Олимпиада по математике. Геометрические задачи, ч. 1. 5-6 класс.

Олимпиады по математике. 5-6 класс. Геометрические задачи. Часть 1

Часть 1. Самые простые задачи.

Многие из них можно предложить и ученикам начальной школы, которые увлекаются математикой.

Задача 1.

 В какой из изображённых в ответах фигур закрашена ровно половина площади?

Варианты ответа:

А:  ; Б:  ; В: ; Г:

Решение

 Легко видеть, что ровно половина площади закрашена в ответе Б. В ответе А закрашена одна третья часть. В ответе Б - одна вторая, в ответе В - три четверти, в ответе Г - одна четверть.

Правильный ответ: Б

Задача 2

 Разрежьте квадрат на 2 неравные части и сложите из них треугольник .

Решение:

Отрезать от квадрата треугольник, одна из сторон которого равна стороне квадрата, а другая-половине стороны квадрата. Из полученных треугольника и трапеции сложить треугольник.

Задача 3.

 Миша разрисовал 9 квадратиков белым, серым и чёрным цветами так, как показано на рисунке. Какое наименьшее количество квадратиков надо перекрасить, чтобы никакие два квадратика, у которых общая сторона, не были одного цвета?

Решение

 В правом верхнем углу есть 2 смежных серых квадратика. Чтобы выполнялось требование задачи, нужно перекрасить правый верхний квадратик в чёрный цвет, а в группе трёх чёрных квадратиков нужно нижний левый перекрасить в серый цвет. Итого 2 квадратика .

Задача 4

Квадрат со стороной 5 см разрезали на 25 равных квадратов. Составьте из них 2 квадрата.

Решение:

Один квадрат можно составить из 9 квадратов, а другой из 16.

Задача 5. Зелёная линия .

 На рисунке изображена часть клетчатой доски. Площадь каждой клетки на ней равна 4 см2. Чему равна длина толстой зеленой линии?

Решение

 Если площадь квадрата равна 4 см2, то его сторона равна 2 см (так как 2х2 = 4). Внимательно подсчитаем, через сколько сторон квадратиков пройдёт зелёная линия. Она проходит через 9 сторон. Значит, её длина равна 9х2 = 18 см.

Задача 6

Можно ли шахматную доску разрезать на равные фигуры, состоящие из трех клеточек, образующих «уголок»?

Решение:

Нельзя.

Шахматная доска состоит из 64 клеток. 64:3=21 ( ост 1). Одна клетка лишняя.

Задача 7.

Летела стая гусей. Впереди вожак, затем 2 гуся, затем 3 гуся и т. д. ( Построение стаи напоминало треугольник). Вечером гуси остьановились на ночлегш. Их расположение напоминало квадрат. В каждом ряду одинаковое количество гусей, причем число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше 50. Сколько гусей в стае?

Ответ:

36 гусей.

Использованы задачи из различных сборников олимпиадных заданий:

Евдокимов М.А. От задачек к задачам. М.: МЦНМО, 2004

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.: «Наука», 1987

Русанов В. Н. Математические олимпиады младших школьников.

Материалы международного конкурса «КЕНГУРУ»