Опорные конспекты по геометрии "Скалярное произведение векторов" 11 класс

Угол между векторами

Ранее мы с вами рассматривали угол между двумя векторами на плоскости.

Если от точки О отложить векторы ОА и ОВ, равные векторам  и , соответственно, тогда угол АОВ будет являться углом между векторами  и .

Обозначают угол между векторами таким образом: . То есть знак угла будем ставят над векторами.

Примеры:

Два вектора пространства могут лежать на пересекающихся и параллельных прямых, а могут лежать на скрещивающихся прямых.

Первой рассмотрим пару сонаправленных векторов.

Видим, что угол между ними равен нулю.

Также угол между векторами равен нулю, если один из них является нулевым или оба вектора нулевые.

Ведь нулевой вектор сонаправлен любому, а значит, эти случаи можно отнести к первому, где рассматривались сонаправленные векторы.

Теперь рассмотрим пару противоположно направленных векторов, отложенных от одной точки.

Видим, что угол между ними равен ста восьмидесяти градусам.

Ещё одним частным случаем являются векторы, угол между которыми равен 90^о. Такие векторы называют перпендикулярными.

Повторив всё об углах между векторами, можем приступить к решению задач по этой теме.

Задание: рассмотрим куб АBCDА₁B₁C₁D₁. Найдём углы между данными векторами.

Решение:

Задание: известно, что величина угла между векторами АB и CD равна . Найдите величины углов между векторами ВА и DC, BА и CD, АB и DC.

Решение:

Скалярное произведение векторов

Как и на плоскости, скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Задание: по рисунку определить величину угла между векторами.

Рассмотрим куб АBCDА₁B₁C₁D₁, сторона которого равна a, а точка О₁ — центр грани А₁B₁C₁D₁.

Можно заметить, что, если угол между векторами острый, то скалярное произведение больше нуля. А если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение меньше нуля. И только лишь когда векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, конечно, имеется в виду, что рассматриваемые векторы ненулевые.

На плоскости скалярное произведение двух векторов равнялось сумме произведений соответствующих координат. В пространстве имеет место такая же формула.

Задание: по координатам векторов ,  и  найти значения выражений: , , , , .

Решение:

Задание: пользуясь координатами векторов , , , выяснить, каким является угол между парами векторов: острым, прямым или тупым.

а)                             б)                             в)

Решение:

Формула вычисления косинуса угла между векторами по их координатам.

Задание: найти угол между векторами  и .

а) , , б) , , в) , , г) , , д) , .

Решение:

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Вы уже знакомы с понятиями угла между прямыми и угла между векторами. А также знаете, что такое двугранный угол и угол между прямой и плоскостью.

Вычисление углов между прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Определение:

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.

Задача: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q.

Итак, возможны два случая.

Если угол  между направляющими векторами острый, то он равен углу между прямыми .

И если угол  между направляющими векторами тупой, то угол  между прямыми равен 180^о – .

Так как в первом случае косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами.

Ну, а во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае.

Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90^о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин.

А сейчас найдём угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора к прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Вам уже известно, что углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за . А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за .

Эти углы в сумме дают 90^о (то есть углы  и  являются дополнительными). А нам известно, что синус угла равен косинусу дополнительного угла. Это означает, что .

Ну, а  между векторами  и  мы без труда найдём по уже известной формуле:

Но ведь возможен и случай, когда угол между векторами  и  тупой.

Тогда углы  и  являются дополнительными, то есть их сумма равна .

Отсюда можно записать, что .

Ну, а формула косинуса угла между векторами нам уже известна.

Чтобы объединить две полученных формулы в одну, можно вспомнить, что синус угла от нуля до 180^о  является числом неотрицательным. Тогда можно записать, что

Таким образом, мы получили формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Причём правые части эти формул абсолютно совпадают.

Отличие лишь в том, что две прямые задают направляющие векторы.

А прямую и плоскость — направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости.

Такой вектор называют нормальным вектором к плоскости.

Решим несколько задач.

Задача:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой  направляющим может является вектор , а для прямой
 — вектор .

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер  и  за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка  равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек , ,  и .

Точка . Точка . Точка . А точка .

Теперь не трудно найти координаты векторов  и  как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор . А вектор .

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Теперь найдём угол между прямыми  и .

В качестве направляющих векторов для данных прямых удобно взять векторы  и .

Найдём координаты точек ,  и .

Точка А имеет координаты . Точка . А точка .

Тогда вектор . А вектор .

Подставим значения координат направляющих векторов в формулу косинуса угла между прямыми.

В ходе вычислений получаем

Задача:  тетраэдр. . , а .

Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер  и , и плоскостью: а) ; б) ; в) .

Решение: По условию рёбра ,  и  взаимно перпендикулярны. Поэтому можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат.

Тогда зная длины рёбер ,  и  не трудно отметить единичные отрезки и определить координаты всех вершин.

Мы с вами будем находить синус угла между прямой и каждой из данных плоскостей.

Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер  и , пусть это будут точки  и . И для вычисления синуса угла нужно знать координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор .

Координаты точки  найдём как координаты середины отрезка . Каждая из них равна полусумме соответствующих координат точек  и . Так получаем,

, .

Аналогично найдём координаты точки , как полусумму соответствующих координат точек  и . Получаем , .

Теперь можем найти координаты вектора как разности соответствующих координат.

Получаем, что направляющий вектор данной прямой имеет координаты .

Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней.

Задача: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен .

Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба.

Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми .

Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба.

Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О₁, О₂ и О₃.

А теперь найдём координаты векторов ОО₁ и О₂О₃, которые являются направляющими для данных прямых.

Вектор . А вектор .

Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов.

В ходе вычислений получаем, что

А значит, угол между прямыми .

Что и требовалось доказать.

Краткое описание документа:

Опорные конспекты по геометрии по теме "Скалярное произведение векторов" (11 класс) помогают учащимся эффективно усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по устранению пробелов в математической подготовке. Конспекты содержат теоретический материал по данной теме, образцы решений типовых примеров и упражнений, дается алгоритм выполнения элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу.