Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Тесты / Олимпиадные задания .10 класс. Оценивание с критериями.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадные задания .10 класс. Оценивание с критериями.

библиотека
материалов

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2011-12 учебного года

10 класс (c решениями)

Время решения – 4 часа


  1. Два натуральных числа в сумме составляют 2011, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа.

Ответ: 1829 и 182.

Решение. Обозначим второе число за hello_html_630118dd.gif. Тогда первое число имеет вид hello_html_mc1317c4.gif, гдеhello_html_m9d89231.gif цифра. Из условия задачи получаем, что hello_html_m616f705c.gif, а тогда hello_html_m33abcb4f.gif, откуда hello_html_m2e0536a3.gif.

Критерии. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.


  1. На плоскости отмечены четыре точки А, В, С и D. Известно, что АВ СD, BC AD. Доказать, что AC BD.

Решение. Легко видеть, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник, в котором точка D есть пересечение двух высот: CD и AD. Но тогда ВD – третья высота треугольника АВС, и она перпендикулярна стороне АС.

Критерии. Не доказано, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой – не более 5 баллов.


  1. Два графика hello_html_65a6405e.gif и hello_html_m29fb021b.gif имеют единственную общую точку. Чему равна абсцисса этой точки?

Ответ: 0 или 2. Решение. Из условия следует, что уравнение hello_html_48efe576.gif имеет единственное решение, которое нужно найти. Дискриминант этого уравнения равен hello_html_24620dcd.gif, а корни hello_html_269c3f00.gif. Поскольку согласно условию hello_html_m22ddb9d2.gif, имеем hello_html_m7d0b8586.gif или hello_html_185bd11d.gif, то есть hello_html_m2183b806.gif или hello_html_m5f997774.gif.

Критерии. Найден один ответ – 1 балл, оба ответа без обоснования, что других нет, – 3 балла.


  1. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешается либо умножить на 2 все числа строки, либо вычесть 1 из всех чисел столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы во всех клетках таблицы стояли нули.

Решение. Выберем произвольный столбец и будем вычитать из всех элементов столбца 1 до тех пор, пока наименьшее из чисел столбца не станет равным 1. Если не все числа столбца стали равными 1, то поступим так: умножим на 2 все строки, в которых стоят 1 выбранного столбца, и снова вычтем из всех элементов столбца 1. В результате все 1 останутся 1, а остальные числа уменьшатся на 1. Очевидно, что после нескольких таких операций все числа выбранного столбца станут равными 1. Теперь можно вычесть из всех элементов столбца 1, и он станет нулевым. Выберем другой столбец и теми же действиями добьемся, чтобы он стал нулевым. Заметим, что, работая со вторым столбцом, мы не изменим уже полученные нули в первом столбце. Последовательно делая нулевыми один столбец за другим, получим таблицу из одних нулей.

Критерии. Если показано, как получить нулевой столбец, то не менее 4 баллов.


  1. На пост мэра баллотировались три кандидата. Кандидат А заявил: «Я умнее Б». Кандидат Б заявил: «Я честнее В». Кандидат В заявил: «Я богаче А». Известно, что самый богатый солгал, самый умный сказал правду, а самый честный был третий. Кто из кандидатов был самый богатый?

Ответ: самый богатый Б. Решение. Кандидат В не может быть самым богатым, так как в противном случае он сказал правду, что противоречит условию. Допустим, самый богатый – А. Но тогда В солгал, значит согласно условию он не может быть самым умным, значит, самый умный – Б, самый честный – В. Но тогда Б сказал правду и он честнее В. Мы получили противоречие. Значит, самым богатым может быть только Б. Нетрудно убедиться, что такая ситуация возможна.

Критерии. Если найден ответ без обоснования или с неверным обоснованием – 1 балл. Если задача решается перебором, то следить за тем, чтобы были рассмотрены все варианты, в противном случае перебор решением не считать.

Автор
Дата добавления 30.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров199
Номер материала ДВ-567816
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх