Олимпиадные задания по математике ( 6 -7 классы)

Олимпиадные задания для 6 класса.

1. Найти шестой член последовательности 5, 12, 26, 47, ... (2балла).

2.  Первое число составляет 40% второго. Сколько процентов составляет второе       число от первого?( 3балла)

3.      Малыш может съесть торт за 10 минут, банку варенья – за 8 минут и выпить горшочек молока за 12 минут; а Карлсон может это сделать за 2, 3, 4 минуты соответственно. За какое время они могут вместе съесть торт, банку варенья и выпить горшочек молока?

(3 балла)

4.      Можно ли 17 точек соединить отрезками так, чтобы из каждой точки выходило 3 или 5 отрезков?(3 балла)

5.      Петя и Ваня играют в игру. Первым ходом Петя называет число, не превышающее 6, а Ваня прибавляет к нему некоторое число, которое тоже не превышает 6, и называет сумму. Дальше Петя к названной сумме прибавляет число, не превышающее 6, и называет новую сумму и т.д. Выигрывает тот, кто первым назовет число 2010. Кто может обеспечить себе выигрыш?(4 балла)

6.      Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Ответы к заданиям:

1         Найдем разницу  между  соседними членами последовательности. Обращаем внимание  что она составляет   последовательность 7, 14, 21, …, потому пятый член  будет равен 47 + 28 = 75, а шестой – 75 +35 = 110.

 Ответ 110.

2         Пусть х – перове  число, у –другое число.По условию задачи имеем:  х = 0,4у у = 2,5 х. Отсуда другое число 250%от первого.         Ответ: 250%

3         за 10 минут  они  сразу когут съесть 1+5=6 тортов, за 24 минуты они съедят 3+8=11 банок варенья, за 12 минут они когут выпить 1+3=4 горщочка  молока. А также  еще один торт, одну банку варенья и  выпить один горшочек  молока они могут за  минут

Ответ: За минут.

4         Невозможно.

5         . Выиграет Петр так как первым  ходом назвет число 1. Иван назвет число , то Петр назовет число ,   й т.д.

 Ответ: выиграет Петр

Ответ :  существует.

7 клас

1. Найти два числа, если их сумма равна 2296, а при делении большего числа на 14 в частном получается половина меньшего числа, а в остатке 8.( 3 балла)
2. В Афинах был водоём с тремя трубами. Первая труба могла наполнить водоём за 1 час, вторая – за 2 часа, а третья – за 6 часов. За какое время могли наполнить водоём все три трубы, работая одновременно? ( 3 балла)
3. На окружности расставлены 2010 точек. Каждый из двух игроков за один ход может соединить две точки отрезком, не пересекающим ранее проведенные отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш? Ответ обосновать. (4 балла)
4. До просушки влажность зерна была 23%, а после просушки – 12%. На сколько процентов уменьшилась влажность зерна после просушки? ( 4 балла)
5. Автобус проехал полпути со скоростью вдвое меньшей, чем запланировано. Может ли он, увеличив скорость, приехать вовремя? Ясли да, то во сколько раз ему необходимо увеличить запланированную скорость?( 4 балла)
6. Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках. ( 5 баллов)

Ответы к задачам:

1         Пусть а – меньшее  из данных чисел,  тогда ,  - меньшее число, а  - большее  число.

Ответ :286 и  2010.

2. За 6 лет первая  труба наполнит 6 водоёмов, другая труба – 3, а третья труба – 1.  Отсюда все вместе  за 6 лет они заполнят 10 водоёмов. Один водоём три трубы  заполнят за 0,6года.

Ответ:  0,6 года

3. Выигрывает первуй  игрок. Пронумеруем все точки с 1 до 2010.Выигрывает 1 игрок,  т. к за 1 следующая  точка 3 и так далее до 1006. А дальше достаточно  повторить ходы другого игрока симетрично
4. Пусть а – начальный вес зерна, тогда сухая маса зерна 0,77а. После просушки она становиться  Поэтому масса зерна уменшилась на 12,5%.

Ответ: 12,5%.

           5.Ответ: невозможно.

6. Ответ:  три возможных ответа изображены на рисунке . Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.