Олимпиадные задания по математике

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 10 классов, 2014-2015 уч.г.

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х² – 2012 х = у² – 2012 у.

Найдите сумму х и у.

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции и определите, при каких значениях к прямая у = кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В₁ и С₁. Оказалось, что отрезок В₁С₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 10 классов, 2014-2015 уч.г.

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х² – 2012 х = у² – 2012 у.

Найдите сумму х и у.

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции и определите, при каких значениях к прямая у = кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В₁ и С₁. Оказалось, что отрезок В₁С₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 11 классов, 2014-2015 уч.г.

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777777 вместо 111111. Какие числа он складывал?

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции и определите, при каких значениях к прямая у = к х не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В₁ и С₁. Оказалось, что отрезок В₁С₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 11 классов, 2014-2015 уч.г.

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777777 вместо 111111. Какие числа он складывал?

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции и определите, при каких значениях к прямая у = к х не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В₁ и С₁. Оказалось, что отрезок В₁С₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 5 классов, 2014-2015 уч.г.

1. 1. Сколько всего трехзначных чисел?

1. 2. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом.)

1. 3. Разрежьте фигуру на 4 равные части.

2. 4. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из них насчитал еще 2 скамейки. Сколько насчитали остальные?

1. 5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Максимальное количество баллов за работу – 35.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 5 классов, 2014-2015 уч.г.

2. 1. Сколько всего трехзначных чисел?

2. 2. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом.)

3. 3. Разрежьте фигуру на 4 равные части.

4. 4. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из них насчитал еще 2 скамейки. Сколько насчитали остальные?

2. 5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Максимальное количество баллов за работу – 35.

1. Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

2. по математике для учащихся 6 классов, 2014-2015 уч.г.

3. 1. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом)

1. 2. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

1. 3. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 5x11 и 4x6. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник? (Найдите все возможные варианты.)

1. 5. Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

Максимальное количество баллов за работу – 35.

4. Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

5. по математике для учащихся 6 классов, 2014-2015 уч.г.

6. 1. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом)

2. 2. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

2. 3. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 5x11 и 4x6. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник? (Найдите все возможные варианты.)

2. 5. Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

Максимальное количество баллов за работу – 35.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 7 классов, 2014-2015 уч.г.

1. Решите уравнение: |2014-x| = 2015

2. Переложите одну из 7 спичек числа так, чтобы получилась дробь

3. Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?

4. Мальчики в классе составляют учащихся всего класса. их числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?

5. Соедините попарно фигуры, имеющие одинаковую нумерацию, произвольными непрерывными линиями таким образом, чтобы эти линии не пересекались друг с другом.

1

2

3

3

2

1

Максимальное количество баллов за работу – 20.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 7 классов, 2014-2015 уч.г.

1. Решите уравнение: |2014-x| = 2015

2. Переложите одну из 7 спичек числа так, чтобы получилась дробь

3. Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?

4. Мальчики в классе составляют учащихся всего класса. их числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?

5. Соедините попарно фигуры, имеющие одинаковую нумерацию, произвольными непрерывными линиями таким образом, чтобы эти линии не пересекались друг с другом.

1

2

3

3

2

1

Максимальное количество баллов за работу – 20.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2014-2015 уч.г.

1. Решите уравнение: | x -2014 |+ |2014-x| = 2015

2. Найдите значение выражения , если

3. Ваня дернул Маню за косичку. Маня стукнула Ваню по голове учебником, из которого выпал книжный блок. На первой странице его стоял номер 143, а номер последней страницы записан теми же цифрами, но в ином порядке, сколько страниц выпало из книги?

4. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

1

5 2

4 3

Максимальное количество баллов за работу – 24.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2014-2015 уч.г.

1. Решите уравнение: | x -2011 |+ |2011-x| = 2012

2. Найдите значение выражения , если

3. Ваня дернул Маню за косичку. Маня стукнула Ваню по голове учебником, из которого выпал книжный блок. На первой странице его стоял номер 143, а номер последней страницы записан теми же цифрами, но в ином порядке, сколько страниц выпало из книги?

4. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

1

5 2

4 3

Максимальное количество баллов за работу – 24.

Олимпиадные задания по математике для 9 класса

2014-2015 учебный год

1. Доказать равенство

.

2. Решить систему уравнений:

3. Вычислите

4. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год, и на сколько процентов?

5. В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную цепочку, состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена, а остальные должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно расплачиваться с хозяином?

6. Постройте график функции: .

7. В треугольнике АВС проведены высоты ВH и СК, а из точки К опущен перпендикуляр КМ на сторону АС. Известно, что АМ = 9 см, МH = 1 см, HС = 6см. Найти длину отрезка КH.

8. На столе лежит 10 пятаков гербом вниз. Разрешается одновременно перевернуть любые 9 из них. Можно ли за несколько таких действий перевернуть все пятаки гербом вверх?