ОК -2 «Луч. Угол»
ОК-3 Сравнение отрезков и углов
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
 |
 |
В
А
В ⟹
А С
А
С АВ < АС
⟹
 |
∠1 < ∠ 2
 |
Развернутый угол всегда больше неразвернутого угла.
∠hl = ∠lk
ОК – 4 Измерение отрезков
Измерение отрезка - _____________________________________________
_______________________________________________________________
Длина отрезка выражается только ___________________________ числом.
Равные отрезки имеют ________________________ длины.
Меньший отрезок имеет __________________ длину.
. .
.
А С В АВ = ____ + ____
Если АВ в k раз больше отрезка АС, то пишут АВ = ______
Единицы измерения отрезков
основные дополнительные
ОК-5 Измерение углов
Градус – _____________________________________________________
Градусная мера угла - ____________________________________________
________________________________________________________________
∠ АОВ = 1500 ∠ hk = 400
Минута - ______________________________________________________
Секунда - _______________________________________________________
10 = 60' 1' = 60"
Свойства углов:
1. Равные углы имеют равные градусные меры.
2. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
3. Градусная мера прямого угла 900.
4. Градусная мера развернутого угла 1800.
5. Острый угол меньше 900 (меньше прямого).
6. Тупой угол больше 900, но меньше 1800 (больше прямого, но меньше развернутого).
7. 
Если луч
делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер
этого угла.
А С ∠ АОВ = ∠АОС + ∠СОВ
О В
ОК -8 Первый признак равенства треугольников
Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.
Рассуждения называются доказательством теоремы.
теорема
условие заключение
(что дано) (что доказать)
I признак равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними) (СУС)
В
Дано:
АВ = А1В1
А С АС = А1С1
∠А = ∠А1
В1
Доказать:
∆
АВС = ∆А1В1С1
А1 С1
Док-во:
1) ∠А = ∠А1 ⟹ ∆ АВС наложить на ∆А1В1С1, что:
А → А1, АВ → луч А1В1, АС → луч А1С1
2) АВ = А1В1 ⟹ АВ совместится с А1В1 ⟹ В совмест. с В1
3) АС = А1С1 ⟹ АС совместится с А1С1 ⟹ С совмест. с С1 ⟹
ВС совмест. с В1С1 ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А1В1С1 ⟹ ∆ АВС = ∆А1В1С1
Пример.
К
Е Дано:
С СЕ = СМ
СК = СР
М Р Доказать: ∆ СКЕ = ∆
СРМ
Док-во:
1) СЕ = СМ (по условию)
2) СК = СР (по условию) ⟹ ∆ СКЕ = ∆ СРМ ( по I пр.)
3) ∠ КСЕ = ∠РСМ ( как верт.)
ОК-10 Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
АВ = АС ⟹ ∆ АВС -равнобедренный
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
АВ = ВС = АС ⟹ ∆ АВС – равносторонний
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
 |
1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Задача. В равнобедренном треугольнике АВС,
где АВ равняется ВС, периметр равен 20 см, а основание больше
боковой стороны на 2 см. Найдите стороны треугольника.
Дано:
∆ АВС – равнобедр.
РАВС = 20 см
АС – АВ = 2 см
Найти: АВ, АС.
Решение:
Пусть АВ = ВС = 
см, тогда АС = ( + 2) см.
РАВС = АВ + ВС + АС = 20 см
+ + ( + 2) = 20
3
+ 2 = 20
3 = 18
= 6
АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 2 = 8 (см).
Ответ: 6 см, 6 см, 8 см.
ОК - 9 Перпендикуляр к прямой.
Медиана, биссектриса и высота треугольника.
Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки О к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны.(рис.1)
Точка В – основание перпендикуляра.
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Медианой треугольника называется отрезок,_________________________
__________________________________________________________ (рис. 2)
Биссектрисой треугольника называется отрезок_____________________ ________________________________________________________________
__________________________________________________________ (рис. 3)
Высотой треугольника называется перпендикуляр,____________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________ (рис.4)
В треугольнике ______ медианы, _____ биссектрисы,_____ высоты.
Свойства (стр. 34):
1)_______________________________________________________________
________________________________________________________________
2)_______________________________________________________________
________________________________________________________________
3)_______________________________________________________________
________________________________________________________________
Задача 1. Отрезок BD – медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка АС, если отрезок ЕС= 4см?
Дано:
BD - медиана ∆АВС
BE – медиана ∆BDC
ЕС = 4 см
Найти: АС.
Решение:
1) ВЕ – медиана ∆ DВС⟹ DE = EC ⟹ DС = 2EC, DС = 2×4 = 8 см.
2) ВD – медиана ∆ AВС ⟹ AD = DC ⟹ AС = 2DC, AС = 2× 8 = 16 см.
Ответ: АС = 16 см.
Задача 2
. Отрезок AD
– медиана треугольника АВС. Точка Е лежит на луче АD
так, что AD
= DЕ. Докажите, что
треугольник АDВ
равен треугольнику CDE.
Дано:
AD – медиана ∆АВС
AD
= DЕ
Доказать: ∆ АDВ = ∆CDE.
Док-во:
1)
AD
– медиана ∆АВС ⟹ CD
= ВD
2) AD = DЕ (по условию) ⟹ ∆ АDВ = ∆CDE (по I признаку)
3) ∠ ADB = ∠CDE ( как верт.)
ОК -11 Второй признак равенства треугольников
II признак равенства треугольников
(по стороне и двум прилежащим углам) (УСУ):
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В
Дано:
АВ = А1В1
А С ∠А = ∠А1
В1 ∠ В = ∠В1
Доказать:
∆ АВС = ∆А1В1С1
А1 С1
Док-во:
1) Наложить ∆ АВС на ∆А1В1С1 , чтобы:
А совмест. с А1, АВ совмест. с А1В1, С и С1 – по одну сторону от АВ.
2) 
∠А = ∠А1
∠ В = ∠В1 ⟹ АС → луч А1С1, ВС → луч В1С1
3) Верш. С (общая для АС и ВС) → верш. С1(общую для А1С1 и В1С1)⟹
АС совмест. с А1С1, ВС совмест. с В1С1 ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А1В1С1 ⟹ ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Задача. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠ EAD и ∠ EBC равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ равен 7 см?
Дано:
АВ
СD = Е
АЕ = ЕВ
∠ EAD = ∠ EBC
СВ = 7 см
Найти : АD
Решение:
1) 
АЕ = ЕВ (по услов.)
∠ EAD = ∠ EBC (по услов.) ⟹ ∆ DEA = ∆ СEB (по 2 пр.)
∠ DEA = ∠ СEB (верт.)
2) ∆ DEA = ∆ СEB ⟹ АD = СВ = 7 см
Ответ: АD = 7 см
ОК-12 Третий признак равенства треугольников
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
С
С1 Дано:
АВ
= А1В1
АС = А1С1
ВС = В1С1
Доказать:
А В А1 В1 ∆ АВС = ∆А1В1С1
Док-во:
С
1) совместить ∆ АВС и ∆А1В1С1 ,
чтобы:
А совм. с А1, В совм. с В1, С и С1
по
разные стороны от АВ.
А(А1)
В(В1) 2) проведем СС1.
3) ∆
АСС1 – равнобедр. (т.к. АС = А1С1) ⟹
∠1 = ∠2;
С1 ∆ ВСС1 – равнобедр. (т.к. ВС = В1С1) ⟹
∠3 = ∠4.
4) ∠С = ∠1 + ∠3
∠С1 = ∠2 + ∠4 ⟹ ∠С = ∠С1
5) АС = А1С1 (по
условию)
ВС = В1С1 (по условию) ⟹ ∆ АВС = ∆А1В1С1 (по 1 признаку)
∠С = ∠С1
Треугольник –
жёсткая фигура.
ОК-13 Окружность
В О – центр окружности (точка, равноудаленная от
К всех точек окружности)
R - радиус окружности (отрезок, соединяющий
О А центр окружности с любой ее точкой)
ОА - радиус
М КМ – хорда (отрезок, соединяющий две точки
С окружности)
d – диаметр (хорда, проходящая через центр окружности)
СВ – диаметр
Дуга окружности (часть окружности, ограниченная двумя точками)
(рис. 79)
Свойства окружности:
1. Все радиусы одной окружности равны.
2. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
3. Центр окружности является серединой диаметра.
4. Радиус равен половине диаметра.
d = 2R R= d/2
5. При решении задач используются свойства:
ОК-14 Задачи на построение
Замечание: при решении простых задач достаточно второго пункта, в некоторых используют второй и третий пункты.
ОК-16 Аксиома параллельных прямых
Аксиома (от греч. «аксиос» – ценный, достойный) – это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.
Примеры аксиом:
1. Через любые две точки проходит прямая и при том только одна.
2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Аксиома параллельных прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия – утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем.
Следствия из аксиомы параллельных прямых:
1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
ОК-15 Параллельные прямые
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
a
b
a ‖ b
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Две прямые,
перпендикулярные к третьей, параллельны.
а⏊ с
b ⏊ с ⟹ a ‖ b
Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает каждую из них в разных точках.
внутренние накрест лежащие
1 2 ____________________________
3 4 внутренние односторонние
____________________________
5 6
соответственные
7 8 ____________________________
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано:
a, b - прямые
с – секущая
∠1 = ∠2
Доказать:
a ‖ b
Док-во:
1. Если ∠ 1 = ∠ 2 = 90°, то а ⊥ АВ, b ⊥ АВ ⟹ a ‖ b
2. Если ∠ 1 = ∠ 2 ≠ 90°.
1) Через т.О – середину АВ проведем ОС⏊ a.
2) На прямой b от т.В отложим отрезок ВС1 = АС (см. рис).
3) Рассмотрим ∆ ОСА и ∆ ОС1В:
АО = ОВ
(т.к. О –середина АВ)
АС = ВС1 (по построению) ⟹ ∆ ОСА = ∆ ОС1В (по 1 пр)
∠1 = ∠2 (по условию)
4) 
∠3 = ∠4 (т.к. ∆ ОСА
= ∆ ОС1В) ⟹ точки С, О и С1 лежат на одной
прямой
5) ∠5 = ∠6 (т.к. ∆ ОСА = ∆ ОС1В)
∠5 = 900
⟹ ∠6 = 900
6) ∠5 = 900 ⟹ а ⏊ СС1
∠6 = 900 ⟹ b ⏊ СС1 ⟹ a ‖ b
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. (задача 1).
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. (задача 2).
ОК- 17 Свойства параллельных прямых
Теорема
условие (что дано) заключение (что нужно доказать)
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
Теорема 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Дано:
1) a‖b, ∠1 и ∠2 – накрест лежащие
CD – секущая
Доказать: ∠1 = ∠2
Док-во:
2) Допустим, ∠1 
∠2.
3) Проведем прямую ЕС так, что ∠ ECD = ∠ 2.
4) Рассмотрим прямые ЕС и b и секущую CD
∠ ECD и ∠ 2 –
накрест лежащие
∠ ECD = ∠ 2 ⟹ ЕС ‖ b
5) Через точку С проходит две прямые, параллельные прямой b ( ЕС и а), что противоречит аксиоме параллельных прямых.
6) Значит,
предположение, что ∠1 ∠2 неверно ⟹ ∠1 = ∠2 .
Следствие из Т.1. Если
прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она
перпендикулярна и к другой прямой.
а
a‖b
b
c⏊ a ⟹ c ⏊b
c
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Дано:
a‖b, ∠1 и ∠2 – соответственные
с –
секущая
Доказать: ∠1 = ∠2
Док-во:
1) Т.к. a‖b, то по Т.1.
∠2 = ∠3 (как
накрест лежащие)
2) ∠ 1 = ∠ 3 (как вертикальные) ⟹∠1 = ∠2
Теорема 3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Дано:
a‖b, ∠1 и ∠2 – односторонние
с – секущая
Доказать:
∠1 + ∠2 = 1800
Док-во:
1) 
Так как а || b, то по
Т.2. ∠ 1 = ∠ 3 (как
соотв.).
2) ∠ 2 + ∠ 3 =180° (как смежные). ⟹ ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.
ОК-18 Сумма углов треугольника
Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано:
∆АВС
Док-ть: ∠А +∠В +∠С = 180о
Док-во:
1) Проведем через верш.В прямую а‖АС
2) 
а‖АС, АВ
–сек.
∠1
и ∠4 – накр.
леж. ⟹ По т.1 ∠1= ∠4
3) а‖АС, ВС
–сек.
∠3 и ∠5 – накр.
леж. ⟹ По т.1 ∠3= ∠5
4) ∠4 +∠2 +∠5 = 180о(как
развернутый)
∠4= ∠1 ⟹∠1 +∠2 +∠3 = 180о ⟹
∠5= ∠3 ∠А +∠В +∠С = 180о
Следствия.
1. Углы равностороннего треугольника равны по 60°.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.
∠1 –
внешний для ∠А
∠2 – внешний для ∠С
Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Дано:
∆АВС
∠4 – внешний для ∠3
Док-ть:
∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4
Док-во:
1) 
∠ 3 + ∠ 4 = 180°(смежн.)
2) ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (по теор. о сумме углов треуг.) ⟹∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4
ОК-21 Неравенство треугольника
Теорема. Длина
любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Дано:
∆ АВС
Док-ть: АВ < AC + BС
Док-во:
1) На продолжении АС проведем СЕ = ВС.
2) ∆ ВСЕ – равнобедренный (СЕ = ВС) ⟹ ∠ 1 = ∠ 2.
3) Рассмотрим ∆ АВЕ: ∠ АВЕ > ∠ 1 ⟹ ∠ АВЕ > ∠ 2
4) 
∠ АВЕ > ∠ 2 ⟹ АВ < AE
АЕ = АС + СЕ ⟹ АВ < AC + BС
СЕ = ВС
Следствие 1. Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы следующие неравенства:
А
АВ
< AC + BC,
AC < AB + BC,
В С BC < AB + AC
Следствие 2. Длина каждой стороны треугольника больше разности длин двух других его сторон.
ОК-22 Некоторые свойства прямоугольных треугольников
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Дано:
∆АВС –прямоуг.
∠А
= 300
Доказать: СВ = 
АВ
Док-во:
1) ∆ АВС – прямоугольный ⟹∠А + ∠В = 900 ⟹
∠В = 900 - ∠А = 900 – 300 = 600
2) Приложим к ∆АВС равный ему ∆АDС ( как на рисунке)
3) В ∆АDВ: ∠А = 300 + 300 =600, ∠В = ∠D = 600 ⟹ ∆АDВ - равностор. ⟹ ВD = AB
4) 
ВD = AB
ВС = 
ВD ⟹ ВС = АВ
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Дано:
∆АВС –прямоуг.
СВ = АВ
Доказать: ∠А = 300
Док-во:
1) Приложим к ∆АВС равный ему ∆АDС ( как на рисунке)
2) В ∆АDВ: АD = АВ, DВ = 2 ВС =
2 ∙ АВ = АВ ⟹ АD=АВ=DВ⟹
∆АDВ - равностор.⟹ ∠А = ∠В = ∠D = 600
3) 
∠А = 600
∠DАВ = 2∠ВАС ⟹ ∠ВАС = ∠DАВ = 300
ОК-24 Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
Расстояние между точками А и В – длина отрезка АВ.
А
АН – перпендикуляр к прямой а
АВ - наклонная
а АН
< АВ
Н В
Ø Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
) = АН –
расстояние от точки А до прямой а
Свойство параллельных прямых:
все точки каждой
из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. a
D
C
a‖b ⟹
)=
)
b
Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра.
(а, b) = AМ = ВN - расстояние
между параллельными прямыми
Замечания:
Ø Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой и находящиеся на равном расстоянии от неё, лежат на прямой параллельной данной.
Ø Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной.
ОК-23 Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема 1 (по двум катетам).
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоуг.
АС =А1С1
СВ = С1В1
Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1
Док-во:
1) 
АС =А1С1
2) СВ = С1В1 ⟹ ∆АВС = ∆А1В1С1 (по I признаку)
3) ∠С = ∠С1 = 900
Теорема 2 (по катету и прилежащему острому углу).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоуг.
АС =А1С1
∠А = ∠А1
Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1
Док-во:
1) АС =А1С1
2) ∠А = ∠А1 ⟹ ∆АВС = ∆А1В1С1 (по II признаку)
3) ∠С = ∠С1 = 900
Теорема 3 (по гипотенузе и острому углу).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоуг.
АВ =А1В1
∠А = ∠А1
Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1
Док-во:
1) ∆АВС – прямоуг. ⟹ ∠А + ∠В = 90° ⟹ ∠В = 90° – ∠А
∆А1В1С1 – прямоуг.⟹∠А1 + ∠В1 = 90°⟹∠В1 = 90° – ∠А1 ⟹∠В = ∠В 1
∠А = ∠А1
2) АВ =А1 В1
∠А = ∠А1 ⟹ ∆АВС = ∆А1В1С1 (по II признаку)
∠В = ∠В1
Теорема 4 (по гипотенузе и катету).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
∆АВС и ∆А1В1С1 – прямоуг.
АВ =А1В1
АС = А1С1
Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1
Док-во:
1) Совместим ∆АВС и ∆А1В1С1 как на рисунке.
2) АВ =А1В1 ⟹∆ВАВ1 – равнобедр.
∠С = ∠С1 = 900 ⟹ АС – высота и медиана ⟹В1С1 = ВС
3) 
АС = А1С1
В1С1 = ВС ⟹ ∆АВС = ∆А1В1С1 (по двум катетам)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 207 материалов в базе
«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Больше материалов по этому УМК
Настоящий материал опубликован пользователем Александрова Татьяна Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.