Олимпиада по математике 9 класс, школьный уровень

Олимпиадное задание

школьного этапа всероссийской олимпиады школьников

Ковдорского района в 2010-2011 учебном году

по предмету:  математика    

параллель:       9 класс

максимальное количество баллов за работу:  25

максимальное время выполнения задания:    2 часа

ответственный за разработку олимпиадного задания:

Гафиятулина Е.Ф.

Ковдорский район

2010 - 2011 учебный год

9 класс

1.      Сократите дробь: (6 баллов)

      

2.      Решите уравнение: (5 баллов)

3.      В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.

(5 баллов)

4.      На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин - замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке? (4 балла)

5.      В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

(5 баллов)

9 класс ответы

1.      Разложим числитель и знаменатель на множители:

Дробь сокращается на

= =

Ответ:    .

2.         Так как числа и  неотрицательны, а их сумма равна нулю, то оба эти числа равны нулю. С другой стороны, если оба эти числа равны нулю, то их сумма равна нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно следующей системе:

.

: х=-1

3.                  Пусть прямые AF и BC пересекаются в точке K, прямые BC и DE — в точке L, прямые AF и DE — в точке M.

Поскольку сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 180^o(6 - 2) = 720^o и все эти углы равны, то каждый из них равен 120^o. Тогда треугольники AKB, CLD, EMF и KLM — равносторонние.

Поэтому:

AK = KB = AB = 3, CL = LD = CD = 5, EM = MF = EF = 1,

 KM = ML = KL = KB + BC + CL = 3 + 4 + 5 = 12.

Тогда:

DE = ML - ME - DL = 12 - 1 - 5 = 6, AF = KM - AK - MF = 12 - 3 - 1 = 8.

Ответ: 6 и 8

4.                         Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его х. Тогда мужчин на острове  , женщин . Общее число жителей .

Состоящих в браке – 2х. Тогда искомая величина:  .

Ответ:

5.                         Вором не может быть Мартовский Заяц, потому что вор сказал правду, а Заяц, в этом случае, соврал. Вором не может быть Болванщик, потому что, в этом случае, Заяц сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор  — Соня.