Олимпиады по математике 5-11 классы

Составитель

Демакова И.П.

учитель математики

МБОУ «Лицей №1»

Зимние олимпийские игры по математике в 5-11 классах.

Цели и задачи проведения олимпийских игр.

Одной из важных целей проведения игр является развитие интереса учащихся к математике.

Для развития интереса учащихся к математике имеет значение  спортивный азарт. Особенно это характерно для учащихся младших классов.

Проведение олимпийских игр позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой.

Общие принципы подготовки и проведения зимних олимпийских игр.

Для успешного проведения игр необходимо выполнение следующих условий:

1)    Систематическое проведение внеклассной работы по математике;

2)    Обеспечение регулярности проведения олимпиад и соревнований по математике;

3)    Серьезная, содержательная и интересная подготовительная работа перед проведением зимних игр;

4)    Хорошая организация проведения олимпийских игр;

5)    Интересное математическое содержание.

При подборе заданий для проведения зимних олимпийских игр целесообразно придерживаться такого принципа, при котором из 5 задач, предлагаемых участникам игр, примерно 1-2 задачи должны быть посильны для большинства участников игр. Такие задачи вселяют уверенность в силы большинства участников игр, не  отпугивают их от занятий математикой, хотя и не дают права на получения призового места. 2-3 задачи даются повышенной трудности. Их может решить не более половины участников. И 4-5 задачи сложные. Эти задачи требуют очень хорошей математической подготовки, особой математической смекалки и твердых навыков в решении нестандартных задач. Такие задачи позволяют выявить наиболее способных, наиболее подготовленных по математике учащихся.

Зимние олимпийские игры для учащихся пятых классов.

Зимние олимпийские игры нужно организовывать так и подобрать такие задачи, чтобы математическая игра вызвала у детей интерес и желание еще участвовать в подобных мероприятиях. Поэтому задачи для пятого класса целесообразно подбирать по тематике более близкие к программному материалу, но в задачах должен быть и элемент занимательности, новизны, оригинальности.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских  игр в 5-х классах.

1.     Выполни действия:

А) (257368 + 2573) + (42632 – 1573);

Б) 354 * 73 + 23 * 25 + 354 * 27 + 17 *25.

2.     Найди пропущенные цифры и объясни, как ты рассуждал:

А)         *5*8                               Б)     63

         +  5*3*                                   Х  **

           *0209                                       **

                                                       +  **_      

                                                          ***

3.     Запиши все отрезки, изображенные на рисунке. Сколько получилось всего отрезков?

 

D

О

Е

С

А

4.     На одной чашке весов лежит 6 одинаковых пачек чая и гиря в 50 г, а на другой чашке весов лежит одна такая же пачка чая, гиря в 100 г и гиря в 200 г. Весы находятся в равновесии. Определи, сколько граммов весит одна пачка чая.

5.     По прямой дороге от города А до города М расположено последовательно 4 деревни:  Б, В, Г, Д. Расстояние от А до В равно 15 км, от А до Д – 50 км, от Г до Б – 20 км, от Г до М – 30 км, а от В до Г на 5 км меньше, чем от Г до Д. Найди расстояние между каждой парой населенных пунктов и расстояние от города А до города М.

Ответы:

1.     А) 301000, Б) 36400.

2.     А)        4578                               Б)     63

              + 5631                                   Х  11

               10209                                        63

                                                             +  63      

                                                               693

3.     Всего 13 отрезков.

4.     50 г.

5.     ВГ =15, ГД =20, БВ = 5, АБ = 10, МД = 10, АМ = 60.

Зимние олимпийские игры для учащихся шестых классов.

Шестиклассникам также как и пятиклассникам необходима помощь при подготовке к олимпиадным заданиям. Поэтому полезно на занятиях по подготовке к зимним играм решать задачи тренировочного характера. Решение задач желательно сочетать  с интересными рассказами о математике и математиках.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 6-х классах.

1.     От города А до города В поезд шел 16 ч. Обратный путь этот поезд прошел со скоростью на 20 км в  час большей и поэтому прошел весь путь на 4 ч быстрее. С какой скоростью шел поезд от А до В  и чему равно расстояние от А до В?

2.     Реши уравнение |2Х|*|-3,5| = |-28|.

3.     В лагерь приехали три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не Герасимов. Отец Володи инженер. Володя учится в 5 классе. Ребенок с фамилией Герасимов учится в 6 классе. Отец ребенка с фамилией Иванов – слесарь. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

4.     Запиши число 100 девятью различными цифрами, соединенными знаками действий.

5.     У фермера было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. У фермера спросили, сколько весит один поросенок и один ягненок. Фермер ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

Ответы:

1.     60 км/ч, АВ = 960 км.

2.     х = 4 или х = - 4.

3.     Петя Герасимов, Володя Семенов, Миша Иванов.

4.     1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9.

5.     Вес поросенка  - 4 кг, вес ягненка – 5 кг.

Зимние олимпийские игры для учащихся седьмых классов.

Олимпийские  игры в седьмых классов отличаются от олимпийских игр 5-6 классов в основном своим содержанием. В седьмых классах начинается систематическое изучение курсов алгебры и геометрии. Но за короткий период перед зимними олимпийскими играми, учащиеся еще незначительно продвинулись в этих дисциплинах. Поэтому при проведении игр в значительной степени надо опираться на знания, полученные учащимися в предшествующий период обучения.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 7-х классах.

1.     Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?                  

2.      При сложении четырех чисел из-за нечеткой записи их в первом числе в разряде сотен цифра 2 была принята за 5, во втором числе  в разряде тысяч цифра 3 принята за 8, в третьем числе  в разряде единиц цифра 9 принята за 2 и в четвертом числе  в разряде десятков цифра 7 принята за 4. В результате сложения получили 28 975. Найди ошибку результата и верную сумму.              

3.     Реши уравнение               

4.     Вычисли значение выражения   

5.     В приведенных примерах указаны действия с однозначными числами, обозначенными буквами. Причем одинаковыми буквами обозначены одинаковые числа, разными буквами – разные числа. Найди эти числа и запиши, как ты при этом рассуждал, если известно, что  

  .       

Ответы:

1.     160.

2.     28975 – 5263 = 23712.

3.     Х = 40

4.     3.

5.     а = 3, б = 9, в = 2, и = 4, г = 8, е = 1.

Зимние олимпийские игры для учащихся восьмых классов.

В восьмых классах учащиеся накопили достаточные знания по геометрии и поэтому в содержание олимпийских игр целесообразно включать и задачи с геометрическим содержанием. В восьмом классе у учащихся есть большие возможности для геометрического моделирования. Поэтому необходимо проводить активную работу с учащимися по изготовлению моделей по всем изучаемым вопросам курса геометрии.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 8-х классах.

1.     Реши уравнение

2.     Докажи, что для любого Q  верно неравенство

3.     Построй ромб, в котором высота равна 5 см, а одна из диагоналей равна 6 см.

4.     Что больше: 99²⁰ или 9999¹⁰? Объясни почему.

5.     В данном примере восстанови цифры, обозначенные звездочками:

*8*

 Х4*2

7**

+ 3**

    ****__

    *****0

и опиши, как ты при этом рассуждал.

Ответы:

1.     Х = 3.

2.     Преобразуем неравенство к виду .

3.     Строим две параллельные прямые на расстоянии 4 см друг от друга. На одной из этих прямых берем произвольную точку А и из нее как из центра проводим дугу радиуса 6 см до пересечения со второй прямой в точке С. Через середину отрезка АС проводим перпендикуляр к АС. Он пересекает прямые в точке В и D. ABCD – требуемый ромб.

4.     9999¹⁰=(99*101)¹⁰=99¹⁰*101¹⁰

99¹⁰*99¹⁰=99²⁰

     Отсюда следует, что 9999¹⁰ > 99²⁰.

5.     Первый множитель 385, второй 412 или первый 380, а второй 412.

Зимние олимпийские игры для учащихся девятых классов.

При подготовке к олимпийским играм в старших классах больше внимания уделяется тренировочным задачам. Содержание олимпиадных заданий определяется программным материалом курса математики 9 класса.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 9-х классах.

1.     Решите уравнение

|3x²  + 5x| = 2.

2.     Решите систему уравнений

3.     Какая фигура на плоскости является решением системы неравенств

Объясните почему.

4.     Докажите, что

(1 + b)(1 + b²)(1 + b⁴)(1 + b⁸)…..(1 +)=1 + b + b² + b³ + ….+, где b Q,  nN, n1.

5.     В 9 классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек – хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек изучают только немецкий язык. Одновременно два языка – английский и немецкий – изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Ответы:

1.    

2.     (3;2), (2;3).

3.     Строим окружность радиуса 4 и прямую у = х + 1. Решением первого неравенства будут точки построенного круга, а решением второго неравенства – точки построенной прямой и полуплоскости, расположенной выше этой прямой. Пересечение построенных множеств является решением системы.

4.     Левую часть неравенства умножить и поделить на 1 – b. В числителе в результате последовательного применения формулы разности квадратов двух чисел получим 1 - . Следовательно, левая часть равенства равна (1 -):(1- b). В правой части записана сумма геометрической прогрессии. Она равна (1 -):(1- b). Значит, равенство верно.

5.     15 человек – английский, 6 человек – французский, 19 человек – немецкий, 8 человек – английский и немецкий, 5 человек – немецкий и французский

Зимние олимпийские игры для учащихся 10-11 классов.

Учащиеся 10-11 классов в значительной своей массе относятся более серьезно к занятиям математикой, чаще задумываются о своей будущей профессии, о роли математики как в будущей своей учебе, так и в трудовой деятельности, о ее роли в вопросе обеспечения возможности выбора того или иного жизненного пути, особенно о роли математике при поступлении в высшие учебные заведения. Поэтому олимпийские игры в старших классах характеризуется более серьезным содержанием, повышенной трудностью задач. При определении содержания олимпиадных заданий обычно руководствуются материалом, изученным школьниками ко времени проведения олимпийских игр.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 10-х классах.

1.     С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

2.     Найдите предел .

3.     Вычислите сумму бесконечного числа слагаемых, если закон получения каждого последующего члена суммы один и тот же:

4.     Тело движется по закону . Какую скорость и какое ускорение оно будет иметь в момент времени t=1;  t=2?

5.     На ребрах куба ABCDA₁B₁C₁D₁ даны три точки: Е – на середине АВ, К – на середине ребра B₁C₁,  Р – на середине ребра DD₁. Через точки Е, К, Р проведите секущую плоскость и вычислите площадь получившегося сечения куба, если ребро куба равно а.

Ответы:

2. 0,775.

3. .

4. 43.

5. S =.

Примерные задания для проведения зимних олимпийских игр в 11-х классах.

1.   Решите уравнение

sin2x - (sinx - cosx) – 1 = cos2x.

2.   Определите, чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями  и у = 1,5х + 3.

3.   Докажите, что любая диагональ куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и рассматриваемая диагональ куба.

4.   Докажите тождество

.

5.   Докажите, что числовое выражение

(2 * 5⁷ – 5 * 2⁷)⁸³ – ((12 * 5⁷)⁸³ – (5 * 2⁷)⁸³) делится на 83.

Ответы:

1.      или

2.     .

6.     При разложении по формуле Ньютона первый член (2 * 5⁷)⁸³ и последний (5 * 2⁷)⁸³ уничтожатся с вычитанием. Так как 83 – простое число, то коэффициенты всех остальных членов разложения будут делиться на 83, а значит, и все выражение разделится на 83.