Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Опорная таблица по алгебре и началам математического анализа 10 класс "основные свойства функций "

Опорная таблица по алгебре и началам математического анализа 10 класс "основные свойства функций "


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Основные свойства функции

Необходимые условия. Определение

График функции

Тригонометрические функции

Примеры

1. Чётность

функции y=f(x)

1) Область определения функции симметрична относительно точки 0.

2) Если x є D(y), f(-x)=f(x).

График симметричен относительно оси Oy

y=cos x

cos (-x)=cos x

f(x)=x4

D(f)=R

F(-x)=(-x)4=x4=f(x)

2. Нечётность функции y=f(x)

1) Область определения функции симметрична относительно точки 0.

2) Если x є D(y), f(-x)=-f(x)

График симметричен относительно начала координат

1) y=sin x; sin (-x)=-sin x

2) y=tg x; tg (-x)=-tg x

3) y=ctg x; ctg (-x)=-ctg x

f(x)=x+1/x

D(f)=(-∞;0)U(0; ∞)

f(-x)=-x+1/(-x)=-(x+1/x)=-f(x)

3. Периодичность

1) Если существует такое число Т≠0, что при любом х из области определения функции числа х-Т и х+Т также принадлежат этой области и выполняется равенство

f(x)=f(x-T)=f(x+T), Т – период, то Тk, где k є Z, k≠0, также период.

2) Если функция периодическая и имеет период Т, то функция Af(kx+b), где A, k, b – постоянные и k≠0, также периодическая, причём её период равен Т=T/|k|.

3) Периодичность функции, представляющей собой сумму непрерывной и периодической функции, равен наименьшему кратному периоду слагаемых, если он существует.

Значение периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяется. Это свойство использую при построении графиков.

Наименьший положительный период:

а) Для y=sin x; y=cos x равен 2π

б) Для y=tg x; y=ctg x равен π

1) cos (a+T)=cos a, при a=0

cos T= cos0=1, T=2π

2) sin (a+T)=sin a, при а=π/2

sin (π/2+T)=sin π/2=1

sin x=1 при x=π/2+2πn, n є Z.

3) tg x=tg (0+T)=tg 0=0

Но на интервале (0;π) тангенс нулей не имеет,Т≥π,

то есть π – наименьший положительный период тангенса.

1) sin (2π+x)=sin x, tg (π+x)=tg x, sin (x-6π)=sin x,

ctg (x+20π)=tg x

2) а) sin (3x-π/2) б) cos (-x/2+π)

T=2π, T=2π,

a=1, k=3, b=-π/2, a=1, k=-1/2 b=π,

T=T/|k|, T=2π/|3|=2/3π T=T/|k|, T=2π/1/2|=4π

3) y=cos x/3 + tg x/5

T=2π, k=1/3, T=π, k=1/5,

T=2π/|1/3|=6π T=π/|1/5|=5π

НОК(6π;5π)=30π

T=30π

4. Монотонность.


Функция только возрастает или убывает на данном числовом промежутке.

1) Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x их этого промежутка соответствует большее значение функции f(x),

т.е. если x2>x1, то f(x2)>f(x1), где x1,x2 є I

2) Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x из этого промежутка соответствует меньшее значение функции f(x),

т.е. если x2>x1, то f(x2)<f(x1), где x1,x2 є I

1) Если смотреть слева на право, то график возрастающей функции идёт

«в гору».


2) Если смотреть слева на право, то график убывающей функции идёт

«с горы».

а) y=sin x возрастает при

x є [-π/2+2πn; π/2+2πn] n є Z;

убывает при

x є [π/2+2πn; 3π/2+2πn] n є Z.

б) y=cos x возрастает при

x є [-π+2πn; 2πn] n є Z;

убывает при

x є [2πn; π+2πn] n є Z.

в) y=tg x возрастает при

x є [-π/2+πn; π/2+πn] n є Z.

г) y=ctg x убывает при

x є [0+πn; πn] n є Z.

Рассмотрим функции:

а) f(x)=3x2. Докажем, что функция возрастает при x≥0 x1є[0; ∞) x2є[0; ∞), x2>x1 f(x2)-f(x1)= 3x22-3x12=3(x22-x12)=3(x2-x1)(x2+x1). 3>0, x2-x1>0, x1+x2>0 => 3(x2-x1)(x2+x1)>0 => f(x2)>f(x1). По определению функция f(x)=3x2 возрастает на промежутке [0;∞).

б) f(x)=1/x D(f)=(-∞;0)U(0;∞) x2x1є(0;∞), x2>x1 f(x­1)=1/x1 f(x2)=1/x2 f(x2)-f(x1)=1/x1 -1/x2=(x1-x2)/(x­1x2)<0 x1-x2<0

f(x­2)<f(x­­­1) => f(x)=1/x убывает на промежутке (0;∞).

x2x1є(-∞;0), x2>x1 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)/(x­1x2)<0 x1-x2<0

f(x­2)<f(x­­­1) => f(x)=1/x убывает на промежутке (-∞;0).

Ответ: функция убывает на промежутке (-∞;0)U(0;∞)

5. Экстремумы


Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значение функции в них - экстремумами.

Окрестность точки А - любой интервал, содержащий эту точку.

1) xo называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(x)≤f(xo).

2) xo называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности xo выполняется неравенство f(x)≥f(xo).

1) Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «холма» или «пики».

2) Точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «впадины»

а) y=sin x x max=π/2+2πn; y max=1

x min=-π/2+2πn; y min=-1. n є Z.

б) y=cos x x max=2πn y max=1 x min=π+2πn; y min=-1. n є Z.

в) y=tg x и y=ctg x таких точек не имеют

hello_html_bc45793.gifhello_html_m7f4f086e.gifhello_html_344a54ca.gifhello_html_3debee51.gify y


f(x0)

hello_html_1610537b.gifhello_html_35aad1b8.gifhello_html_m7362b6aa.gifhello_html_m101c539b.gifhello_html_264965c4.gifymax

x0 x

hello_html_35d25d8f.gify xmin

fhello_html_8af88a3.gifhello_html_2033364b.gifhello_html_78e242d4.gif(x0) xmax x

hello_html_79cf69c1.gifhello_html_62a949a8.gifhello_html_12ce13d2.gifymin




hello_html_4d8f23b3.gifx0 x




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 23.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров6
Номер материала ДБ-384417
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх