Олимпиада по математике (10 класс)

Олимпиада по математике

10 класс

Общее максимальное количество баллов - 35 (по 7 б. за каждое задание).

Задание №1. Продолжите ряд:

2;5;9;16;27;45;74;121;197;...

Решение. Каждое следующее число получается, как сумма двух предыдущих, увеличенная на 2.

2+5+2=9

5+9+2=16

9+16+2=27

…

121+197+2=320

197+320+2=519…

Ответ: 2;5;9;16;27;45;74;121;197; 320; 519...

К-во баллов	Правильность (ошибочность решения)
7	Полное верное решение
4	Верно найдено свойство ряда, но допущена вычислительная ошибка и ряд продолжен верно.
2	Использовался метод подбора.
0	Неверное решение( или нет решения)

Задание №2. Найти p,если известно, что при всех действительных значениях x

(a+bx+c)+(b+ax-7)+(p+cx+3)=-2x-5.

Решение. a+bx+c+b+ax-7+p+cx+3=-2x-5

(a+b+p)+x(b+a+c)+(c-7+3)=-2x-5

a+b+p=1

b+a+c=-2

c-7+3=-5

c=-1

b+a-1=-2

a+b=-1

p=2.

Ответ: p=2.

К-во баллов	Правильность (ошибочность решения)
7	Полное верное решение
6	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ  Полное верное решение, но не записан ответ
4	Верно раскрыты скобки и сгруппированы подобные слагаемые
2	Верно раскрыты скобки, но подобные слагаемые сгруппированы не верно.
0	Неверное решение( или нет решения)

Задание №3. Пусть окружность Г описана вокруг треугольника  АВС, прямая l касается Г в точке А. На стороне АВ взята точка D, на стороне АС – точка Е так, что AD = 6, АЕ = 5, ЕС=7 и прямая l параллельна DЕ. Найти BD.

Решение.  <FAC = 0,5 дуги АС = <ABC; <FAC = <AED как

внутренние накрест лежащие при параллельных

l  и DE. Поэтому <AED = <ABC. Аналогично

<ADE = <ACB. Поэтому треугольники ADE и ABC подобны.

Следовательно,  =  . Т.е

 = .  Поэтому BD = 4.                                                    l                 А                       F

 

Ответ: BD = 4.

 

                                                                                       B

К-во баллов	Правильность (ошибочность решения)
7	Полное верное решение
6	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ  Полное верное решение, но не записан ответ
5	Ход решения венный, но при составлении пропорции допущена  ошибка и получен неверный ответ. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений
3	Использовано свойство вписанного угла, но подобие не доказано.
0	Неверное решение (или нет решения)

                                                                                                                   C

Задание №4. Найти значение f(2), если для любого x≠0 выполняется равенство

f (x)+3f  )=

Решение. f(2) +3f  )= 4.Аналогично для любого x≠0

f () +3f(2)=, т.к. f )+3f(x)=

3f () +9f(2)= и f(x)= -

8f(2)= – 4= -; f(2)= -   Ответ: f(2)= -  

К-во баллов	Правильность (ошибочность решения)
7	Полное верное решение
6	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ  Полное верное решение, но не записан ответ
4	Верно выполнена подстановка аргумента, но допущена вычислительная ошибка.
2	При подстановке аргумента допущена ошибка, но дальнейший ход решения верный.
0	Неверное решение( или нет решения)

Задание №5. Вдоль улицы расположено 100 фонарей с переключателями. Их обслуживают 100 гномов. Вечером, с наступлением темноты ( когда все фонари выключены), гномы идут друг за другом и нажимают кнопки переключателей: первый- все кнопки подряд, второй- каждую вторую кнопку, третий – каждую третью и т.д., наконец, сотый гном нажимает только сотую кнопку. Указать номера фонарей, которые оказываются в конце концов выключенными.

Решение. Фонарь с номером m будет переключаться столько раз, сколько у числа делителей. Если d- делитель m, то m/d- тоже делитель. Итак, все делители m распадаются на пары d1  и d2 такие, что d1*d2=m. Нечетное число делителей  будет у чисел m, обладающих делителем d таким, что m/d=d, что означает m=d^2. Будут включены фонари с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Ответ: фонари с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

К-во баллов	Правильность (ошибочность решения)
7	Полное верное решение
6	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ  Полное верное решение, но не записан ответ
5	Получено верное решение способом перебора.
4	Использовалось свойство деления, но получен неверный ответ
0	Неверное решение (или нет решения)