Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Олимпиадная работа по математике (8 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадная работа по математике (8 класс)

библиотека
материалов

hello_html_7b78ade4.gifОлимпиада по математике задания для 8 класса

Задача № 1 ( на 2 балла)

 В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Решение :

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 2( на 2балла)

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение :
Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.





Задача № 3 (на3 балла):

Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

http://www.5egena5.ru/images1/2.gif

Решение :
Пусть биссектрисы 
AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке (рис.2). Допустим, что http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifAIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

http://www.5egena5.ru/images1/3.gif

откуда

http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBAC http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBCA = 120°

и

http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifABC = 180°– http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBAC – http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBCA = 60°.

Но это еще не все решение: ведь может случиться, что http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifAIC = 60°. Однако тогда

http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifIAC + http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifICA = 120°,

откуда

http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBAC + http://www.5egena5.ru/images1/s8.gifBCA = 240°,

что невозможно



Задача № 4( на 4 балла)

Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Ответ : 5 .

Решение : 
Пусть 
http://www.5egena5.ru/images1/5.gif — такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но http://www.5egena5.ru/images1/6.gif Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число  делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.



.

Задача № 5 (на 5 баллов)

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :
По условию

3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,

откуда

м + с > 2в. (*)

По условию же

3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,

откуда

2с > м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.



Автор
Дата добавления 16.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров324
Номер материала ДВ-344209
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх