Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Олмпиада по математике (школьный уровень)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олмпиада по математике (школьный уровень)

библиотека
материалов

Школьный этап олимпиады по математике

2013/2014 учебный год



7 класс


  1. На листе бумаги написаны двадцать чисел 1,1 и двадцать чисел 1,11. Зачеркните несколько чисел так, чтобы сумма оставшихся была равна 19,93.


  1. Из фигурок вида hello_html_179c42da.png сложите квадрат.


  1. К новогоднему празднику школа покупает каждому ученику по шоколадке. Известно, что если покупать шоколад в упаковках по 20 шоколадок в каждой, то понадобится на 5 упаковок больше, чем упаковок по 24 шоколадки. Сколько учеников в школе?

  2. Определите, чему равен угол между часовой и минутной стрелками часов в 23 часа 45 минут.

  3. В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был пятого числа этого месяца? Мог ли этот месяц быть декабрем?


8 класс


  1. Расставьте скобки в левой части выражения 2:3:4:5:6=5 так, чтобы получилось верное равенство.

  2. Дана пропорция hello_html_m5ab8d98a.gif.

а) Докажите, что верна пропорция hello_html_m1922fdfc.gif.

б) Верно ли, что также верна и пропорция hello_html_961e6bf.gif?

  1. На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE пересекает сторону BC в точке M, прямая AF пересекает сторону CD в точке N и CM=CN. Найдите длину диагонали квадрата, если BE=3, EF=4.

  2. В два коммерческих киоска по одинаковой цене поступил товар. Через неделю в первом киоске все цены были снижены на 10%, а еще через неделю – подняты на 20%. Во втором киоске через две недели цены были увеличены на 10%. В каком киоске через две недели после поступления товара цены ниже?

  3. Можно ли записать натуральные числа от 1 до 16 в строку так, чтобы сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3?


9 класс


    1. Проходят ли прямые hello_html_m11b0f844.gif, hello_html_2059ec02.gifи hello_html_m6e59af3f.gif через одну точку?

    2. Решите уравнение hello_html_55a1c946.gif.

    3. Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что если ОА=ОС, то треугольник АВС – равнобедренный.

    4. У некоторого трехзначного числа переставили две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся на 173. Какой может быть последняя цифра этого числа?

    5. В некотором месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был пятого числа этого месяца?


10 класс



1. Докажите, что для любого числа х справедливо неравенство hello_html_34982433.gif.

2. Высота АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что если ОА1=ОС1, то треугольник АВС – равнобедренный.

3. Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 больше: делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?

4. На листе клетчатой бумаги нарисован треугольник с вершинами в узлах сетки. Как с помощью одной линейки построить точку пересечения медиан этого треугольника?

5. Квадрат со стороной 1993 разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?


11 класс


1. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек L (х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению hello_html_c1f9924.gif.

2. Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам, разбит на девять параллелограммов (см. рисунок). Найдите площадь, четырехугольника ABCD, если площадь исходного параллелограмма равна S1, а площадь центрального (закрашенного) параллелограмма равна S2.

hello_html_m4ce50296.png

3. Сумма цифр натурального числа А равна сумме цифр числа 3А. Докажите, что: а) А делится на 3; б) А делится на 9; в) Верно ли, что А обязательно делится на 27?

4. Положительное число х таково, что hello_html_191bbfaa.gif. Докажите, что число hello_html_m5284e035.gif - целое, и вычислите его.

5. Прямоугольник размера 19×93 (большая сторона горизонтальна) разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?




















































Решение задач.


7 класс

1. Ответ: Нужно зачеркнуть 15 чисел 1,1 и 7 чисел 1,11.

2

hello_html_929bf4d.png

. Из двух фигурок модно сложить прямоугольник 2х5, а их 10 таких прямоугольников – квадрат 10х10.

hello_html_m5cc1658e.png


3. Ответ. 600.

4. Ответ. 82,5°.

Угол между минутной стрелкой и «12» равен 90°, а между часовой и «12», равен четверти от угла между «11» и «12», то есть равен hello_html_343f22a0.gif.

5. Ответ. Четверг. Не мог.

За четыре недели с 1 по 28-ое число каждый день недели встречается ровно по 4 раза, поэтому из условия следует, что 29-ое – воскресенье, 30-е – понедельник, а 31 числа в месяце нет.


8 класс

1. Ответ. (2 : 3) : ((4 : 5) : 6) = 5.

2. а) По условию ad = bс, но тогда и a(b + d) = b(а + с);

б) Нет. Если hello_html_m22b067fc.gif,то hello_html_5ad2580d.gif (например, hello_html_m336de3a3.gif, но hello_html_67897bb2.gif).

3. Ответ. АС = BD = 10.

Из условия следует равенство треугольников АВМ и ADN (ВМ =DN, АВ = AD, hello_html_7707454f.gifABM =

= hello_html_7707454f.gifADN), откуда hello_html_7707454f.gifBAE = hello_html_7707454f.gifDAF. Кроме того, АВ = AD и hello_html_7707454f.gifABE = hello_html_7707454f.gifADF (см. рис.). По­этому треугольники ABE и ADF равны, и, зна­чит, DF = ВЕ = 3.

hello_html_6dbf1f2.png

4. Ответ. В первом киоске.

Если х — начальная цена товара, то его конечная цена в первом кио­ске - hello_html_m612ece45.gif, а во втором - hello_html_m692618cd.gif.

5. Ответ. Нельзя.

Разобьем записанные числа на четверки: первое - четвертое, пятое - восьмое, девятое - двенадцатое, тринадцатое - шестнадцатое. Если бы числа можно было бы записать так, как требуется в условии, то сумма чи­сел в каждой четверке делилась бы на три и, следовательно, сумма всех чисел делилась бы на три. Но сумма 1 + 2 + 3 + ... + 16 = 136 - не делится на три.


9 класс

1. Ответ. Да.

Прямые проходят через точку hello_html_30595786.gif.

2hello_html_4156c691.png. Ответ. Уравнение не имеет решений (при х = 2 знаменатель дроби обращается в нуль).

3. ∆AOC1 = COA1 (по гипотенузе и острому углу), следовательно, ОС1 = ОА1 (см. рис.). Поэтому АА1 = СС1 и, следователь­но, ∆ABA1 = ∆CBC1 (по катету и острому углу).
Откуда АВ = ВС.


4. Ответ. 2.

Пусть исходное число - hello_html_m37c99f95.gif, а последняя цифра суммы hello_html_mcbdb550.gif равна х. Тогда из условия
следует, что а = 8. Поэтому (800+10b+с)+ (800+10с + b) = 1730+х, то есть 11(b + с) = 130+х.

Откуда следует, что х = 2 (из чисел от 130 до 139 только 132 делится на 11).

5. Ответ. Среда.

В четырех неделях с 1 по 28 — четыре воскресенья, ровно два из ко­торых выпадают на четные числа. Поэтому еще одно воскресенье должно выпадать на 30-е число.


10 класс


1. Неравенство равносильно очевидному: 2 + 2 > 0.

2. Решение аналогично задаче 9 класса №3.

3. Ответ. Чисел, делящихся на 11, но не делящихся на 13, среди чисел от 1 до 1000000 больше, чем чисел, делящихся на 13, но не делящихся на 11.

Действительно, пусть количество этих чисел равны А и В соответ­ственно, а количество чисел от 1 до 1000000, кратных и 11, и 13, равно С. Тогда А + С - количество чисел, делящихся на 11, а В + С - делящихся на 13. Ясно, что А + С > В + С. Поэтому А > В.

4. Пусть А, В и С - вершины данного треугольника. Найдем узлы А1 и В1 такие, что четырехугольники АВА1С и ВСВ1А - параллело­граммы. Искомая точка есть пересечение прямых АА1 и BB1.

5. Ответ. Выигрывает второй школьник.

Его стратегия такова: в ответ на любой ход начинающего он ставит фишку на клетку, расположенную на диагонали, идущей из левого нижнего угла квадрата в правый верхний.


11 класс

1. Ответ. Прямые, заданные уравнениями у = х и у = -х-1, с вы­колотыми точками с координатами (0;0), (0; -1), (-1;0), ( -1; -1) (см. рис.)

hello_html_m7edcdfc1.png


2. Ответ. hello_html_m7fe6d678.gif

Четырехугольник ABCD складыва­ется из закрашенного параллелограмма и половинок параллелограммов, составля­ющих рамку.

3. а), б) Пусть сумма цифр числа А равна S. Но так как 3А делится на 3, то S делится на 3, тогда и А делится на 3. Отсюда следует, что делится на 9 и S также делится на 9, то есть А делится на 9.

в) Ответ. Не обязательно, можно взять, например, А = 9.

4. Ответ. 123.

Из равенства hello_html_13381b5c.gif следует, что hello_html_16a59a12.gif. Отсюда hello_html_35b96b05.gif, значит, hello_html_56feaa0d.gif. Далее получаем: hello_html_62832cd5.gif.

5. Ответ. Выигрывает начинаю­щий.

Его выигрышная стратегия такова. Проведем диагональ из клеток, начиная с верхней правой (см. рис.). Начи­нающий первым ходом ставит фишку на указанную диагональ, а затем в ответ на каждый ход противника возвращает фишку на эту диагональ.


hello_html_m38aa1741.png




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Олимпиадные задачи по математике  для 7-11 класса. Данные задачи рекомендуются для проведения школьной олимпиады по математике на школьном уровне. Ценность материала состоит в том, что предлагается  ответ к каждой задаче и один из вариантов решения.Вариант работы содержит и алгебраический и геометрический материал .В каждом классе есть материал , посильный не только сильным в математике учащимся, но и тем, кто только пробует свои силы! Подобраны по пять заданий различной сложности. Проба силы рассчитана на два часа работы. Номер задания соответствует количеству баллов, которые можно заработать.

Автор
Дата добавления 11.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1279
Номер материала 436604
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх