Окружность и эквидистанты для одного неевклидова расстояния

Итоги и выводы

•        Выделен набор преобразований квадратных трехчленов с целым дискриминантом, не меняющих дискриминант. Относительно этих преобразований все квадратные трехчлены с фиксированным дискриминантом разбиваются на классы.

•        Предложен метод минимальных корней, позволяющий выяснять, принадлежат ли данные трехчлены с одинаковым положительным дискриминантом одному классу, если дискриминант не является полным квадратом.

•        С помощью предложенного метода проведена полная классификация квадратных трехчленов для всех положительных дискриминантов от 1 до 99, не являющихся полными квадратами.

•        Выяснилось, что структура классов весьма сложна (не имеет простого описания) и может являться предметом отдельных исследований.

Сопоставление некоторых

аксиоматических систем современной математики.

«Спорные» аксиомы

Цель работы:

Выявить проблемы спорных аксиом на примере аксиомы о параллельных, аксиомы выбора, закона исключенного третьего, континуумгипотезы и аксиомы сводимости.

•        Рассмотреть данные аксиомы;

•        Выявить характерные черты, общие для этих аксиом и выделяющие их среди других аксиом математики;

•        Проанализировать направления математики, возникающие в результате их принятия и непринятия;

•        Рассмотреть, как эти направления взаимодействуют между собой, каким из них и почему отдается предпочтение.

Аксиома о параллельных (V постулат Евклида)

Если при пересечении двух прямых [лежащих в одной плоскости] третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.

Постулат Плейфера

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Аксиома выбора

Если имеется любой набор (конечный или бесконечный) множеств, то всегда можно, выбрав из каждого множества по одному элементу, составить из этих элементов новое множество.

Континуум-гипотеза

Не существует множества, мощность которого была бы больше мощности счетного множества, но меньше континуума.

Закон исключенного третьего

Любое утверждение является либо истинным, либо ложным.

Аксиома сводимости

Любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа (к типу 0 относятся индивидуумы, к типу 1 относятся утверждения о свойствах индивидуумов, к типу 2 – утверждения о свойствах свойств индивидуумов и т.д.).

Выводы:

•        Все рассмотренные нами аксиомы так или иначе связаны с понятиями бесконечности и существования математических объектов;

•        Спорные аксиомы независимы от других аксиом формальной системы, в которую они входят, поэтому создание формальной системы возможно при принятии как самой аксиомы, так и ее отрицания;

•        Формальные системы, отличающиеся только спорной аксиомой, по-разному соотносятся с реальностью: либо обе системы одинаково подходят для описания реальности или других областей математики, либо одна из систем оказывается предпочтительнее;

•        Система оказывается предпочтительнее либо из-за математической простоты, либо из-за полноты описания реальности или других областей математики.

Оценка количества q-кратных n-ок

Представление числа в виде цепной дроби над множеством целых чисел