Олимпиадные задания и их решения по математике 10-11 класс.

Олимпиадные задания по математике 10-11 класс.

1.     При каких значениях параметра m уравнение

2.     Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.

3.     Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

4.     Постройте эскиз графика функции:.

5.     Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.

6.     М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

7.     В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Критерии оценивания.

10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы  и верны.

8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное  решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Решение.

Задача №1

При каких значениях параметра m уравнение

Решение.

ОДЗ: х

1-й случай. Если  3m-2=0, то m =  имеем m + 2 = +2 В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = данное уравнение решений не имеет, то есть m =

2-й случай. 3m-2 . Тогда х² = Так как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда  Решая это неравенство, получим -2m.

Так как в первом случае показано, что m = , также удовлетворяет условию задачи, то получим 

Ответ: m∈ [-2; ].

Задача №2.

AF

Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника.

Решение. прямой

<CAD = <DAB, CD = 4см, DB = 5см.

Катет СB = 4 + 5 = 9. Используя свойство

 биссектрисы угла треугольника:

 

 теореме Пифагора AC ² + CB² = AB^{2 ;}

B

C

D

AC² + 81 = AC² ;  16AC² + 16 81 = 25AC² ;

16 ∙ 81= 9 AC² ; AC =  = 12.

S_ABC =    AC  CB =  .

Ответ: 54см²

Задача №3

Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Решение.

Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а  с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому + и b = и решим систему уравнений: Она имеет единственное решение

a = ,  b = . Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.

Задача 4. Постройте эскиз графика функции:.


Решение.

Отсюда график:

Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.


Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит.
Если а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

.
С учетом первого случая получаем ответ .

Ответ

Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?


Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.

Задача №7

В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

C

Решение.

B

О – центр описанной окружности,

M

М – центр вписанной окружности,

D

D

АВ = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.              

Найдем площадь и периметр данного

O

 треугольника.  S_ABC =   ACBD;

A

 BD =  = 3 , S_ABC =   = 12

p = 1.

R =  =;

OM = OB + DM = R  BD + r =

Ответ: ; R = 4 OM = 2,5.