Олимпиадные задания по математике для 7 класса (школьный этап)

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ 2015-2016 ГГ.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

7 КЛАСС

1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?

3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:
Володя: «Я написал на 5».
Саша:«Я написал на 3».
Петя: «Я написал не на 5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?

4. В примере a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%,  c увеличили на 60%,  d уменьшили на 40%,  e увеличили на 50%,  f уменьшили на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f.

5.  Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

Каждое задание оценивается в 7 баллов. Всего – 35 баллов.

РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ  ПО МАТЕМАТИКЕ    7 КЛАСС

1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

Решение:  При первом взвешивании в одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?

Решение: В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная  стрелка указывает на цифру 6, а часовая на середину дуги между цифрами  8 и  9  (см.  рисунок).  Если  из  центра  часов  провести  два  луча  к  соседним  цифрам циферблата, то между ними будет угол 360⁰ :12=30⁰ . Угол между  стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с половиной  раза больше. Следовательно, он равен 75⁰ . 

3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:
Володя: «Я написал на 5».
Саша:«Я написал на 3».
Петя: «Я написал не на 5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?

Решение:

Володя	Л   4 или 3	П  5	П    5
Саша	П  3	П  3	Л    4
Петя	П 4 или 3	Л  5	П    3
	―	―

ОТВЕТ: Володя — 5; Петя — 3; Саша — 4.

4. В примере a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%,  c увеличили на 60%,  d уменьшили на 40%,  e увеличили на 50%,  f уменьшили на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f.

Решение: 1,2a∙0,8b + 1,6c ∙ 0,6d + 1,5e ∙ 0,64f  = 0,96a ∙ b + 0,96c ∙ d + 0,96e ∙ f = 0,96 (a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f) = 80

a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f  =

ОТВЕТ:  

5. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

Решение: