Олимпиадные задания с решениями для учащихся 7 класса.

Задача № 1 :

Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его. 

Задача № 2 :

Найти натуральное число A , если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно: 
а) A + 51 есть точный квадрат, 
б) последняя цифра числа A есть единица, 
в) A - 38 есть точный квадрат. 

Задача № 3 :

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов,
причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта.
Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта? 

Задача № 4 :

Дан угол и точка M внутри него.
Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам. 

Задача № 5 :

Можно ли замостить шашечную доску 10 x 10 плитками 4 x 1 ? 

Задача № 6 :

Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч..
Какова его средняя скорость?

Решения задач олимпиады

Задача № 1 :

3025 = 55².

Задача № 2 :

Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным.
В первую очередь на себя обращает внимание условие б).
Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2,
условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет.
Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех).
Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.

Теперь осталось разобраться с квадратами.
В условиях а) и в) сказано, что A + 51 и A - 38 являются полными квадратами.
Эти квадраты не обязательно могут быть соседними.
Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K,
то разность их квадратов делится на это число K тоже.
В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое,
следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89.
Последний вариант очевидно не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу A=1974.

Ответ: A = 1974.

Задача № 3 :

Можно. Решается методом от противного.

Задача № 4 :

Сделать точку M центром параллелограмма.

(здесь будет рисунок)

Задача № 5 :

Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов).
Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами.
Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24.
Отсюда следует невозможность указанной укладки.

Задача № 6 :

37, 5 км/ч.

Сайт www.egena5.ru