Олимпиада по математике (10 класс). Школьный этап.

Школьный тур олимпиад по математике

10 класс

Составитель: Хлыбова Т.В., учитель математики МКОУ АГО «Заринская СОШ»

Задача 1.

Упростите   .  (2 балла)

Задача 2.                                                                                              

Дан кусок проволоки длиной 120см. Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы изготовить каркас куба с ребром 10см?       

3 балла

Задача 3.

Корни  и  уравнения  таковы, что . Найдите .                                               

3 балла

Задача 4.

Найдите множество значений функции  .      (4 балла)

Задача 5.

Расстояние между серединами сторон АВ и СD выпуклого четырехугольника АВСD равно расстоянию между серединами его диагоналей. Найдите угол, образуемый прямыми ВС и АD при их пересечении.  (4балла)

Решение

1.      

      Ответ:

2.       Т.к. у куба 12 ребер, а каждое ребро 10см, то проволоку придется ломать 11 раз.

Ответ: 11.

3.      

D

                            

                              р=1,     р=-1.

Ответ: р=-1, р=1.

4.       Знаменатель дроби – число положительное, значит график функции расположен выше

оси х.  Исследуя эскиз графика, множество значений функции

 

5.        

Обозначим за М, N, К, L середины отрезков АВ, СD, АС и ВD. В треугольнике АВС отрезок МК – средняя линия, поэтому МК параллельна ВС и МК=ВС. В треугольнике ВСD отрезок LN параллелен ВС и LN=ВС. Тогда МКLN – параллелограмм. Но так как КL=МN, то МКLN- прямоугольник. Тогда угол между прямыми ВС и АD равен углу между параллельными им прямым МК и МL, а КМL=, значит, и угол между прямыми ВС и АD есть прямой.