Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Олимпиада по математике 5-11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиада по математике 5-11 класс

библиотека
материалов

РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОГО ЭТАПА ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

В 2015/2016 УЧЕБНОМ ГОДУ.



ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ШКОЛЬНОГО ЭТАПА ПО МАТЕМАТИКЕ

Одной из важнейших задач Олимпиады на начальных этапах является развитие интереса у обучающихся к математике, создание мотивации к систематическим занятиям математикой на кружках и факультативах. Свойственные подростковому периоду стремление к состязательности, к достижению успеха, делают олимпиады привлекательными соревнованиями, где в честной и объективной борьбе обучающийся может раскрыть свой интеллектуальный потенциал. Кроме того, привлекательными являются условия нестандартных задач, предлагаемых на олимпиадах, заметно отличающиеся от обязательных при изучении школьного материала заданий, направленных на отработку выполнения стандартных алгоритмов (например, решения квадратных уравнений). Наконец, первые олимпиадные успехи важны для самооценки учащегося, а также изменения отношения к нему учителей, возможно недооценивавших его способности. Нередки случаи, когда способный и даже талантливый обучающийся не успевает за отведенное на уроке время выполнить все задания из контрольной работы по изучаемой теме. Необходимость решения сформулированных выше задач формирует подход к порядку проведения и характеру заданий на школьном этапе Олимпиады.

В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся (далее –

Участник), в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету. Олимпиада должна проводиться в удобное для Участников время. Число мест в классах (кабинетах) должно обеспечивать самостоятельное выполнение заданий олимпиады каждым Участником. Продолжительность олимпиады должна учитывать возрастные особенности Участников, а также трудность предлагаемых заданий. Рекомендуемое время проведения олимпиады:

для 5-6-х классов – 2 урока, для 7-8-х классов – 3 урока, для 9-11-х классов –3-4 урока.

После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ Участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри школьной олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается

обоснованным. (Комментарий: школьный этап олимпиады традиционно проходит в доброжелательной обстановке, и на данном этапе нет необходимости применять обязательную при проведении последующих этапов процедуру подачи письменной апелляции).

По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели.

Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов в своей параллели, признаются победителями школьного этапа Олимпиады. Количество призеров школьного этапа Олимпиады определяется, исходя из квоты победителей и призеров, установленной организатором муниципального этапа Олимпиады. Призерами школьного этапа Олимпиады в пределах установленной квоты победителей и призеров признаются все участники школьного этапа Олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями.



ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНИЙ

Приведенные типовые задания школьного этапа олимпиады не могут в одинаковой степени подходить для всех школ района, так как не могут учитывать разницу в уровне развития в них олимпиадного движения, наличия развитой системы математических кружков, наличие в школе сильных математических классов и т.п.. Педагогам при разработке заданий Олимпиады школьного этапа следует учитывать специфику классов своего образовательного учреждения.

Задания школьного этапа олимпиады должны удовлетворять следующим

требованиям:

1. Задания не должны носить характер контрольной работы по различным разделам школьной математики. Недопустимо составление заданий на основе стандартного материала, изучаемого на уроках.

2. Задания не могут включать задачи, требующие знаний, выходящих за рамки программы основной школы по математике, изученных на момент проведения Олимпиады по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии (олимпиада не должна быть соревнованием на эрудицию и знание разделов математики, выходящих за рамки школьной программы).

3. Задания олимпиады должны быть различной сложности для того, чтобы, с одной стороны, предоставить практически каждому ее участнику возможность выполнить наиболее простые из них, с другой стороны, достичь одной из основных целей олимпиады – определения наиболее способных Участников. Наиболее удачным является комплект заданий, при котором с первым заданием успешно справляются не менее 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим –20%-30%, а с последними –лучшие из участников олимпиады.

4. В задания должны включаться задачи, имеющие привлекательную, запоминающуюся форму, формулировки должны быть четкими и понятными.

5. Вариант по каждому классу должен включать в себя 4-6 задач. Тематика заданий должна быть разнообразной, по возможности охватывающей все разделы школьной математики: арифметику, алгебру, геометрию. Варианты также должны включать в себя задачи на четность (в среднем звене школы), комбинаторику. Так в варианты для 5-6 классов рекомендуется включать задачи по арифметике, логические задачи, задачи по наглядной геометрии, задачи, использующие понятие четности; в 7-8 классах добавляются задачи, использующие преобразования алгебраических выражений, задачи на делимость, геометрические задачи на доказательство; в 9-11 последовательно добавляются задачи на свойства линейных и квадратичных функций, задачи по теории чисел, неравенства, задачи по тригонометрии, стереометрии, математическому анализу.

6. Задания олимпиады не должны составляться на основе одного источника

(литература, Интернет), с целью уменьшения риска знакомства одного или нескольких ее участников со всеми задачами, включенными в вариант. Желательно использование источников, малодоступных для участников Олимпиады, либо включение в варианты новых задач.

7. Включение в задания для учащихся 5-6 классов, впервые участвующих в олимпиадах, задач, не требующих сложных математических рассуждений, либо использование одной такой задачи на последней позиции. Способному школьнику, не имевшему опыта участия в олимпиадах по математике, значительно проще построить, пусть даже достаточной сложный, пример математического объекта (числа, удовлетворяющего каким-то свойствам, разрезания фигуры на определенные части и т.п.), чем доказывать оптимальность по некоторым параметрам построенного примера.



ПРОВЕРКА ОЛИМПИАДНЫХ РАБОТ

Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах 7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от начального уровня до Международной математической олимпиады. Для единообразия проверки работ Участников предлагаются критерии оценивания работ, приведенные в таблице.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

7

Полное верное решение.

6 – 7

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

5 – 6

Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4

Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2 – 3


Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0

Решение отсутствует.

Замечание:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.



Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

5 класс

  1. Когда Незнайку попросили придумать задачу для математической олимпиады в Солнечном городе, он написал ребус (см. рисунок). Можно ли его решить? (Разным буквам должны соответствовать разные цифры.)

show_document.php?id=1433995

  1. Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек, расположенных в вершинах квадратной сетки 4 на 4?

  2. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда говорит неправду. Как-то его три ноябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Борис», на третий: «Виктор». Как зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.

  3. Гусеница ползет по столбу 5 минут вверх, затем 2 минуты вниз, потом опять 5 минут вверх и 2 минуты вниз и т.д. Скорость гусеницы всегда постоянна и равна 10 см в минуту. За какое время гусеница поднимется на 120 см?

  4. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон — на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону?









Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

6 класс

  1. Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет № 123456?

  2. В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

  3. Из ящика с яблоками взяли половину всего количества яблок, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка, и, наконец, половину следующего остатка. После этого в ящике осталось 10 яблок. Сколько яблок было в ящике вначале?

  4. В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

  5. а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
    б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата. hello_html_m6525d696.png





Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

7 класс

  1. Расставьте в равенстве 2 2 2 2 = 5 5 5 5 5 знаки арифметических действий (без использования скобок) так, чтобы оно стало верным.

  2. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

  3. Решите уравнение:

1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x))))).

  1. В летний лагерь приехали отдыхать 3 друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из троих друзей.

  2. Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок). А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек,разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?



hello_html_m17d95cd9.png


Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

8 класс

  1. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль (разницу между покупкой товара и его продажей). Какова оптовая цена ручки?

  2. В треугольнике ABC угол A равен 40o, угол B равен 20o, а AB - BC = 4. Найдите длину биссектрисы угла C.

  3. Найдите сумму двух различных чисел a и b , удовлетворяющих равенству

а² + в = в² + а

  1. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?

  2. Снежная Королева предпочитает идеальные фигуры, поэтому она так любит квадраты. Она дала Каю крест (см. рисунок ), чтобы тот разделил его на равные части и собрал из них квадрат. Как это можно сделать?

hello_html_m11110c3c.png














Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

9 класс

  1. Найдите площадь квадрата, все вершины которого лежат на двух прямых:

x + y =0 и x+ y = 2 .

  1. На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

  2. На окружности с диаметром AB и центром O выбрана точка C так, что

биссектриса угла CAB перпендикулярна радиусу OC . В каком отношении

прямая CO делит угол ACB ?

  1. Найдите количество трехзначных чисел, в десятичной записи которых участвует ровно одна цифра 3.

  2. Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о

следующем. Петя задумывает двузначное число с разными цифрами

и сообщает его маме. После этого мама называет свое двузначное число

Пете. Петя прибавляет мамино число к своему числу, затем к полученной

сумме, затем к вновь полученной сумме и т.д. до тех пор, пока у него не

получится сумма, оканчивающаяся на две одинаковые цифры. Сможет ли

мама не позволить Пете в этот день поиграть в футбол?















Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

10 класс

  1. Натуральное число n умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа n.

  2. При каких значениях параметра a уравнения 2х + - 4=0 и 2х² + (а² -4) · х +а =0 будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

  3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC , если известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше площади треугольника ADC.

  4. В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. Перед началом турнира в нем решила принять участие еще одна команда, в результате чего количество встреч, необходимых для проведения турнира, увеличилось на 20%. Сколько команд участвовало в первенстве?

  5. Сумма нескольких целых чисел равна 100. Может ли сумма кубов этих чисел равняться 800?















Математическая олимпиада школьников

Школьный тур

11 класс



  1. Найдите количество четырехзначных чисел, у которых первая цифра в два раза больше последней.

  2. Рhello_html_m2e9c0176.png
    ешите систему уравнений:



  1. На велотреке одновременно уходят со старта 5 велосипедистов. Скорость первого равна 50 км/час, второго – 40 км/час, третьего – 30 км/час, четвертого – 20 км/час, пятого – 10 км/час. Первый велосипедист считает количество велосипедистов, которых он обогнал. Какого велосипедиста он посчитал 21-м?

  2. В треугольнике ABC проведена высота BD (точка D лежит на стороне AC). Оказалось, что, AB=2CD и CB=2AD. Найдите углы треугольника ABC.

  3. Три товарища играют друг с другом в настольный теннис по следующему правилу: проигравший отдыхает в следующей партии. Оказалось, что один из них сыграл 21 партию, другой – 10 партий. А сколько партий сыграл третий из них? (Объясните свой ответ).









Ответы и решения 5 класс

1. Ответ: одно из решений: 879 + 426 = 1305.

2hello_html_623a6592.png
.



3. Ответ. Борис.

В первый и третий день мальчик либо должен был сказать оба раза

правду, либо неправду, так как это дни одной четности. Но в эти дни он

дал разные ответы, значит – сказал неправду. Итак, он сказал правду во

второй день, значит, его зовут Борис.

4. Ответ. 24 минуты.

Каждые 7 минут гусеница поднимается на 5 ·10 - 2 ·10 =30 см, поэтому за 21 минуту она поднимется на 3 · 30= 90 см. После этого она вновь начинает ползти вверх и за 3 минуты поднимется на оставшиеся 30 см.

Комментарий. Ошибочным является ответ 28 минут, получаемый формальным

подсчетом: (120 см : 30 см) 7 мин, так как он дает второй момент времени, когда гусеница поднимется на высоту 120 см (точнее, в этот момент она спустится до

этого уровня).

5. Ответ: 503 таблетки

Решение: Пока звери не съели лекарство, заберём одну таблетку у носорога, две у бегемота и три у слона. Теперь у всех четверых поровну. Забрали мы 6 таблеток, то есть осталось их 2000 — по 500 у каждого. У слона забрали 3 таблетки, то есть Айболит прописал слону 503 таблетки.





Ответы и решения 6 класс

1. Да. Решение

1 + (2 + 3 + 4) . (5 + 6) = 100. Есть и другие решения.



2. Ответ: Синяя ручка, оранжевый карандаш, красный ластик.

Решение

В четвёртом пенале должны лежать предметы, которые уже встречаются в первых трех пеналах, но только по одному разу. Это синяя ручка, оранжевый карандаш и красный ластик.

3. Ответ. 160 яблок.

Когда из ящика забирается половина яблок, то в нем остается половина от того

количества, которое было перед этим. Значит, перед этим было вдвое больше яблок. Поэтому вначале в ящике было 10х2х2х2х2 = 160 яблок.

4. Ответ: 19 рыжиков и 11 груздей.

Так как среди любых 12 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 11. Так как среди любых 20 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 19. А так как всего в корзине 30 грибов, то груздей ровно 11, а рыжиков ровно 19.

5. Ответ:

аhello_html_147037.png
hello_html_m3bbf913c.png
) б)











Ответы и решения 7 класс

  1. Ответ:

Например, 2 × 2 – 2 : 2 = 5 – 5 : 5 – 5 : 5 или 22 : 22 = 55 : 5 – 5 – 5.

Или так 2 : 2 + 2 + 2 = 5 + 5 –5 + 5 – 5.

  1. Ответ: 1760 м.

Решение:

Суммарное расстояние, пройденное паромами к моменту первой встречи, равно ширине реки, а расстояние, пройденное к моменту второй встречи равно утроенной ширине реки. Следовательно, до второй встречи каждый из паромов прошел втрое большее расстояние, чем до первой встречи. Так как один из паромов до первой встречи прошёл 720 м, то до второй встречи он прошёл расстояние 720·3 = 2160 м. При этом он прошёл путь, равный ширине реки, и ещё 400 м. Следовательно, ширина реки равна
2160 − 400 = 1760 м.

  1. Ответ: х = 9

Упрощать уравнение необходимо «снаружи», а не изнутри.

  1. Ответ: Володя Семенов, Миша Иванов, Петя Герасимов.

Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, следовательно, Володя не Герасимов; отец Иванова – учитель, отец Володи – инженер, следовательно, Володя не Иванов. Значит, Володя Семенов, Миша Иванов, Петя Герасимов.

  1. Ответ: 320 спичек

Решение

Первый способ. Подсчитаем количество треугольников со стороной в одну спичку, у которых спичка в основании расположена горизонтально (см. рис.).

hello_html_m4db53b5e.png


Каждый такой треугольник является верхней половинкой маленького ромбика со стороной в одну спичку. В ромбе со стороной 10 таких ромбиков  10·10 = 100.
Так как никакие два из рассматриваемых треугольников не имеют общих спичек, то на них уйдёт 100·3 = 300 спичек. Если убрать все такие треугольники, то останутся только спички, составляющие две нижние стороны большого ромба. Их – 20, значит, всего потребуется
300 + 20 = 320 спичек.

Второй способ. Ромб со стороной в 10 спичек состоит из 100 маленьких ромбиков. На каждый из маленьких ромбиков уходит 5 спичек, поэтому на 100 ромбиков потребовалось бы 500 спичек, если бы некоторые из спичек не были границей двух ромбиков, а, значит, учтены дважды.
Найдем количество спичек, которые принадлежат только одному ромбику. Это – 40 спичек, образующих контур большого ромба, и 100 спичек, лежащих горизонтально. Следовательно, было 500 – 140 = 360 "двойных" спичек. Таким образом, потребуется 140 + 360 : 2 = 320 спичек.

Третий способ. Подсчитаем по отдельности спички, расположенные в каждом из трёх направлений. Параллельно двум сторонам ромба расположено ещё 9 отрезков, каждый из них (включая эти стороны), состоит из десяти спичек, итого: 110 спичек. Ещё 110 спичек лежат параллельно двум другим сторонам ромба. И ещё 100 спичек лежат горизонтально (это видно из предыдущих способов подсчёта, но можно сосчитать и непосредственно:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1).



Ответы и решения 8 класс.

1. Ответ: 5 руб.

Если x – оптовая цена ручки, то при продаже одной за 10 руб. продавец получает прибыль 10 – x (руб.). Продавая три ручки за 20 руб. он получает прибыль 20 – 3x (руб.). По условию 10 – x = 20 – 3x , откуда x = 5 (руб.)

2. Ответ: 4

Отложим на стороне AB отрезок BD, равный BC. Тогда треугольник BCD - равнобедренный с углом при вершине 20o, поэтому углы при основании равны 80o (см. рис.). Пусть CE - биссектриса треугольника ABC. Из условия следует, что show_document.php?id=1543207 ACE = 60o, поэтому show_document.php?id=1543207 AEC = 180o - (40o + 60o) = 80o. Таким образом, в треугольнике DEC равны два угла, поэтому он равнобедренный. Тогда угол при его вершине C равен 20o, поэтому show_document.php?id=1543207 ACD = 60o - 20o = 40o. Значит, треугольник ACD также равнобедренный, следовательно, CE = CD = AD = AB - BC = 4.



hello_html_m701b06da.png


3. Ответ: 1

Преобразуем данное равенство: a² b² - (a- b) = 0 или (a - b)(a+ b - 1)= 0 . По

условию данные числа различны. Поэтому первая скобка не равна нулю. Значит,

a +b - 1 =0 , откуда a+ b =1.

4. Ответ. На 19 м.

Из условия следует, что скорость ученика B составляет 0,9 от скорости ученика A , а скорость ученика C составляет 0,9 от скорости ученика B . Из этого следует, что скорость ученика C составляет 0,81 от скорости ученика A . Значит, когда A пробежит 100 м, ученик C пробежит 81 м.

5. Ответ. Пусть длина каждой стороны креста равна 1. Тогда необходимо так разрезать крест на части, чтобы из этих частей можно было собрать квадрат площади 5.
Соединим середины противоположных сторон, как на рисунке. Из четырех полученных фигур сложим искомый квадрат.



hello_html_7665de4b.png






Ответы и решения 9 класс

1. Ответ. 2.

Длина стороны этого квадрата – расстояние между прямыми x + y =0 и

x + y =2 , так как на каждой из прямых – по две вершины квадрата. А это расстояние равно расстоянию от начала координат до прямой x+ y = 2 , пересекающей оси координат на расстоянии 2 от начала координат. Значит, искомое расстояние – высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами длины 2, которая равна √2 .

2. Ответ. 1200 человек.

Пусть x – количество мужчин, y – количество женщин на этом острове. Из условия следует, что 2/3 х = 3/5 у, кроме того, х + у = 1900.

Решая эту систему, получаем: x = 900, y = 1000. Отсюда количество женатых мужчин равно 2/3 900= 600, а общее количество людей, состоящих в браке, равно 1200.

3. Ответ: 2 : 1

Биссектриса угла CAO является высотой треугольника CAO, поэтому

CA = AO. Но OA = OC – как радиусы, значит, треугольник CAO – равносторонний. Тогда угол ACO = 60º . Кроме того, в равнобедренном треугольнике OCB (OC = OB) угол COB = 120º , поэтому угол OCB = 30º (иначе это можно получить, воспользовавшись тем, что угол ACB – опирающийся на диаметр, равен 90º ).

4. Ответ. 225.

Если у трехзначного числа на первом месте стоит цифра 3, то две другие цифры – произвольные, отличные от 3. Значит, на втором месте может стоять любая из 9 других цифр, и на третьем – любая из 9 других цифр – всего 9х9 = 81 вариант. Если тройка стоит на втором месте, то на первом месте может стоять любая цифра, кроме 3 и 0, а на последнем – любая, кроме тройки. Всего получается 8х9 = 72 варианта. Столько же вариантов мы получим, если тройка будет стоять на последнем месте. Итого: 81 + 72 + 72 = 225 вариантов.

5. Ответ. Сможет.

Если Петя задумает число с двумя цифрами разной четности, то маме нужно назвать, например, число 20. Тогда четность каждой из двух последних цифр после каждого прибавления будет сохраняться, и эти цифры никогда не совпадут. Если же цифры Петиного числа будут одной четности, то маме достаточно назвать число 50. После каждых двух прибавлений последние две цифры будут повторяться, т.е. не будут совпадать, а после первого (третьего, пятого и т.д.) прибавления эти цифры будут иметь разную четность, т.е. тоже не совпадут.



Ответы и решения 10 класс.

1. Ответ. 125 и 1000.

Решение: Раскладывая 1000 в произведение двух множителей: 1000х1, 500х2, 250х4, 200х5, 125х8, 100х10, 50х20, 40х25 мы получаем два варианта ответа.

