Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Олимпиадные задания по математике 11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадные задания по математике 11 класс

библиотека
материалов

Олимпиадные задания по математике 11 класс


Задачи и задания олимпиад по математике 11 класс


1.
Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007k, но не делится на 2008k. (Напомним, что n! = 1·2·3·4·… ·n).

2.
Может ли вершина параболы y = 4x2 – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

3.
(an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2008 - наименьшая среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии?

4.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, ?С=120°. Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С? Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

5.
Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

6.
Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

7.
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

8.
Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

9.
Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

10.
Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?

Ответы и решения задач по математике 11 класс

Решение задач по математике 11 класс 

1.
 
Разложим число 2007 на простые множители: 2007 = 3
2 ? 223. 
В разложении на простые множители числа 2007! показатель степени у числа 3 будет достаточно большим, так как множитель 3 входит в разложение каждого третьего числа. Множитель 223 входит только в разложение чисел вида 223р, где р – натуральное число, не превосходящее 9. Таким образом, в разложение числа 2007! на простые множители число 223 войдет с показателем 9. Следовательно, число 2008! будет делиться на 2007
k, где k=9.

2.
Координаты вершины параболы x
0 = (a + 1)/2, y0 = 4((a + 1)/2)2 - 4(a +1)(a + 1)/2 + a = -a2 - a - 1 = -(a + 1/2)2 - 3/4. Так как у0 < 0 при любых значениях а, то во второй координатной четверти вершина параболы находиться не может.

3.
Так как разность прогрессия положительна, то прогрессия – возрастающая. Следовательно, описанная ситуация возможна тогда и только тогда, когда члены прогрессия с первого по 2008-ой – отрицательны, а начиная с 2009-го – положительны. Таким образом, S2008 будет наименьшей, тогда и только тогда, когда а
2008 < 0, a2009 > 0. Отсюда получаем систему неравенств

hello_html_m4ddef9fd.jpg

4.
Если вершина А и В лежат на одной стороне треугольника, то вершина С лежит на отрезке прямой, параллельной этой стороне. Длина этого отрезка равна 8 - ?3. Пусть вершины А и В лежат на двух сторонах равностороннего треугольника с общей вершиной О. Тогда вокруг четырехугольника АСВО можно описать окружность (четырехугольник является вписанным). В этой окружности углы ВАС и ВОС равны, так как опираются на одну и ту же дугу с хордой ВС. Следовательно, угол ВОС равен 30°. Следовательно, третья вершина треугольника – точка С – лежит на биссектрисе угла равностороннего треугольника. Длина соответствующего отрезка биссектрисы равна 1. Итак, точка С может лежать на стороне некоторого равностороннего треугольника и на некоторых отрезках биссектрис внутренних углов этого треугольника. Длина шести звеньев этой линии равна 27 - 3?3.

hello_html_3bf98ef.jpg

5.
если m + n – четно, то выигрывает второй игрок, если m + n – нечетно, то выигрывает первый. В начале игры веревочек единичной длины было m(n + 1) + n(m + 1) = 2mn + m + n. Это число имеет ту же четность, что и число m + n. Последний ход в игре разрушает последний замкнутый контур. Докажем, что граница любого замкнутого конура содержит четное количество веревочек единичной длины. Действительно, рассмотрим границу произвольного замкнутого контура. Каждый вертикальный столбец исходной сетки содержит четное количество горизонтальных веревочек единичной длины из этой границы (возможно, и нулевое), т. к. войдя в замкнутый контур, например, снизу, мы обязаны из него выйти. Аналогично, каждая горизонтальная строка исходной сетки содержит четное количество вертикальных веревочек единичной длины. Таким образом, общее количество единичных веревочек на границе замкнутого контура – четно. Выигрышная стратегия для любого игрока состоит в том, чтобы не разрушать последний замкнутый контур, пока

Отношение двух наименьших трёхзначных простых чисел равно hello_html_m1aab3203.png=0,980583…

Найдите несколько таких простых дробей с числителями и знаменателями, не превосходящими 50, произведение которых отличалось бы от hello_html_m1aab3203.png менее чем на 10-5

Вот интересно, если бы нам потребовалось найти обыкновенную дробь, приближающую пи до двух десятичных знаков, и мы решали бы задачу “в лоб”, то записали бы hello_html_7824b717.png. Дробь довольно громоздкая, и никаких идей, как бы уменьшить числитель и знаменатель, не теряя в точности, на поверхности не лежит. Поэтому нужен другой способ.

Хорошие рациональные приближения можно получать, зная свойство медианты дробей: если две дроби hello_html_m697fe4b5.png, то hello_html_me06e603.png. Дробь, числитель которой равен сумме числителей двух дробей, а знаменатель – сумме знаменателей, называется медиантной дробью и на числовой прямой находится между двумя дробями.
Начнём с очевидного неравенства:
hello_html_m12ca38e1.png
Медиантой крайних дробей будет дробь 7/2=3,5>p
hello_html_25a63458.png
 
Далее 10/3=3,33…>p
 
hello_html_m4c515829.png
 
Продолжая находить медианты, получим:
hello_html_m75ddd480.png
Вот мы и получили приближение, дающее 2 верных знака. Продолжая процесс, заметим, что теперь медианты будут приближаться к числу пи слева:
hello_html_m7eadb647.png
Последнее приближение слева даёт 4 верных знака числа пи с недостатком. А следующая медианта,
 hello_html_m35a6fa9a.png=3,1415929… даёт с избытком 6 десятичных знаков! Её можно легко запомнить так: выпишем первые 3 нечётные цифры, каждую по 2 раза: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Затем первые 3 цифры образуют знаменатель дроби, 113, а вторые три – числитель, 355.

А для запоминания собственно числа пи есть много мнемонических фраз, самая простая:

Решение

Хотя число hello_html_m65124ed5.png само является рациональным, применим к нему метод поиска рациональных приближений через медианты. Мы придём к неравенству hello_html_5e2f3515.png

Будем продолжать находить медианты левой подходящей дроби и дроби hello_html_m65124ed5.png, пока у медиант не будет достигнута требуемая точность

Среди дробей попадётся число hello_html_3b63fb28.png

Среди других интересных вариантов ответа стоит назвать дробь hello_html_3f88a44a.png

Задача 3. Сумма ряда
Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности

hello_html_1c986635.png

Решение

Сначала найдём закономерность. Понятно, что знаменатели представляют собой последовательные степени двойки.

Рассмотрим последовательность числителей и вычислим разности первого и второго порядка:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12

1, 0, 1, 1, 2, 3, 5

Можно заметить, что разности второго порядка – это последовательность Фибоначчи! Попробуем обнаружить некий рекуррентный закон среди разностей первого порядка.

-1, 0. 0. 1, 2, 4, 7, 12 - Здесь каждый последующий член на единицу больше суммы двух предыдущих. Это позволяет найти закономерность в исходной последовательности:

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25 - hello_html_m783cbcb8.png ,если начинать с индекса, равного 1

Можно для неё вывести формулу общего члена и таким образом свернуть ряд, но можно заметить, что последовательность

0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, 25, …

представляет собой разность последовательностей Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

и натурального ряда

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Так что искомая сумма равна

 hello_html_25e03880.png

Подробнее о том, как вычисляются эти суммы можно почитать в статье о суммировании бесконечных рядов.


Автор
Дата добавления 06.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров286
Номер материала ДВ-421944
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх