Опыт работы в реализации технологии укрупнения дидактических единиц на уроках математики на основе деятельностного подхода.

Опыт работы в реализации технологии укрупнения дидактических единиц на уроках математики на основе деятельностного подхода.

Учитель математики

 МКОУ «Сар-СарскаяСОШ»

Хайбулаев Х.Г.

      Преобразования, происходящие в системе образования России в целом, не могли не сказаться на математическом образовании.

      Каждый неравнодушный учитель задумывается над тем, как сделать процесс обучения эффективным, доступным, направленным на развитие индивидуальности ребенка наряду с  воспитание нравственных и других качеств. Перед учителем встает проблема: как уменьшить время обучения, не уменьшая количества информации?

      Одним из таких эффективных подходов является построение обучения математике на основе уплотнения его содержания.

      Традиционно педагогический процесс структурировался таким образом, чтобы обеспечить, прежде всего, усвоение знаний, умений и сформировать навыки. Подобная направленность обучения не развивает личность, ориентированную на творчество, приводит к утрате первоначальной любознательности школьников, порождает равнодушие к учению, не обеспечивает формирование способности мыслить самостоятельно, а в некоторых случаях и разрушает способность к мыслительной деятельности, что особенно остро ощущается в среднем звене школы.

      Все согласны с тем, что нет «царского пути в математику». Много труда и терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знаний по этому предмету. (Эрдниев)

     Сущность технологии УДЕ сводится к объединению знаний во времени или в пространстве. Элементы знания, разведены по традиции по разным разделам и годам обучения, объединяются и образуют целостный сплав структурно новых знаний.

     Технология УДЕ реализует системный подход в обучении. Многократный возврат к изучаемому материалу в связи с новыми знаниями, «движение по спирали» к более глубокому их усвоению может быть осуществлено лишь при системном подходе к обучению, когда вопрос о целесообразности и времени возврата к ранее изученному решается на основе анализа всей совокупности подлежащих усвоению единиц информации и взаимосвязей между ними.

     Переработка информации мозгом человека осуществляется на подсознательном и сознательном уровнях одновременно.

     Укрупнению единиц усвоения так же благоприятствует расположение записей структурно связанных упражнений в двух параллельных столбцах, друг против друга. То, что зрительно воспринимается рядом, легче противопоставить и связать логически, словесно.

     Ключевым упражнением по УДЕ является составление и решение обратных задач. В методике составления и решения взаимообратных  задач наиболее цены не, сколько сами процессы решения задач как таковых, а переосмысление их содержания с возвратом к первоначальным рассуждениям, то есть составление новых фраз на базе известных слов и чисел. Обратная задача для школьника – это своего рода исследовательская задача.

     В математике слишком многие элементы изучаются порознь, вместо того чтобы в соответствии с логикой их связей изучать совместно,  чтобы образовать систему знаний, которая, подобно живому кристаллу, была бы устойчива по отношению к разрушающему воздействию времени.

     Понятие укрупнения дидактических единиц достаточно обширно, оно вбирает следующие взаимосвязанные подходы к обучению:

·        совместное и одновременное изучение взаимосвязных действий, операций, функций, теорем;

·        обеспечение единства процессов составления и решения задач;

·        рассматривание во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности деформированных упражнений);

·        обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;

·        реализация принципа дополнительности в системе упражнений.

     Главнейшей особенностью укрупненной единицы усвоения является то, что она создаёт условия для постижения богатства связей и переходов между компонентами единого знания.

     При таком подходе учащиеся на уроках больше рассуждают, больше производят самостоятельно мыслительных операций. Это объяснимо дидактически: укрупнение единиц усвоения обязательно приводит к возрастанию информационного потока, проходящего в единицу времени через органы восприятия школьниками.

     Урок математики, построенный сознательно на необходимости укрупнения знаний, заботится об окружении основного понятия, о наращивании знаний вокруг логического ядра урока, о повторении материала через его развитие, преобразование.

     Обратные задачи уместно вводить, начиная с элементарных заданий, используемых для проверки сообразительности.

     Например, работая в 5-х классах, использую задания:

·        Составить ряд чисел: на первом месте любое натуральное число. Второй член получить из первого, увеличив его в два раза. Третий член получить из второго, увеличив второе на 2, т.е. член ряда с четным номером больше предыдущего в 2 раза, с нечетным номером больше предыдущего на 2.

1, 2, 4, 8, 10, 20, 22, 44, 46 ….

·        Даны шесть членов ряда 4, 7, 21, 24, 72, 75…

Дописать ещё несколько членов ряда.

·        Придумайте своё аналогичное задание, и предложи соседу по парте.

     В ходе изучения геометрии я пришла к выводу, что некоторые темы усваиваются лучше, если их изучать с помощью технологии укрупнения дидактических единиц. Прямую и обратную теорему рассматриваю одновременно. Делим лист на две половины – слева записываем прямую теорему, доказывая вместе, а справа ученики формулируют, записывают обратную теорему и самостоятельно доказывают её.

     Так, изучение темы, в 7 классе, «Параллельные прямые» строю следующем образом:

1.     На первом уроке вводится определение параллельных прямых, секущей, рассматриваем углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, и выполняем практическую работу.

2.     На втором уроке вводится определение аксиомы, рассматриваются аксиомы параллельных прямых, и совместно изучаем признаки и свойства, в виде приведенной ниже таблице, причем обратные теоремы учащиеся формулируют и доказывают самостоятельно.

     При заполнении таблицы, учащиеся впервые встречаются с понятием прямая и обратная теорема, и они наглядно, с помощью таблицы видят, как составить обратную теорему.

Признаки параллельности прямых Прямая теорема (условие – заключение)	Свойства параллельности прямых Обратная теорема (заключение – условие)
Т. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.           а           в               с Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 – накрест лежащие углы,     1 = 2 Доказать (заключение) : а // в	Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.                                       с                              а                              в                              Дано (заключение): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 – накрест лежащие углы,      а // в Доказать (условие): 1 = 2
Т. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.               с                а                в Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 –соответственные углы,     1 = 2 Доказать(заключение) : а // в	Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующие  углы равны.         а                   в               с                     Дано(заключение): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 –соответственные углы,      а // в Доказать (условие): 1 = 2
Т. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.     а                         1            в          2                с Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 –односторонние углы,     1 + 2 = 1800 Доказать(заключение): а // в	Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800.           а                       1            в               2                           с Дано (заключение): а, в – прямые, с- секущая      1 и  2 – односторонние углы,      а // в Доказать (условие):  1 + 2 = 1800

На признаки параллельности прямых отводится 3 урока и на свойства параллельности прямых 4 урока. При таком подходе на рассмотрение теоретического материала  уходит один урок, остальные уроки идут на решение задач.

     При изучении темы «Прямоугольные  треугольники», свойства 2⁰ и 3⁰ доказываем с ребятами вместе, и записываем в виде таблицы:

Теорема	Обратная теорема
Т. Катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 300, равен половине гипотенузы.    Дано: ∆АВС, А = 900,                 В = 300    Доказать:  АС = 0,5 ВС	Т. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300.    Дано: ∆АВС, А = 900,                 АС = 0,5 ВС    Доказать:    В = 300
В                                                Д                А                С
Доказательство: 1. приложим к ∆АВС равный ему ∆АВД получим, ∆ ВСД
С = 600  В = 600  Д = 600 ∆ ВСД – равносторонний      ДС = ВС, но АС = 0.5 ДС, значит  АС = 0.5 ДС	∆ ВСД – равносторонний      С =  В = Д = 600 ДВС = 2  АВС АВС = 300

    При изучении темы «Параллелограмм, его свойства и признаки» в 8 классе,  на первом уроке ввожу определение параллелограмма, и совместно изучаем свойства и признаки, оформляя в тетради и на доске таблицу свойства и признаки параллелограмма, а на последующих двух уроках идет отработка и контроль знаний, умений и навыков.

Свойства параллелограмма	Признаки параллелограмма
Т. В параллелограмме противоположные стороны равны. Дано: АВСД – параллелограмм. Доказать: АВ =СД, ВС =АД.	Т. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник параллелограмм. Дано: АВСД – четырёхугольник,       АВ = СД, ВС = АД. Доказать: АВСД – параллелограмм.
В                                                  С                                  A                                               D Проведем диагональ АС
Рассмотрим ∆ АВС и ∆ СДА, треугольники равны по стороне  прилежащим углам, поэтому АВ = СД, АД = ВС.	Рассмотрим ∆ АВС и ∆ СДА, треугольники равны по трем сторонам, поэтому   1 =  2,                3 = 4      АВ // СД              АД // ВС          АВСД – параллелограмм.
Т. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Дано: АВСД – параллелограмм Доказать: АО = ОС, ВО = ОД	Т. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Дано: АВСД – четырёхугольник,           АО = ОС, ВО = ОД. Доказать: АВСД – параллелограмм.
В                                        А
Доказательство:
Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОД, они равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому АО = ОС, ВО = ОД	Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОД, они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  1 =  2                 АВ // СД;  ∆ АОД = ∆ СОВ (1пр)                  3 =  4          СВ // АД                АВСД - параллелограмм

     Точно так же поступаю при изучении темы «Прямоугольник. Ромб. Квадрат». На первом уроке вводится определение прямоугольника, рассматриваются его свойства и признаки (в таблице), вводится определение ромба и квадрата, рассматриваются их свойства.

Свойства	Признак
Т. Диагонали прямоугольника равны. Дано: АВСД – прямоугольник. Доказать: АС = ВД	Т. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Дано: АВСД – параллелограмм            АС = ВД Доказательство: АВСД – прямоугольник.
Доказательство:
∆ АВД  и ∆ ДСА – прямоугольные, ∆ АВД =  ∆ ДСА (по двум катетам)                          АС = ВД	1. ∆ АВД =  ∆ ДСА ( по трем сторонам)           А = Д. 2. А = С, В  = Д,  А = Д, значит  А = С = В  = Д. А + С + В + Д= 3600.  А = С = В  = Д = 900 .          АВСД - прямоугольник

     Эффект укрупнения основан на том, что одни и те еж слова, входящие в  состав как прямой, так и обратной теорем, фиксируются в памяти как бы однократно; преобразование же теоремы в обратную сводится к перестановке уже воспринятых слов.  Поэтому формулирование и доказательство обратной теоремы осуществляется в несколько раз быстрее, чем прямой теоремы. Это дает возможность больше времени отводить решению задач.

      В программе обучения содержатся и другие группы взаимосвязанных вопросов, которые изучаются раздельно. По характеру мыслительных процессов они совершенно сходны, поэтому целесообразно изучать одновременно взаимно обратные действия и операции. Так при изучении распределительного закона умножения в пятом классе, рассматриваем две операции, которые выполняются с помощь этого метода:

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

С (А + В) = СА + СВ

                                         

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

        Раскрыть скобки                                Вынести общий множитель за скобки

                4(х + 3) = 4х + 12                               4х + 12 = 4(х + 3)

                3(с + 5) = 3с + 15                               3с + 15 = 3(с + 5)

                2(у – 7) = ……..                                 2у – 14 = ……..

     При совместном изучении тем «Нахождение дроби от числа» и «Числа по его дроби» решение задач записываем в таблицу.

Нахождение дроби от числа	Нахождение числа по его дроби
Задача. Для собаки купили 24 кг сухого корма. За две недели она съела  этого корма. Сколько корма съела собака за две недели? Первый способ: 1.     24 : 4 = 6(кг) – одна часть 2.     6  3 = 18(кг) – съела собака Второй способ:      24   = 18 (кг)	Задача. За две недели собака съела  купленного корма, что составило 18 кг. Сколько корма купили собаке? Первый способ: 1.     18 : 3 = 6 (кг) – одна часть 2.     6  4 = 24 (кг) – весь корм Второй способ:  18 :  = 24 (кг)
Вывод: чтобы найти дробь от числа нужно умножить число на эту дробь.	Вывод: чтобы найти число по данному значению его дроби нужно это значение разделить на дробь.
Примеры: найти   от 16;                               0,4 от 200;                              42% от 60.	Примеры: найти число, если                    числа составляют 16;                  0,4 числа составляют 200;                  42% числа составляют 60.

    При изучении темы «Прямо пропорциональная зависимость» и «Обратно пропорциональная зависимость» рассматриваем сначала таблицу зависимости между тройками некоторых величин, с которыми неоднократно встречаемся при решении задач, а затем решение задач записываем в таблицу.

Множитель	Множитель		Произведение	Формула
Скорость (v)	Время (t)		Путь (s)	S = vt
Производительность(v)	Время (t)		Работа (A)	A = vt
Количество товара (n)	Цена (a)		Стоимость ©	C = na
Длина (a)	Ширина (b)		Площадь прямоугольника(S)	S = ab
Прямая пропорциональность		Обратная пропорциональность
Задача: Автомобиль едет с постоянной скоростью 60 км/ч. С помощью формулы опишите расстояние, пройденное автомобилем за время t. Как изменится формула, если время будет увеличиваться или уменьшаться? Решение:  S = v  t, так как v = 60км/ч                  то  S = 60  t.      Если время увеличить в несколько раз, то и расстояние тоже увеличиться во столько же раз:           5  S = v (5   t) (Если время уменьшается, то и расстояние тоже уменьшается).       t = 2 ч          S = 60 2 = 120 (км)       t = 5 ч          S = 60 5 = 300 (км)		Задача:  Расстояние между двумя посёлками 24 км. Велосипедист, скорость которого 12 км/ч, проедет это расстояние за 2 часа. За какое время пройдет это расстояние пешеход, если его скорость 4 км/ч? Решение: S = v  t             t =                      S = 24 км    V = 12 км/ч           t =    V = 4 км/ч             t =  Что у нас получилось? Одна величина уменьшилась в несколько раз, а другая увеличилась во столько же раз.
Определение: две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.		Определение: две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

     После отработки этой темы, переходим к рассмотрению  задач с помощью пропорций.

     Сначала составляем алгоритм решения задач с помощью пропорций:

1.     Неизвестное число обозначаем буквой х.

2.     Условие задачи записываем в виде таблицы.

3.     Устанавливаем вид зависимости между величинами.

4.     Прямо пропорциональная зависимость – стрелки одинаково направлены; обратно пропорциональная зависимость – стрелки противоположно направлены.

5.     Записываем пропорцию.

6.     Находим неизвестный член.

     Затем записываем примеры в виде таблицы:

Прямо пропорциональная зависимость	Обратно пропорциональная зависимость
Задача:      Автомобиль на 56,8км пути затратил 4,26л бензина. Сколько литров бензина потребуется ему, чтобы проехать 160км? Решение:      Пусть х л – расход бензина на 160км. Расход бензина прямо пропорционален пройденному пути. 56,8 км      -     4,8 л 160 км      -     х л Ответ: потребуется 12 л бензина.	Задача:      Расстояние между двумя поселками 12,5км, велосипедист затратил 0,7ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть этот путь за 0,5ч? Решение:      Пусть х км/ч – искомая скорость велосипедиста. Скорость движения обратно пропорциональна времени. 12,5 км/ч    -     0,7 ч х км/ч     -     0,5 ч Ответ:  17,5км/ч.

     Так понятие пропорция и проценты лучше изучать вместе в 5 классе, причем решение любого вида задач на проценты сводится к единообразному алгоритму составления пропорции.

     Этот метод совместного изучения всех видов задач на проценты хорошо отражен в следующей таблице:

ЗАДАЧА	Нахождение процента от числа	Нахождение числа по проценту	Нахождение процентного отношения
	В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?	В семенах сои содержится 20% масла. Сколько надо взять сои, чтобы получит 140 кг масла?	Из 700 кг сои было получено 140 кг масла. Сколько процентов масла содержится в семенах сои?
1. Изобразим условие задач в виде таблицы
2. Составим пропорцию
3. Найдем неизвестный член пропорции.	Х = 140	У = 700	Z = 20
4. Ответ	В 700 кг сои содержится 140 кг масла	Сои надо взять 700 кг.	В семенах сои содержится 20 % масла.

     Важно подчеркнуть, что все три вида задач на проценты решаются единым алгоритмом, основанном на выполнении следующих последовательности шагов:

1.     Запиши условие задачи, в левом верхнем углу написав «100%»;

2.     Запиши проценты под процентами;

3.     заполни таблицу числами, а искомую величину обозначь буквой;

4.     Составь уравнение (пропорцию) и реши его (найди неизвестный член пропорции).

     При такой методике укрупнённой подачи знаний исчезает необходимость изучения темы «Проценты» в трёх отдельных подтемах, т.е. становится ненужным ни запоминание названия вида задачи, ни запоминания словесных правил решения каждого вида задач в отдельности. Этот пример способствует существенному улучшению качества знаний при объединении в одном разделе логически родственных вопросов.

     В 9 классе изучаю совместно арифметическую и геометрическую прогрессии. На изучение арифметической прогрессии отводится 4 часа, а геометрической – 5 часов по плану, причем по одному часу от каждой темы берётся на изучение новой темы, а на отработку умений отводится 3 и 4 часа соответственно. Применяя технологию укрупнения дидактических единиц, мы на первом уроке знакомимся с основными понятиями и формулами, записывая их в таблицу, а на последующих 8 уроках идет отработка применения формул к решению задач, контроль знаний, умений и навыков.

     Приведу фрагмент первого урока изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Цели и задачи урока:

·        Создать условия для восприятия понятий арифметическая и геометрическая последовательности, формирования умений и навыков использования их характеристических свойств и формул      n-ых членов и суммы n-первых членов прогрессий при решении задач.

·        Продолжить формирование познавательной активной деятельности, умения логически мыслить, активно рационально, работать.

·        Воспитание ответственного отношения к учебному труду, умения преодолевать учебные трудности, умения работать самостоятельно.

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же               умноженному на одно и то же числом.                                                                 число не равное нулю    d – разность арифметической                   q – знаменатель геометрической           прогрессии.                                                 прогрессии.              d = a2 – a1
Формула n-го члена
а2 = а1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ……………………. a100 = a99 + d = a1 + 99d an = a1 + (n – 1) d, где n = 2; 3; 4; …. Пример: а1 = 20, d = 3 а25  - ? а25 = а1 + 24d = 20 + 243 = 92	b2 = b1q b3 = b2q = b1q2 b4 = b3q = b1q3 ……………………. b100 = b99 q = b1 q99 bn = b1 qn-1 Пример: b1 = 6, q = 2 b5 =? b5 = b1 q5-1 = 624 = 96
Каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему                       арифметическому                       геометрическому двух соседних с ним членов
Формула суммы n-первых членов прогрессии
	при  q

     В ходе изучение темы «Степень и её свойства», заполняем следующую схему:                                              

 

а1 = а

а0 = 1

                  нулевая степень                               первая степень

             

			Дробь
	Произведения (ab)n = an * an				Степень (am)n = amn

 

    После заполнения схемы переходим к выполнению заданий:

·        Упрости, применив свойства степени:

2³ 2²;             b⁴ : b⁰;             x¹⁰ : x;             5  25;          (2ab)⁵.

          2³ : 2²;           c⁵  c⁰;              3¹⁰ : 3⁹;            (xy)³;     

         (2³)²;             x¹⁰   x;             2⁵   2⁵;              (a²)⁷;                  

·        Какое свойство используется для упрощения выражений?

    5⁸ + 5² = 5¹⁰;                                   (3²)³ = 3⁶;

         0,8⁷ : 0,8⁴ = 0,8³;                             (у⁷)² = у¹⁴;

         (2   5)² = 4  25 = 100;                      х² у² = (ху)²;

          а⁶  : а⁴ = а².

·        Найди ошибку и исправь её:

5³  5⁴ = 5^{3  4} = 5¹²;                              7¹ = 7;

7¹⁰ : 7² = 7⁵ ;                                      (- 0,5)¹⁴ : (- 0,5)⁷ = - 0,5² = -0,25;

(-2)³  2 = 16;                                      - 3²  3 = 27;

- 5² + 4 = 29;                                      5  5  5  5 = 4⁵;

2³ + 2⁷ = 2¹⁰.

·        Замените ∆ таким выражением, чтобы выполнялось равенство:

(∆)⁵ = а²⁵;       (∆)² = а¹⁰;       (а³)² ∆ = - а²⁴;       а⁶ (а  а²)² = ( а⁴) ∆;

(∆)³ = а³ⁿ;       (∆)ⁿ = a²ⁿ;         ∆ a³ = a¹⁰;           (a  a⁴)² : ∆ = a²;

(a³)² ∆ = a²⁴;     ∆ a = a²;         a¹² : ∆ = a⁶;           ∆ : a⁵ = a⁶.

     При раздельном изучении таких понятий ученики длительное время решают однородные задачи на основе одного правила, и зачастую создается обманчивая видимость успешного усвоения материала. Но после того как «пройдены» порознь обе операции, ученик при решении любой задачи принуждён выбрать один из двух возможных вариантов рассуждения. Вот тут-то и обнаруживается неожиданно дефект обучения. Пока каждая тема изучалась в отдельности, дети не встречались с необходимостью выбора операции, и соответствующее умение у них не вырабатывалось. Отсюда возникают массовые ошибки.

     Каким оптимальным набором упражнений, возможно, достичь целостного и прочного усвоения знаний?

     Структура одних упражнений такова, что при их выполнении развиваются навыки лишь в прямолинейном применении правил; выполнение других неизбежно связано с осуществлением постоянного контроля, проверки ответа, причём последнее нередко ставится навыком и осуществляется неосознанно.

     Учащимся на уроке приходится решать один за другим множества примеров вида (3а – 2в) (3а + 2в) с постепенным усложнением многочленов левой части – это классическая форма упражнений. А если вместо данного примера предложить пример деформированного вида:

                    (  - 2в) ( + 2в) =  9а - ,

 то характер мыслительных процессов резко изменится.

     Решение таких примеров основывается на поисках недостающих звеньев замкнутого круга умозаключений путем анализа всей записи, что превращает мыслительный процесс в более сложный, более содержательный и поэтому лучше развивающий способности ученика.

     Такие задания естественным образом развивают навыки самоконтроля, совершающегося непроизвольно и даже подсознательно.

     У учащихся появляется активность при выполнении таких заданий.

     Знания учащихся будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются, продуктом собственных размышлений и проб, и закреплялись в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом. 

     Обучение в школе нужно строить так, чтобы оно представлялось для учащегося серией  маленьких открытий, по ступенькам которых ум ученика может подняться к высшим обобщениям.

     Обычное дело, когда ученик, выучил признаки деления и решает типичную задачу на прямолинейное применение правила: делится ли число 207 на 9? Но совсем другое дело, если предложено деформированное число 53*8, требуется добавить цифры, чтобы число делилось без остатка на 9. (Приложение 1).

      Идея и метод укрупнения дидактических единиц могут получить и получают развитие в преподавании математики в старших классах. При этом укрупнение дидактических единиц идет, как и в основной школе по принципу решения взаимообратных задач, совместному изучению логически связанных понятий и суждений, при этом широко используется прием обобщения по размерности; основным инструментом приёма служат аналогия сходства и аналогия свойств.

      Наиболее удобен этот прием при изучении стереометрии, позволяющий органически связать стереометрию (геометрию пространства R³) с планиметрией (геометрию пространства R²).

      В качестве примера рассмотрим изучение темы «Плоскость, касательная к сфере». Укрупнение дидактических единиц при этом выглядит так:

Окружность. Касательная к окружности	Сфера. Плоскость касающаяся к сфере
1. Определение:     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.	1. Определение:     Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
2. Теорема     Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания	2. Теорема      Радиус сферы, проведенной в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

   В старших классах естественно оформлять укрупненную дидактическую единицу знаковой моделью, используя в качестве модели блок-схему, граф-схему или, наконец, компакт-схему.

    Приведем пример оформления с помощью компакт-схемы.  

Понятие логарифма.

Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифма.

1. а > 0, а ≠ 1, N > 0

    a^p = N  p = loq_a N

             a^loq_a^N = N

2.

ар1+ р2 = ар1 · ар2	Loqa N1N2 =  Loqa N1 + Loqa N2
ар1- р2 = ар1 : ар2	Loqa  =  Loqa N1  - Loqa N2
(ар) р2 = ар1р2	Loqa Nk =  K· Loqa N

      В этом примере работает аналогия свойств, которая избавляет от необходимости рассматривать три теоремы о свойствах.

     Материал становиться не большим по размеру, информационно ёмким и удобным для запоминания.

     Существует афоризм: «Образование есть то, что остается после того, как будет забыто всё, что было выучено».