справочные материалы, содержащие основные формулы курса математики, выдаваемые вместе с работой. Разрешается использовать линейку. Калькуляторы на экзамене не используются.

8. Условия проведения экзамена (требования к специалистам)

На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по математике. Использование единой инструкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение единых условий без привлечения лиц со специальным образованием по данному предмету.

Обучающимся в начале экзамена выдаётся полный текст работы. Ответы на задания части 1 могут фиксироваться непосредственно в тексте работы, а затем в случае использования бланковой технологии ответы должны быть перенесены в бланк ответов № 1. Задания частей 2 выполняются с записью решения и полученного ответа на отдельных листах или на бланках ответов № 2. Формулировки заданий не переписываются, достаточно указать номер задания.

Все необходимые вычисления, преобразования и чертежи обучающиеся могут производить в черновике. Черновики не проверяются.

Проверку экзаменационных работ осуществляют специалисты по математике – члены независимых региональных или муниципальных экзаменационных комиссий по математике.

9. Рекомендации по подготовке к экзамену

Для подготовки к экзамену рекомендуется использовать учебные методические комплексы, рекомендованные Министерством образования и науки РФ для обучения в соответствии с ФГОС ООО, а также открытый банк заданий, размещенный на сайте ФИПИ www.fipi.ru.

Приложение

Обобщенный план варианта перспективной модели КИМ

для ОГЭ выпускников IX классов  по МАТЕМАТИКЕ

№ задания	Основные проверяемые требования к математической подготовке	Коды разделов элементов содержания	Коды разделов ПРО	Уровень сложности	Максимальный балл за выполнение задания
Часть 1
Модуль «Алгебра»
1	Числа и выражения	2	2	Б	1
2	Числа и выражения	2	2	Б	1
3	Тождественные преобразования	4	4	Б	1
4	Уравнения и неравенства	3	3	Б	1
5	Функции	5	5	Б	1
6	Функции	5	5	Б	1
7	Тождественные преобразования	4	4	Б	1
Модуль «Геометрия»
8	Геометрия	8	8	Б	1
9	Геометрия	8	8	Б	1
10	Геометрия	8	8	Б	1
Модуль «Вероятность и статистика»
11	Статистика и теория вероятностей	6.1	6.1	Б	1
12	Статистика и теория вероятностей	6.4	6.3	Б	1
Модуль «Реальная математика»
13	Текстовые задачи	7	7	Б	1
14	Текстовые задачи	7	7	Б	1
15	Числа и выражения	2	2	Б	1
16	Элементы теории множеств и логики	1	1	Б	1
Часть 2
17	Уравнения и неравенства, тождественные преобразования	3, 4	3, 4	П	2
18	Уравнения и неравенства, текстовые задачи	3, 7	3, 7	П	2
19	Тождественные преобразования, функции	4, 5	4, 5	В	2
20	Элементы теории множеств и логики, геометрия	1, 8	1, 8	П	2
21	Геометрия	8	8	В	2
22	Статистика и теория вероятностей	6	6	П	2

Проект экзаменационной модели для проведения

основного государственного экзамена по математике

Демонстрационный вариант по математике

Информация об экзаменационной работе

Общее время экзамена – 235 минут.

Характеристика работы. Всего в работе 22 задания, из которых 16 заданий базового уровня (часть 1), 4 задания повышенного уровня (часть 2) и 2 задания высокого уровня сложности (часть 2). Работа состоит из четырёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика», «Реальная математика».

Модуль «Алгебра» содержит 10 заданий: в части 1 — семь заданий;
в части 2 — три задания. Модуль «Геометрия» содержит пять заданий:
в части 1 — три задания; в части 2 — два задания. Модуль «Вероятность и статистика» содержит три задания: в части 1 — два задания; в части 2 — одно задание .Модуль «Реальная математика» содержит четыре заданий: все задания этого модуля — в части 1.

Советы и указания по выполнению работы. Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте
в черновике. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

Ответы к заданиям 2 и 13 записываются в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Эту цифру запишите в поле ответа в тексте работы.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Оценивание работы. Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 8 баллов. За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. Каждое правильно выполненное задание части 2 оценивается в 2 балла.                                              

Желаем успеха!

Часть 1

Модуль «Алгебра»

1

Найдите значение выражения .

Ответ: ___________________________.

2

На координатной прямой отмечено число .

Какое утверждение относительно этого числа является верным?

1)

2)

3)

4)

Ответ:

3

Найдите значение выражения .

Ответ: ___________________________.

4

Решите уравнение .

Ответ: ___________________________.

5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)		Б)		В)

ФОРМУЛЫ

1)

2)

3)

В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая его задаёт.

Ответ:	А	Б	В

6

Дана геометрическая прогрессия: 1, , 4, … Найдите сумму первых её 7 членов.

Ответ: ___________________________.

7

Найдите значение выражения  при , .

Ответ: ___________________________.

Модуль «Геометрия»

8

В треугольнике  известны стороны: , , . Точка  — середина , а точка  — середина . Найдите длину отрезка .

Ответ: ___________________________.

9

В треугольнике  угол  равен , угол  равен ,  — биссектриса,  — такая точка на , что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________.

10

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Ответ: ___________________________.

Модуль «Вероятность и статистика»

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1999 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: ___________________________.

На тарелке 30 пирожков: 4 с мясом, 14 с капустой и 12 с вишней. Катя наугад берёт один из пирожков. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

12

11

Модуль «Реальная математика»

13

В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9-х  классов.

	Мальчики			Девочки
Отметка	«отл.»	«хор.»	«удовл.»	«отл.»	«хор.»	«удовл.»
Время, секунды	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию за 5,36 секунды?

1)	отлично	2)	хорошо
3)	удовлетворительно	4)	норматив не выполнен

Ответ:

16

14

Товар на распродаже уценили на 25%, при этом он стал стоить 900 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Ответ: ___________________________.

15

Период колебания математического маятника  (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где  — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Ответ: ___________________________.

Некоторые из сотрудников фирмы отдыхали в Крыму, а те, кто не отдыхал в Крыму, отдыхали в Сочи. При этом среди сотрудников этой фирмы есть те, кто не отдыхал в Крыму. Какие из следующих утверждений верны.

1) Найдётся сотрудник фирмы, который не отдыхал летом ни в Крыму, ни в Сочи.

2) Если Мария Алексеевна не отдыхала летом ни в Крыму, ни в Сочи, то она не является сотрудником этой фирмы.

3) Среди сотрудников фирмы найдётся отдыхавший в Сочи, но не в Крыму.

4) Каждый из сотрудников фирмы отдыхал или в Крыму, или в Сочи.

Ответ: ___________________________.

Часть 2

При выполнении заданий 17–22 используйте отдельный лист. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.

17

Решите систему неравенств

18

Расстояние между городами А и В равно 140 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

19

Постройте график функции  и определите, при каких значениях  прямая  имеет с графиком ровно одну общую точку.

20

Окружность, проходящая через вершины  и  треугольника , пересекает стороны  и  в точках  и  соответственно, отличных от  и . Докажите, что треугольники  и  подобны.

21

Углы при одном из оснований трапеции равны  и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции.

22

Спортсмен стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . На каждую мишень спортсмен имеет две попытки.

а) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт в первую мишень.

б) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт ровно в четыре мишени.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

За правильный ответ на задания 1–16 ставится 1 балл.

Ответы к заданиям части 1

Номер задания	Правильный ответ
1	10,875
2	3
3	13
4	-3; 2
5	132
6	43
7	-0,55
8	6
9	33
10	13,5
11	28
12	0,4
13	2
14	1200
15	2,25
16	234

Решения и критерии оценивания заданий части 2

17

Решите систему неравенств

Решение.

Решим первое неравенство системы:

; ,

откуда  или .

Решим второе неравенство системы:

; .

Значит, решения системы неравенств это  и .

Ответ: ; .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
2	Максимальный балл

18

Расстояние между городами А и В равно 140 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение.

Пусть искомое расстояние равно  км, а скорость автомобиля равна  км/ч. Получаем систему уравнений

  

откуда . Получаем

  

Таким образом,  или . Условию задачи удовлетворяет только  (км).

Ответ: 100 км.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно составлена система уравнений, получен верный ответ
1	Правильно составлена система уравнений, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

19

Постройте график функции  и определите, при каких значениях  прямая  имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

При  функция принимает вид:

,

её график — парабола, из которой выколота точка .

Прямая  имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда касается параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Прямая  касается параболы тогда и только тогда, когда уравнение  имеет единственный корень, то есть при , .

Поэтому ,  или .

Ответ: ,  или .

Баллы	Критерии оценивания выполнения задания
2	График построен правильно, верно указаны все значения , при которых прямая  имеет с графиком только одну общую точку
1	График построен правильно, указаны не все верные значения
0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
2	Максимальный балл

20

Окружность, проходящая через вершины  и  треугольника , пересекает стороны  и  в точках  и  соответственно, отличных от  и . Докажите, что треугольники  и  подобны.

Доказательство.

Четырёхугольник  вписан в окружность, поэтому

Значит, треугольники  и  подобны по трём углам.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Доказательство верное, все шаги обоснованы
1	Доказательство в целом верное, но содержит неточности
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

21

Углы при одном из оснований трапеции равны  и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции.

Решение.

Пусть  — трапеция с основаниями  и ,  . Обозначим точку пересечения прямых  и  через , а середины оснований  и  через  и  соответственно. Тогда . Треугольники  и  прямоугольные, поэтому

то есть точки ,  и  лежат на одной прямой. Значит,

Кроме того, средняя линия трапеции равна . Значит,

 

откуда , .

Ответ: 9 и 33.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1	Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

22

Спортсмен стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . На каждую мишень спортсмен имеет две попытки.

а) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт в первую мишень.

б) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт ровно в четыре мишени.

Решение.

а) Спортсмен не попадёт в первую мишень, если обе его попытки будут неудачными. Вероятность этого равна . Значит, вероятность того, что он попадёт в первую мишень, равна .

б) Вероятность попадания в каждую мишеней равна . Число способов выбрать четыре мишени из пяти равно 5. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: а) ; б) .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
1	Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)
0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
2	Максимальный балл

---

[1] Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований.