Олимпиадные задания по математике для 7 класса

                  Олимпиадные задания  для 7 класса по математике.

1.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
составляют всевозможные семизначные числа, в которых каждая цифра
участвует только один раз.
Доказать,
что сумма этих чисел делится на 9.

Решение:

Сопоставим каждому такому числу x
число 8888888 – x,
оно также состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
и каждая цифра используется один раз.

Сумма чисел в каждой паре 8888888.

Всего таких чисел 7!,
значит таких пар 7! / 2.
Значит вся сумма равна 7! х 4444444.

Число 7! делится на 9,

значит и сумма чисел делится на 9.

2. Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение.

Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B. Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

3.  Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1 ?

Решение.

Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.

4. Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.

Решение.

3025=55².

5. Банка наполовину наполнена молоком, весит 1570г. Когда Миша выпил четверть всего имеющегося в банке молока, она стала весить 1270г.. Сколько весит пустая банка?

Решение. «Четверть имеющегося количества» , которую отпил Миша весила 1570 - 1270 = 300 г, значит все «имеющееся количество молока» весило 4 * 300 = 1200 г. Пустая банка весит 1570 - 1200 = 370 г