2. Ответ. а = 0 , x = 2 .

Если x – корень уравнения 2 х + а² - 4 =0 , то он также и корень уравнения х (2x+ a² - 4) = 0, то есть 2x² + (a² - 4)x = 0 . Кроме того, по условию, x – корень уравнения 2 x² + ( a² - 4)x + a= 0 . Значит x – корень уравнения (2x² + (a² -4)x+ a) – (2x²+ (a² – 4)x) = 0 , то есть a= 0 Осталось проверить, что при таких a оба уравнения имеют общий корень x = 2 .

3. Ответ. Угол CAB =60º , угол CBA = 30º .

Заметим, что треугольник CBD подобен треугольнику ACD (свойство высоты прямоугольного треугольника). Но в подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату отношения соответственных сторон. Поэтому отношение гипотенуз CB и CA этих треугольников равно √3 . Значит, tg CAB= 3 , откуда угол CAB = 60º .

4. Ответ. 12 команд после включения в турнир новой команды.

В турнире с участием n команд проводится n(n-1)/2 игр (каждая из n команд сыграла n -1 игру, и при этом каждая игра получилась сосчитанной дважды). Поэтому условие можно записать так:

(n+1)n/2 = 1,2 n(n-1)/2, откуда 5n(n + 1) = 6 (n-1)n,

т.е. 5n + 5 = 6n – 6, n = 11.

5. Ответ. Не может.

Разность n³ - n раскладывается в произведение (n - 1)n(n+ 1) трех последовательных целых чисел, среди которых хотя бы одно число делится на 3. Поэтому эта разность делится на 3. Значит и разность кубов чисел и самих чисел должна делиться на 3, а она равна 700.







Ответы и решения 11 класс.

1. Ответ. 400.

Всего возможно 4 пары из первой и последней цифр таких, что первая цифра в два раза больше последней: 2 и 1, 4 и 2, 6 и 3, 8 и 4. А цифры, расположенные между ними, могут образовывать любое двузначное число (от 00 до 99), то есть каждая такая пара из первой и последней цифр дает 100 вариантов. Всего получается 4·100 = 400 вариантов.

2. Ответ: x = 2/7; y = 2/5, z = 2/3

Решение

Введем новые обозначения:

Пhello_html_2ed1cd06.png
олучим:


hello_html_43d542f1.png
Складывая уравнения системы, получим 2(u +v+ t) = 15;

Теперь нетрудно получить u = 3,5; v = 2,5; t = 1,5,

тогда x = 2/7; y = 2/5, z = 2/3.

3. Ответ. Пятого велосипедиста.

Из условия следует, что первый велосипедист едет быстрее второго на 10 км/ч, третьего – на 20 км/ч, четвертого – на 30 км/ч, а пятого – на 40 км/ч. Это означает, что когда первый догонит второго, он в этот момент во второй раз догонит третьего, в третий раз – четвертого, в четвертый раз – пятого. Значит, в этот момент у него будет 1 + 2 + 3 + 4 = 10 обгонов. В момент, когда он во второй раз обгонит второго велосипедиста, у него получится 20 обгонов, и в этот момент все велосипедисты находятся рядом. Следующим будет обгон самого медленного – пятого велосипедиста.

4. Ответ. Все углы по 60º .

Пусть AD = x,CD =y , тогда, по условию, AB= 2y,CB =2x . По теореме Пифагора из треугольников ABD и CBD получаем: BD² = 4y² – x² = 4x² - y², откуда следует, что x= y. Тогда все стороны треугольника ABC равны 2x , значит, он – равносторонний.

5. Ответ. 11 партий.

Пусть первый сыграл со вторым A партий, первый с третьим – B партий, второй с третьим – C партий. Тогда. По условию, A+ B=21, A+ С=10.

Отсюда B – С = 11. Но тогда B 11, значит, A 21 - 11 =10 . Но A+ С=10, где C – неотрицательное число.

Значит, С=0, A=10, B=11. Поэтому третий сыграл B+ С=11 партий.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров13784
Номер материала ДВ-092443
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

4 месяца назад
круто
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх