Опорные конспекты по алгебре: "Комбинаторика", "Статистика", "Вероятность".

9 класс  Подготовка к ОГЭ

Опорный конспект по теме: «Комбинаторика»

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Способы решения комбинаторных задач:

·         Перебор возможных вариантов

·         Построение дерева возможных вариантов

·         Правило умножения

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

а) способ перебора

Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

11	14	17
41	44	47
71	74	77

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

б) построение дерева

Составим специальную схему. Внешне такая схема напоминает дерево, перевернутое корнем вверх, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.    

                                                                               Корень дерева

                                                                                       

                                      

Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел.

Задача 2. . Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Обозначим названия городов  их первыми буквами: В, Р, Ф,  каждая из которых должна быть использована только один раз, например, ВФР или ФРВ. Замену предметов их условными обозначениями называют кодированием. Составим дерево возможных вариантов перемещения туристов.

Варианты путешествия получаются следующие: ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ, что хорошо видно из дерева вариантов.

Путешествие можно начинать в любом из трех городов. Если первой посетить Венецию, то затем можно поехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция, если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые два варианта путешествия.

Таким образом, всего существует 6 вариантов путешествия.

Решите самостоятельно!

Задача 3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

Задача 4. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

Задача 5. Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 2, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

Задача 6. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколько вариантов покупки имеется у покупателя, который хочет приобрести две подушки?

в) правило умножения

Задача 7.  На складе спортклуба есть трусы и майки только трех цветов: белого, черного и синего. Можно ли одеть в форму из них игроков восьми команд для проведения матча, если необязательно, чтобы майки и трусы были одного цвета.

Введем кодирование: Б – белый цвет, С – синий цвет, Ч – черный цвет и составим таблицу.

ББ	БЧ	БС
ЧБ	ЧЧ	ЧС
СБ	СЧ	СС

Здесь первая буква показывает цвет майки, а вторая – цвет трусов. Можно видеть, что получилось девять различных комбинаций, а команд – восемь. Так что все в порядке.

Составляя такие таблицы, можно найти число комбинаций и в случае, когда, например, есть майки различных пяти цветов, а трусы – четырех цветов. В этом случае в таблице будет пять строк и четыре столбца, а потому общее число комбинаций окажется равным 4 · 5, то есть 20. Вообще, если имеются майки т различных цветов и трусы п различных цветов, то общее число комбинаций для составления формы играющих команд равно т · п.

Правило: Если надо выбрать пару вещей, причем первую вещь можно выбрать m способами, а вторую n способами, то пару можно выбрать m · n способами.

Бывает, что надо выбрать не две, а три или четыре вещи. Тогда число комбинаций ищут похожим образом: смотрят, сколькими способами можно выбрать каждую вещь, и перемножают полученные числа.

Решите самостоятельно!

Задача 8. В том же спортивном лагере повар умел готовить четыре различных супа: щи, борщ, молочный суп с лапшой и фасолевый суп. Мясных блюд он умел делать пять: котлеты, зразы, шницели, биточки и суфле. При этом, к каждому мясному блюду он умел делать три гарнира: гречневую кашу, макароны и картофельное пюре. А на сладкое он готовил тоже три блюда: компот, кисель или печеные яблоки. Сколько различных обедов умел готовить этот повар?

Задача 9. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

Задача 10. Данила идет на день рождения к Наташе и хочет подарить два букета – один Наташе, один ее маме. Сколькими способами он может выбрать два букета, если в магазине есть букеты гвоздик, тюльпанов и сирени?

Задача 11. В студии современного танца лучше всех танцуют четыре девочки – Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика – Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на конкурс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Из скольких вариантов он должен выбирать

9 класс. Подготовка к ОГЭ

Опорный конспект по теме: «Статистика»

     Статистика – это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе.      
     Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует спрос и падение производства и потребления.
     Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий.
     Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).
     А ещё есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая и т.д. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Раздел математики, посвящённый методам и правилам обработки и анализа статистических данных, называется математической статистикой.

Статистические характеристики

Для вычисления статистических характеристик необходимо составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.

1. Средним значением ()  некоторого ряда чисел называется его среднее арифметическое, т.е. частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых (Х1, Х2, … - случайные величины).

2. Размахом (R) ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

3. Модой (Mo) ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

4. Медианой (Me) упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине. Медианой упорядоченного ряда с четным числом членов ряда называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Среднее, моду и медиану называют одним термином – центральные тенденции.

Пример 1.

 Проведя в течение месяца учет деталей, изготовленных бригадой рабочих за смену, получили такой ряд данных:

36, ,35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдем статистические характеристики этого ряда чисел, для чего предварительно его упорядочим:

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

Среднее значение:  =         (= 37)

Размах: 39 – 35 = 4      (R = 4)

Мода: 36                       (Мо = 36)

Медиана: 37                 (Ме = 37)

Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицу.

Пример 2

40 учащихся школы выполняли тестовую работу по математике, состоящую из 9 заданий. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был получен такой ряд чисел: 6, 5, 4, 0, 4, 5, 7,  9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8 ,6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8.                                                                                       Составим упорядоченный ряд:   0,   1,   2,   3,3,   4,4,4,4,4,   5,5,5,5,5,5,   6,6,6,6,6,6,6,6,     7,7,7,7,7,7,7,   8,8,8,8,8,   9,9,9,9.  

Представим полученные данные в виде таблицы, в верхней строке которой запишем число верно выполненных заданий, а в нижней – количество появлений этого числа в ряду, т.е. частоту (М).  

Таблица частот

Число верных заданий	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота (М)	1	1	1	2	5	6	8	7	5	4

Сумма частот должна  быть равна общему числу данных в ряду.

(Самостоятельно  найдите для ряда частот статистические характеристики).

Отношение частоты к общему числу данных в ряду, выраженное в процентах, называется относительной частотой (W), а сама таблица – таблицей относительных частот.

Таблица относительных частот

Число верных заданий	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Относительная частота (W), %	2,5	2,5	2,5	5	12,5	15	20	17,5	12,5	10

 Сумма относительных частот должна быть равна 100%.

Например, частота по таблице равна 5, общее число данных в ряду – 40.                              Тогда  относительная частота: · 100% = 0,125 · 100% = 12,5

Вся изучаемая совокупность данных называется генеральной совокупностью.  Если сложно или невозможно провести сплошное исследование совокупности, то выбирается определенная ее часть, которая называется выборкой. При этом выборка должна быть репрезентативной, т.е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Для наглядного представления данных статистического исследования строят круговые и столбчатые диаграммы.

Динамику изменения статистических данных показывают с помощью полигона частот. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых являются величины, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую и называют полигоном.

Государственное  бюджетное общеобразовательное учреждение школа №60

Выборгского района Санкт-Петербурга

                                                                                Учитель: Воронова Лариса Валентиновна

Опорные конспекты по математике

для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе

Цели:

- помочь учащимся 9-х классов повторить и систематизировать материал по темам: комбинаторика, статистика, вероятность;

- отработать навыки решения задач.

Источники:

1. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность».

М., Просвещение, 2007.

2. Бунимович Б. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика. 5—9 классы.

Пособие для общеобразовательных учебных заведений. М.: Дрофа, 2002.

3. Макарычев Ю. Н.  Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей.

Пособие для учащихся 7—9 классов общеобразовательных учреждений. М., Дрофа, 2002.

4.Шевелева Н.В.,  Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс.
М., Национальное образование, 2011.

5. http://www.mathprofi.ru/

9 класс  Подготовка к ОГЭ

Опорный конспект по теме: «Вероятность»

Событием называется любое явление, которое происходит или не происходит, а также результаты   испытаний, опытов, наблюдений, измерений и т.п.

Событие, которое может произойти, а может не произойти, называется случайным событием.

 Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий.

Вероятность случайного события – это отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов.

Если n -  общее число испытаний в каком-то эксперименте,

        m – число испытаний, в которых наступило событие А (благоприятных исходов), то вероятность Р вычисляется по формуле:  Р(А) =  

Решая задачи, нужно придерживаться общей схемы.

1. Определить, в чем состоит случайное событие, и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны.

2. Найти общее число элементарных событий n.

3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число m.

4. Найти вероятность событию  А  по формуле.

          Рассмотрим математическую модель  «игральная кость».

Испытание – бросание игральной кости (кубика).

Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность

                  (игральная кость правильная).

                 Задача 1. Одновременно бросают два кубика (красный и синий) – событие А.

                 Варианты подбрасывания кубиков сведены в таблицу:

                 Верхняя строка – число выпавших очков первого кубика, левая колонка – второго кубика.

	1	2	3	4	5	6
1	11	12	13	14	15	16
2	21	22	23	24	25	26
3	31	32	33	34	35	36
4	41	42	43	44	45	46
5	51	52	53	54	55	56
6	61	62	63	64	65	66

 а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

     Ответ: 36.

б)  Какова вероятность того, что на кубиках выпадет равное количество очков?

      Решение.

      Пары чисел по диагонали: 11, 22, 33, 44, 55, 66 – благоприятные исходы, их 6. 

      Вероятность  Р(А) = =  0, 67                                Ответ: 0,67

в) Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 6?

                                 Решение.

                                  Благоприятными являются исходы: (1 и 1), (1 и 2),(2 и 1), (1 и 3), (3 и 1), (1 и 4), (4 и 1), (2 и 2), (2 и 3), (3 и 2).

                                 Всего 10 исходов.

                                  Тогда Р(А) = =   0,28                                            Ответ: 0,28

                            г) Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет очков больше, чем на втором?

                                Решение.

                                По таблице благоприятными исходами являются те пары чисел, в которых на первом                                     месте стоит большее число (количество очков первого кубика). Это пары: 21, 31, 41, 51, 61, 32, 42, 52, 62, 43, 53, 63, 54, 64, 65.  Всего 15  благоприятных исходов.

                                 Тогда Р(А) =   =  0,4                                               Ответ: 0,4

Задача 2. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий — кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.

Решение:

Всего в задаче указано 4 человека, т.е. n = 4. При этом нас устраивает только один вариант — мама, т.е. m = 1. Имеем: Р(А)= m/n = 1/4 = 0,25.

                                                                                     Ответ: 0,25

 Задача 3.

Миша, Рома, Олег, Паша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Рома.

Решение:

В этой задаче уже 5 имен, т.е. n = 5. Устраивает нас только одно из них — Рома. Поэтому m = 1. Находим вероятность: Р(А) = m/n =1/5 = 0,2.

                                                                                                    Ответ: 0,2

Задача4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Решение.

Фраза «не менее 4 очков» означает, что нас интересует 4, 5 и 6 очков. Поэтому m = 3.

 Всего возможно 6 вариантов (по числу граней кубика), поэтому n = 6. Осталось найти вероятность: Р(А) = m/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

                                                                                                      Ответ: 0,5

Задача 5.

На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Решение

Для начала выясним, сколько всего спортсменов приехало на соревнования: 2 из Великобритании + 2 из Испании + 4 из Швейцарии = 8 спортсменов. Итого: n = 8.

С другой стороны, нас интересуют лишь спортсмены из Испании, которых было двое. Поэтому m = 2. Находим вероятность: Р(А)= m/n =2/8 = 1/4 = 0,25.

                                                                                                       Ответ: 0,25