Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Опорные конспекты по математике для 6 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Опорные конспекты по математике для 6 класса

библиотека
материалов










hello_html_901644c.gif


















Г.Усолье-Сибирское


СЛОЖЕНИЕ.


1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма


Свойства сложения.


1. Переместительное. а + b = b + a

От перестановки слагаемых сумма не меняется.


2. Сочетательное. а + ( b + с ) = ( а + b ) + c

Чтобы к числу а прибавить сумму чисел b и с, можно к сумме чисел

а и b прибавить число с.


3. Свойство нуля. а + 0 = 0 + а = а

Если к числу прибавить 0, то получится то же число.


_____________________________________________________________



ВЫЧИТАНИЕ


уменьшаемое - вычитаемое = разность


Свойства вычитания.


1. Вычитание суммы из числа. а – ( b + c ) = а – b – с

Чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть каждое

слагаемое.


2. Вычитание числа из суммы. ( а + b ) – c = a + ( bc )

( а + b ) – c =( ac ) + b

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть это число из одного

слагаемого и к разности прибавить второе слагаемое.


3. Свойства нуля. а – 0 = а ; а – а = 0

Если из числа вычесть 0, то получится то же число.

Если из числа вычесть это же число, то получится 0.




УМНОЖЕНИЕ


1 множитель · 2 множитель = произведение


Свойства умножения.


1. Переместительное. а · b = b · a

От перестановки множителей, произведение не меняется.


2. Сочетательное. а · ( b · с ) = ( а · b ) · c

Чтобы число а умножить на произведение чисел b и с, можно

произведение чисел а и b умножить на число с.


3. Распределительное. ( а + b ) · с = ас + bc, ( а - b ) · с = ас – bc

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое

умножить на это число и полученные результаты сложить.


3. Свойство единицы. 1 · а = а · 1 = а

Если число умножить на 1, то получится то же число.


4. Свойство нуля. а · 0 = 0 · а = а

Если число умножить на 0, то получится 0.



ДЕЛЕНИЕ


делимое : делитель = частное


Свойства деления.


1. Свойство единицы. а : 1 = а; а : а = 1

Если число разделить на 1, то получится то же число.

Если число разделить само на себя, то получится 1.


2. Свойство нуля. 0 · а = 0

Если 0 разделить на число, то получится 0.

ДЕЛИТЬ НА 0 НЕЛЬЗЯ !!!

_______________________________________________________________

УРАВНЕНИЯ


Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число

(переменную).

Корень уравнения – это значение переменной, при котором

уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнениезначит найти все его корни или

доказать, что корней нет.


1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть (от суммы отнять) известное слагаемое.

348 + х = 590

х = 590 – 348

х = 242


2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

х – 24 = 38

х = 38 + 24

х = 62


3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

124 – х = 32

х = 124 – 32

х = 92


4) Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

35 · х = 105

х = 105 : 35

х = 3


5) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х : 15 = 8

х = 8 · 15

х = 120


4) Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

325 : х = 13

х = 325 : 13

х = 25

ДРОБИ


Обыкновенные дроби.


Дробь ( hello_html_39a34c71.gif) одна или несколько равных долей целого.

а – числитель, b – знаменатель.


Знаменатель дроби показывает на сколько равных частей разделено целое.

Числитель дроби показывает сколько таких частей взято.


hello_html_m3907a0ac.gif- половина, hello_html_m233bf45f.gif - треть, hello_html_6a148f9f.gif - четверть


Деление и дроби: а : b = hello_html_39a34c71.gif, 3 : 4 = hello_html_m89a4988.gif


Правильная дробьдробь, у которой числитель меньше знаменателя.

hello_html_m89a4988.gif< 1


Неправильная дробьдробь, у которой числитель больше или

равен знаменателю.

hello_html_m2416ae57.gif= 1, hello_html_m341de10.gif > 1


Смешанное число: 1hello_html_78853b40.gif = 1 + hello_html_78853b40.gif; ( 1 – целая часть, hello_html_78853b40.gif - дробная часть )



Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо числитель разделить на знаменатель. Частное записать целой частью, остаток – числителем дробной части, знаменатель оставить прежним.


hello_html_63823498.gif= 27 : 4 = 6hello_html_m89a4988.gif


Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель. Полученное число записать в числитель неправильной дроби, знаменатель оставить прежним.


6hello_html_m89a4988.gif = hello_html_m628099de.gif = hello_html_63823498.gif


Действия с обыкновенными дробями.


  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.


При сложении дробей с одинаковыми знаменателями, числители складывают, а знаменатель оставляют прежним.

Если получается неправильная дробь, выделяют целую часть.

hello_html_78605497.gif+ hello_html_m69acc8a6.gif = hello_html_416bf58d.gif; hello_html_m1e972754.gif + hello_html_m78523bb3.gif = hello_html_5095069a.gif = 1hello_html_m1e972754.gif


  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.


При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют прежним.

hello_html_282e534e.gif- hello_html_m87a742c.gif = hello_html_m662c7288.gif


  1. Сложение смешанных чисел.


При сложении смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно – дробные.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделяют из нее целую часть и прибавляют к целой части.

3hello_html_m1e972754.gif + 1hello_html_59f000e1.gif = ( 3 + 1 ) + ( hello_html_m1e972754.gif + hello_html_59f000e1.gif ) = 4 + hello_html_59386e9c.gif = 4hello_html_59386e9c.gif


3hello_html_282e534e.gif + 2hello_html_me96e67.gif = ( 3 + 2 ) + ( hello_html_282e534e.gif + hello_html_me96e67.gif ) = 5 + hello_html_m49ad04e1.gif = 5 + 1hello_html_m662c7288.gif = 6hello_html_m662c7288.gif


  1. Вычитание смешанных чисел.


При вычитании смешанных чисел отдельно находят разность целых и дробных частей.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, берут 1 из целой части, представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем и прибавляют к дробной части уменьшаемого.


2hello_html_59386e9c.gif − 1hello_html_m1e972754.gif = ( 2 – 1 ) + ( hello_html_59386e9c.gifhello_html_m1e972754.gif ) = 1 + hello_html_59f000e1.gif = 1hello_html_59f000e1.gif


6hello_html_m7c4663e7.gif − 2hello_html_m779df46f.gif = 5hello_html_4fd64a9d.gif − 2hello_html_m779df46f.gif = ( 5 − 2 ) + ( hello_html_4fd64a9d.gifhello_html_m779df46f.gif ) = 3 + hello_html_m779df46f.gif = 3hello_html_m779df46f.gif


4 − hello_html_68645ffe.gif = 3hello_html_2d783ac4.gifhello_html_68645ffe.gif = 3 + ( hello_html_2d783ac4.gifhello_html_68645ffe.gif ) = 3 + hello_html_78605497.gif = 3hello_html_78605497.gif



Десятичные дроби.


Особая запись дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., в которой целая часть отделяется от дробной запятой, а знаменатель не пишется.


6hello_html_m1bbbc207.gif = 6,3 ; 7hello_html_m465795d9.gif = 7hello_html_575267fa.gif = 7,021


Разложение числа по разрядам. 0,456 = 0,4 + 0, 05 + 0, 006

десятые сотые тысячные


Действия с десятичными дробями.



Сложение и вычитание десятичных дробей.


  1. Уравнять количество знаков после запятой.

  2. Записать запятую под запятой.

  3. Выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания на запятые.

  4. Поставить в ответе запятую под запятыми.


2 , 3 6 7 , 9 0

+ −

3 , 2 6 3 , 4 6

_____________ ___________

5 , 5 6 4 , 4 4


Умножение десятичных дробей.


  1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (последняя цифра под последней цифрой).


  1. Отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

3 , 5

hello_html_41b1474e.gif

0 , 3

_____________

1 , 0 5



Деление десятичных дробей на натуральное число.


  1. Если целая часть делимого больше делителя или равна ему, то нужно делить, не обращая внимания на запятую, а в частном ставить запятую тогда, когда заканчивается деление целой части.


  1. Если целая часть делимого меньше делителя, то сначала в частном пишется 0 и ставится запятая, а затем продолжают деление, не обращая внимания на запятую в делимом.


_ 2 3 , 0 4 |‌_4_ _ 1 , 4 4 |_6

2 0 5,76 1 2 0,24

_ 3 0 _ 2 4

  1. 8 2 4

_ 2 4 0

2 4

0



Деление десятичных дробей на десятичную дробь.



1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр,

сколько их после запятой в делителе.


  1. Выполнить деление дроби на натуральное число.


1 , 4 4 : 0 , 0 0 1 2 = 1 4 4 0 0 : 1 2 = 1 2 0 0


1 , 2 5 : 0 , 5 = 1 2 , 5 : 5 = 2 , 5


Умножение и деление десятичных дробей

на 10, 100, 1000 и т.д.; на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.


  1. При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. или делении на 0,1; 0,01, 0,001 и т. д., запятую передвигают вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.


3 , 2 5 8 ·1 0 0 = 3 2 5 , 8 5 , 6 7 : 0 , 1 = 5 6 , 7


  1. При делении на 10, 100, 1000 и т. д. или умножении на 0,1; 0,01, 0,001 и т. д., запятую передвигают влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

3 2 , 5 8 : 10 = 3 , 2 5 8 5 6 , 7 · 0 , 0 1 = 0 , 5 6 7



ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.


Делителем натурального числа а называется натуральное число,

на которое число а делится без остатка.


Кратным натурального числа а называется натуральное число,

которое делится без остатка на а.



Признаки делимости.


Число делится на

2

5

10

Если оно оканчивается на

0, 2, 4, 6, 8

0 или 5

0


Число делится на

3

9

Если сумма цифр числа делится на

3

9



Простыми числами называются числа, имеющие два делителя

(1 и само число).


Составными числами называются числа, имеющие более двух

делителей.

Разложить число на простые множители - значит представить это число в виде произведения простых чисел.



756 2 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7; 675 3 675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5;

378 ‌ 2 225 3

189 3 75 3

63 3 25 5

21 3 5 5

7 7 1

1



Примечание: делитель меняется на следующий, когда число перестает делиться на предыдущий.



Наибольший общий делитель натуральных чисел – это

наибольшее натуральное число, на которое все данные числа

делятся без остатка.


Д(36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; Д(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48;

НОД(36;48) = 12


Взаимно простыми числами называются натуральные числа,

НОД которых равен 1.


Наименьшее общее кратное натуральных чисел – это

наименьшее натуральное число, которое делится без остатка

на все данные числа.


К(12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .

К(9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, . . .

НОК(12;9) = 36


Чтобы найти НОД и НОК натуральных чисел, надо:


НОД

НОК

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Подчеркнуть одинаковые множители в данных

разложениях.

3. Найти произведение подчеркнутых множителей в одном из разложений.

3. Одно из чисел умножить на оставшиеся множители других разложений.


54 2 36 2 НОД(54;36) = 2 · 3 · 3 =18;

27 3 18 2

9 3 9 3 НОК(54;36) = 54 · 2 = 108

3 3 3 3 = 36 · 3 = 108.

1 1


84 2 28 2 36 2 НОД(84;28;36) = 2 · 2 = 4;

42 2 14 2 18 2

21 3 7 7 9 3 НОК(84;28;36) = 84 · 3 =252

7 7 1 3 3 = 28 · 3 · 3 = 252

1 1 = 36 · 7 = 252.


Если число а делится без остатка на b, то НОД( а;b )= b, а НОК( а;b ) = а.


Если числа а и b - взаимно простые, то НОК( а;b ) = a · b.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров247
Номер материала ДВ-008293
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх