Олимпиада по математике 8 и 9 класс

Решите уравнение :      x2 + 2005x – 2006 = 0.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.  Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.

 Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.

 Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,

 т.е. это число оканчивается на 20.

 Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.

 Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20.

 Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.

 Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую.

 За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Решить уравнение   ( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12

Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?