Опорные конспекты по математике 7 - 9 класс

• 1 слайд

  1;2;3;4;5;6;…
  Q
   
  0
  -1; -2; -3; -4; …
  Z
  N :
  R
   
  N – множество натуральных чисел Z – множество целых чисел Q – множество рациональных чисел
  R – множество действительных чисел
  Действительные числа
  

• 2 слайд

• 1 слайд

  Квадратные корни
   
   
   
  

• 2 слайд

  х² = а
  

• 3 слайд

• 4 слайд

• 1 слайд

  Рациональные выражения
  Целые выражения
  Дробные выражения
  Рациональные дроби
  Частный случай
  Тождественно равные выражения
  ( тождества)
  Основное свойство дроби
  Действия с рациональными дробями
  1) Сложение и вычитание
   
   
  

• 2 слайд

  2) Умножение и деление
  3) Возведение произведения и дроби в степень
  

• 3 слайд

  Определение. Выражение, составленное из чисел и переменных с
  помощью действий сложения, вычитания, умножения,
  а также деления на число, отличное от нуля, называется
  целым выражением. Если выражение помимо действий
  сложения, вычитания и умножения содержит деление на
  выражение с переменной, то это выражение называется
  дробным выражением.
  Целые и дробные выражения называют рациональными
  выражениями.
  Определение. Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены,
  называется рациональной дробью.
  Определение. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл
  называют допустимыми значениями переменных
  Основное Если числитель и знаменатель рациональной дроби
  свойство умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то
  дроби получится равная ей дробь.
  Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех
  допустимых значениях входящих в него переменных.
  

• 4 слайд

  Правило. Чтобы сложить две рациональные дроби с одинаковыми знаменателями,
  надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
  Правило. Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми
  знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель
  второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
  Правило. Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями надо привести дроби
  к наименьшему общему знаменателю и сложить полученные дроби с
  одинаковыми знаменателями.
  Правило. Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с разными
  знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю
  и выполнить вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
  Правило. Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить их числители,
  перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем,
  а второе - знаменателем дроби.
  Правило. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить
  на дробь, обратную второй.
  Правило. Чтобы возвести произведение в степень, надо возвести в эту степень
  каждый множитель.
  Правило. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и
  знаменатель, первый результат записать в числителе, а второй – в
  знаменателе дроби.
  
  

• 1 слайд

   
   
   
   
   
   
   
  Формулы сокращённого умножения
  - квадрат суммы
  - квадрат разности
  разность
  квадратов
  - куб
  суммы
  - куб
  разности
  - сумма
  кубов
  - разность
  кубов
  

• 2 слайд

   
  - квадрат суммы двух выражений равен
  квадрату первого выражения плюс
  удвоенное произведение первого и второго
  выражений плюс квадрат второго выражения
   
  - квадрат разности двух выражений равен
  квадрату первого выражения минус
  удвоенное произведение первого и второго
  выражений плюс квадрат второго выражения
   
  - разность квадратов двух выражений равна
  произведению разности этих выражений
  и их суммы
   
  - куб суммы двух выражений равен
  кубу первого выражения плюс
  утроенное произведение квадрата первого
  выражения и второго плюс утроенное
  произведение первого и квадрата второго
  выражений плюс куб второго выражения
   
  - куб разности двух выражений равен
  кубу первого выражения минус
  утроенное произведение квадрата первого
  выражения и второго плюс утроенное
  произведение первого и квадрата второго
  выражений минус куб второго выражения
  

• 3 слайд

   
   
  разность кубов двух выражений
  равна произведению разности
  этих выражений и неполного
  квадрата их суммы
  сумма кубов двух выражений
  равна произведению суммы
  этих выражений и неполного
  квадрата их разности
  

• 1 слайд

  Квадратные уравнения
  Полные
  Неполные
  Приведенные
   
   
   
   
   
   
   
   
  Теорема Виета
   
   
  Теорема Виета
   
   
   
  

• 2 слайд

• 1 слайд

  у
  х
  1
  у = 2х²
  Графики функций у = ах²
  у = - 2х²
  у = 𝟏 𝟐 х²
  у = - 𝟏 𝟐 х²
  у = - х²
  у = х²
  График функции у = ах² представляет собой параболу, проходящую через начало координат, причём её ветви направлены вверх, если а>𝟎 и направлены вниз, если а< 𝟎
  

• 2 слайд

  -3
  у
  х
  1
  -3
  Графики функций у = ах²+n
  Y = 𝟏 𝟐 𝐱 𝟐 −𝟑
  О
  Y = 𝟏 𝟐 𝐱 𝟐 +𝟑
  Y = 𝟏 𝟐 𝐱 𝟐
  
  График функции у = ах²+ n можно получить из графика функции у = ах² сдвинув на n единиц вверх , если n >𝟎 и на n единиц вниз, если n <𝟎
  

• 3 слайд

  у
  х
  1
  - 5
  у = 2х²
  3
  у = 2∙(х-3)²
  у = 2∙(х+5)²
  О
  Графики функций у = а(х+m)²
  
  График функции у = а(х + m)² можно получить из графика функции у = ах² сдвинув на m единиц влево , если m >𝟎 и на
  m единиц вправо, если m <𝟎
  
  

• 4 слайд

  у
  х
  1
  -3
  у = - х²
  Графики функций у = а(х+m)² +n
  
  у = - х²
  у = - ( х - 2)² + 4
  у = - (х-2)² + 4
  М(2;4)
  -m
  n
  +2
  4
  
  Вершиной параболы у = а(х + m)² + n является точка с координатами ( −𝒎;𝒏 )
  
  

• 5 слайд

  Алгоритм построения графика функции вида у = а( х + m)² + n
  
  М( - m; n )- вершина параболы.
  
  Строим таблицу
  
  
  3. Строим график функции по точкам
  
  

• 6 слайд

  Алгоритм построения графика функции вида у = ах² +bx + c
  
  
  1. 𝒙 𝟎 = − 𝒃 𝟐𝒂 , 𝒚 𝟎 = − 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟒𝒂 - координаты
  вершины параболы.
  
  
  2. Строим таблицу
  
  
  3. Строим график функции по точкам
  
  

• 1 слайд

  Числовые неравенства
  Свойства
   
   
   
   
   
   
   
  Следствие.
   
  

• 2 слайд

   
   
   
  +
   
   
   
   
  Следствие.
  

• 3 слайд

• 1 слайд

  Свойства степеней
   
   
   
   
   
  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  

• 2 слайд

  При умножении двух степеней с одинаковыми основаниями
  основание оставляют прежним, а показатели складывают
  При делении двух степеней с одинаковыми основаниями основание
  оставляют прежним, а показатели вычитают
  При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели умножают
  При возведении в степень произведения в эту степень возводят каждый множитель.
  При возведении в степень дроби в эту степень возводят числитель и знаменатель отдельно.
  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  

• 1 слайд

  Соотношения между сторонами и углами треугольника
  а
  b
  c
  ∝
  sin ∝ = b c
  𝒄𝒐𝒔 ∝ = 𝒂 𝒄
  𝒕𝒈 ∝ = 𝒃 𝒂
  𝑪𝒕𝒈 ∝ = 𝒂 𝒃
  𝒕𝒈 ∝ = 𝒔𝒊𝒏∝ 𝒄𝒐𝒔∝
  𝑪𝒕𝒈 ∝ = 𝒄𝒐𝒔∝ 𝒔𝒊𝒏∝
  𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶=𝟏 −основное
  тригонометрическое тождество
  𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒃𝒄∙𝒄𝒐𝒔∝
  - теорема косинусов
  𝐚 𝐬𝐢𝐧∝ = 𝐛 𝐬𝐢𝐧𝛃 = 𝐜 𝐬𝐢𝐧 𝛄 =𝟐𝐑
  - теорема синусов
  а
  b
  c
  ∝
  𝜷
  𝜸
  ∝ + 𝜷+ 𝜸=𝟏𝟖𝟎°
  сумма углов треугольника
  

• 2 слайд

  Значения тригонометрических функций
  

• 3 слайд

  Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника
  называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника
  называется отношение прилежащего катета к гипотенузе
  Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
  называется отношение противолежащего катета к прилежащему
  Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника
  называется отношение прилежащего катета к противолежащему
  Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
  двух других его сторон минус удвоенное произведение
  этих сторон на косинус угла между ними.
  Теорема синусов. Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих
  углов равны и равны удвоенному радиусу описанной около
  треугольника окружности.
  Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180ᵒ.
  

• 4 слайд

  Площадь треугольника
  h
  𝑺= 𝟏 𝟐 𝒂∙𝒉
  a
  a
  h
  𝑺= 𝟏 𝟐 𝒂∙𝒉
  1)
  2)
  ∝
  b
  𝑺= 𝟏 𝟐 𝒂∙𝒃∙ sin 𝜶
  а
  а
  b
  𝑺= 𝒑∙(𝒑−𝒂)∙(𝒑−𝒃)∙(𝒑−𝒄)
  c
  3)
  где р – полупериметр треугольника
  ( формула Герона)
  

• 5 слайд

  1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
  2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения
  его катетов.
  3. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как
  основания.
  4. Если два треугольника имеют по одному равному углу, то их площади
  относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
  5. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
  коэффициента подобия.
  6. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус
  угла между ними.
  Формула Герона.
  
  где р – полупериметр треугольника.
  𝑺 ∆ = 𝒑∙(𝒑−𝒂)∙(𝒑−𝒃)∙(𝒑−𝒄) ,
  

• 6 слайд

  Скалярное произведение векторов
  𝒂
  𝒃
  𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒂 𝒃 )
  Теорема. Если 𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏 , 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐 , то
  𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟏 ∙ 𝒚 𝟐
  𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐 <=> 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟏 ∙ 𝒚 𝟐 =𝟎 ,
  𝒂 ≠𝟎, 𝒃 ≠𝟎
  Следствия.
  Если 𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏 , 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐 , то cos𝜶= 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟏 ∙ 𝒚 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚 𝟏 𝟐
  

• 7 слайд

  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
  
  Теорема. Скалярное произведение векторов 𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏 и 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐
  выражается формулой
  
  Следствия. 1. Ненулевые векторы 𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏 и 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐
  перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное
  произведение равно нулю.
  2. Косинус угла 𝜶 между ненулевыми векторами 𝒂 𝒙 𝟏 ; 𝒚 𝟏
  
  и 𝒃 𝒙 𝟐 ; 𝒚 𝟐 выражается формулой
  
  
  𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟏 ∙ 𝒚 𝟐
  cos𝜶= 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟏 ∙ 𝒚 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚 𝟏 𝟐
  

• 1 слайд

  В
  А
  О
  К
  С
  Е
  ОА - радиус окружности
  О - центр окружности
  ВС – диаметр окружности
  КЕ - хорда окружности
  a
  R
  d
  a
  d < R
  R
  d
  d = R
  R
  d
  a
  d ˃ R
  Взаимное расположение прямой и окружности
  

• 2 слайд

  А
  ∠А – вписанный в окружность
  М
  N
  ∠МОN - центральный
  О
  ∠MAN= 𝟏 𝟐 ∙ 𝑴𝑵
  ∠MON= 𝑴𝑵
  А
  В
  𝜶
  О
  l
  С = 2𝝅𝑹–длина окружности
  С = 𝝅d
  
  l = 𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎° ∙𝜶– длина дуги
  окружности
  𝑺 круга =𝝅 𝑹 𝟐
  𝑺 сек. = 𝝅 𝑹 𝟐 𝟑𝟔𝟎 ∙𝜶
  

• 3 слайд

  Определения. Окружностью называется множество точек плоскости,
  находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки
  (центра окружности). Отрезок, соединяющий центр
  окружности с любой точкой окружности, называется
  радиусом окружности. Отрезок, соединяющий две точки
  окружности называется хордой окружности. Хорда,
  проходящая через центр окружности , называется диаметром
  окружности.
  
  Взаимное расположение прямой и окружности
  
  Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то
  то прямая и окружность имеют две общие точки.
  Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то
  то прямая и окружность имеют одну общую точку.
  Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то
  то прямая и окружность не имеют общих точек.
  
  

• 4 слайд

  Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны
  пересекают окружность, называется вписанным.
  Определение. Угол, вершина которого лежит в центре окружности ,
  называется центральным.
  Теорема. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую
  опирается.
  Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
  опирается.
  Следствия. 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
  равны.
  2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,
  прямой.
  Теоремы. Длина окружности находится по формулам
  или , где R – радиус окружности, d – диаметр .
  
  Длина дуги окружности
  
  Площадь кругового сектора
  С = 2𝝅𝑹
  С = 𝝅d
  l = 𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎° ∙𝜶
  𝐒 сек. = 𝛑 𝐑 𝟐 𝟑𝟔𝟎 ∙𝛂
  

• 5 слайд

  R
  р
  А
  О
  Теоремы о касательной
  1)
  2)
  R
  А
  О
  В
  С
  1
  2
  3
  4
  p ⏊ R
  AB = AC
  ∠ 3 = ∠ 4
  D
  А
  С
  В
  E
  1
  2
  3
  4
  АE∙ BE= CE ∙ DE
  Теорема
  о хордах
  

• 6 слайд

  Вписанные и описанные окружности
  О
  А
  В
  С
  D
  А
  В
  С
  D
  ∠ А+ ∠ С = 180°
  ∠ А+ ∠ С = 180°
  АВ+СD = ВC+ АD
  

• 7 слайд

  Определение. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку,
  называется касательной к окружности.
  
  Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,
  проведённому в точку касания.
  
  Теорема 2. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на
  окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то
  она является касательной.
  
  Свойство касательных. Отрезки касательных к окружности,
  проведённые из одной точки, равны и
  составляют равные углы с прямой,
  проходящей через эту точку и центр
  окружности.
  
  Теорема о хордах. Если две хорды окружности пересекаются, то
  произведение отрезков одной хорды равно
  произведению отрезков другой хорды.
  

• 8 слайд

  Определение. Если стороны многоугольника касаются окружности, то
  окружность называют вписанной, а многоугольник
  описанным около окружности.
  Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то
  окружность называют описанной около многоугольника, а
  многоугольник вписанным в эту окружность.
  Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, причём только
  одну.
  Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность, причём
  только одну.
  Теорема. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных
  сторон равны. Обратно : если суммы противоположных сторон
  выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать
  окружность.
  Теорема. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных
  углов равна 180°. Обратно: если сумма противоположных углов
  четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать
  окружность.
  
  

• 9 слайд

  
  
  ∠ВАС = 𝟏 𝟐 ∙ 𝜶
  Дополнительные сведения по теме
  Угол между касательной и хордой,
  проходящей через точку касания,
  измеряется половиной заключённой
  в нём дуги.
  Теорема 1.
  

• 10 слайд

  Если через точку М проведены секущая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная МК (К – точка касания), то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной
  МВ · МА = МК ²
  
  Теорема 2.
  

• 11 слайд

  ∠М = 𝟏 𝟐 ∙( 𝑨𝑩− 𝑷𝑸)
  Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг.
  Теорема 4.
  
  

• 12 слайд

  ∠АМВ = 𝟏 𝟐 ∙( АВ+ С𝐷)
  
  Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется
  полусуммой заключённых между ними дуг.
  Теорема 3.
  

• 13 слайд

  ∠М = 180 °− 𝑳𝑲
  Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки равен 180° минус градусная мера заключённой внутри него дуги, меньшей полуокружности.
  Теорема 5.
  

• 14 слайд

  А
  В
  С
  К
  ?
  Теорема 6.
  Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.
  

• 1 слайд

  П р и з н а к и п о д о б и я т р е у г о л ь н и к о в
  по двум пропорциональным
  сторонам и равному углу
  между ними
  по двум равным углам
  по трём пропорциональным
  сторонам
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  П о д о б н ы е т р е у г о л ь н и к и
  А
  В
  С
  А1
  В1
  С1
   
   
   
   
  

• 2 слайд

  Некоторые свойства прямоугольных треугольников.
  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90ᵒ.
  Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30ᵒ , равен
  половине гипотенузы.
  Если катет прямоугольного треугольника лежит против угла в 30ᵒ , то он
  равен половине гипотенузы.
  Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника
  равен сумме квадратов его катетов.
  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
  1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
  угла, есть среднее пропорциональное для отрезков гипотенузы, на которые
  делится гипотенуза этой высотой.
  2. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее
  пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого
  между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
  Определение. Два треугольника называются подобными, если углы
  треугольников соответственно равны, а стороны одного
  треугольника пропорциональны сходственным сторонам
  другого. Причём, коэффициент подобия равен отношению
  сходственных сторон.
  

• 3 слайд

  Признаки подобия треугольников.
  1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,
  то треугольники подобны .
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
  другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то
  треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам
  другого треугольника, то треугольники подобны.
  

• 1 слайд

  αn
  Градусная мера каждого угла правильного
  n-угольника
  Пример:
  
  
  

• 2 слайд

  Определение. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все
  его углы равны и все стороны равны.
  
  Теоремы. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность,
  притом только одну.
  Около любого правильного многоугольника можно описать
  окружность, притом только одну.
  
  Следствия: 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается
  сторон многоугольника в их серединах.
  2. Центр окружности, описанной около правильного
  многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в
  тот же многоугольник.
  

• 3 слайд

  Формулы:
  Следствия:
  А2
  А1
  А3
  А4
  Аn
  1
  2
  3
  4
  О
  Н1
  Н2
  Н3
  Н4
  𝒂 𝒏
  R
  r
  𝑺 𝒏 = 𝟏 𝟐 ∙𝑷∙𝒓
  𝒂 𝒏 =𝟐𝑹∙ sin 180° 𝑛
  r=𝑹∙ cos 180° 𝑛
  𝑺 𝒏 =( 𝟏 𝟐 ∙ 𝑹 𝟐 ∙ sin 360° 𝑛 )∙𝒏
  𝒂 𝟑 =𝑹 𝟑
  𝒂 𝟒 =𝑹 𝟐
  𝒂 𝟔 =𝑹
  

• 4 слайд

  А
  В
  АВ – дуга окружности
  𝜶
  О
  l
  l – длина дуги окружности
  С = 2𝝅𝑹– длина окружности
  l = 𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎° ∙𝜶
  АВ - градусная мера дуги окружности
  С = 𝝅d
  S =𝝅 𝑹 𝟐
  S – площадь круга
  𝑺 сек. = 𝝅 𝑹 𝟐 𝟑𝟔𝟎 ∙𝜶
  

• 1 слайд

  Т р е у г о л ь н и к
  а
  b
  с
   
   
   
  по двум сторонам и
  углу между ними
  по стороне и
  двум прилежащим углам
  по трём сторонам
  П р и з н а к и р а в е н с т в а т р е у г о л ь н и к о в
  катет
  катет
  гипотенуза
  гипотенуза
  катет
  катет
  

• 2 слайд

  Признаки равенства прямоугольных треугольников
  по двум катетам
  по катету и острому углу
  по гипотенузе и катету
  по гипотенузе и острому углу
  

• 3 слайд

  Определение. Треугольник называется равнобедренным,
  если две его стороны равны.
  Определение. Треугольник называется равносторонним,
  если три его стороны равны.
  60ᵒ
  60ᵒ
  60ᵒ
  Свойства: 1) Углы при основании равнобедренного
  треугольника равны.
  2) В равнобедренном треугольнике медиана,
  биссектриса и высота, проведённые к
  основанию совпадают.
  Признак. Если в треугольнике два угла равны, то он
  равнобедренный.
  Свойство: все углы равностороннего треугольника равны и
  равны 60ᵒ
  Определение. Треугольник называется прямоугольным,
  если один его угол прямой. Стороны, образующие
  прямой угол – катеты, сторона, лежащая напротив
  прямого угла – гипотенуза.
  катет
  катет
  гипотенуза
  Определение. Треугольник называется тупоугольным, если
  один из его углов тупой.
  

• 4 слайд

  Признаки равенства треугольников.
  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
  равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие
  треугольники равны.
  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
  соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
  треугольника, то такие треугольники равны.
  Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам
  другого треугольника, то такие треугольники равны.
  Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  1. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
  равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие
  треугольники равны.
  2. Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника
  соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного
  треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно
  равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие
  треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
  соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного
  треугольника, то такие треугольники равны.
  

• 5 слайд

  А
  В
  С
  М
  N
  MN – средняя линия треугольника
  MN || АС
   
  А
  В
  С
  3
  1
  2
  4
  ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180ᵒ
  ∠ 4 – внешний угол треугольника
  ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2
  

• 6 слайд

  А
  С
  В
  М
  ВМ – медиана АВС
  ∆
  А
  В
  K
  D
  Е
  Все три медианы треугольника пересекаются
  в одной точке и делятся этой
  точкой в отношении 2 : 1
  1)
   
  Медианы, биссектрисы, высоты и серединные
  перпендикуляры треугольника.
  

• 7 слайд

  М
  А
  С
  В
  К
  Е
  Все три биссектрисы треугольника пересекаются
  в одной точке
  В
  М
  А
  С
  К
  Е
  Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
  А
  С
  В
  М
  В1М – биссектриса АОВ
  ∆
  2)
   
   
  1
  2
  

• 8 слайд

  А
  В
  С
  М
  N
  Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника
  с серединой противоположной стороны,
  называется медианой этого треугольника.
  Свойства. 1) Квадрат медианы треугольника выражается
  формулой
  
  
  2) Все три медианы треугольника пересекаются
  в одной точке и делятся этой точкой
  в отношении 2 : 1 , считая от вершины.
  
  Определение. Отрезок, соединяющий середины двух сторон
  треугольника, называется средней линией
  этого треугольника.
  Свойство. Средняя линия треугольника параллельна
  противоположной стороне треугольника
  и равна её половине.
  С
  В
  М
   
  А
  В
  K
  D
  Е
  А
  

• 9 слайд

  Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника
  называется биссектрисой треугольника.
  А
  С
  В
  М
  1
  2
  Свойство. 1) Биссектриса делит сторону треугольника
  на отрезки, пропорциональные прилежащим
  к ним сторонам треугольника.
  
  
  
  2) Длину биссектрисы треугольника можно
  найти по формуле
  
  
   
   
  М
  А
  С
  К
  Е
  Теорема. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является
  центром описанной около треугольника
  окружности.
  

• 10 слайд

  М
  ВМ – высота АВС
  ∆
  А1
  С1
  М
  Все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке
  В1
  Е
  К
  А
  С
  В
  А
  С
  В
  М
  Е
  К
  3)
  

• 11 слайд

  m
  A
  B
  m - серединный перпендикуляр
  к отрезку АВ
  Все три серединных
  перпендикуляра к сторонам
  треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около него окружности
  4)
  

• 12 слайд

  Некоторые свойства прямоугольного треугольника
  Теорема Пифагора
   
  b
  c
  а
   
   
   
  С
  а
  2а
   
  А
  В
   
  1)
  2)
  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  с
  b
  а
  A
  B
  D
   
   
  С
   
   
   
   
   
  

• 13 слайд

  П р и з н а к и п о д о б и я т р е у г о л ь н и к о в
  по двум пропорциональным
  сторонам и равному углу
  между ними
  по двум равным углам
  по трём пропорциональным
  сторонам
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  ~
  П о д о б н ы е т р е у г о л ь н и к и
  А
  В
  С
  А1
  В1
  С1
   
   
   
   
  

• 14 слайд

  Некоторые свойства прямоугольных треугольников.
  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90ᵒ.
  Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30ᵒ , равен
  половине гипотенузы.
  Если катет прямоугольного треугольника лежит против угла в 30ᵒ , то он
  равен половине гипотенузы.
  Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника
  равен сумме квадратов его катетов.
  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
  1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
  угла, есть среднее пропорциональное для отрезков гипотенузы, на которые
  делится гипотенуза этой высотой.
  2. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее
  пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого
  между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
  Определение. Два треугольника называются подобными, если углы
  треугольников соответственно равны, а стороны одного
  треугольника пропорциональны сходственным сторонам
  другого. Причём, коэффициент подобия равен отношению
  сходственных сторон.
  

• 15 слайд

  Признаки подобия треугольников.
  1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,
  то треугольники подобны .
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
  другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то
  треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам
  другого треугольника, то треугольники подобны.
  

• 16 слайд

  Метрические соотношения в треугольнике
  а
  b
  c
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  а
  b
  c
   
   
   
  

• 17 слайд

  Значения тригонометрических функций
  

• 18 слайд

  Площадь треугольника
  h
   
  a
  a
  h
   
  a
  h
  h
   
  b
  b
   
  a
  m
  n
  a
  b
  m
  n
   
  k
   
  1)
  2)
  3)
  4)
  

• 19 слайд

   
  а
  b
   
  5)
  а
  b
   
  c
  где р – полупериметр треугольника
  ( формула Герона)
  6)
  а
  b
  c
  R
   
  а
  b
  c
  r
   
  где р – периметр
  треугольника
  7)
  8)
  

• 20 слайд

  а
  R
   
  

• 1 слайд

  Параллелограмм
  Площади
  h
  a
  Ромб
  А
  D
  С
  В
  Треугольник
  h
  a
   
   
   
  Площадь параллелограмма равна
  произведению его основания на высоту
  1. Площадь ромба как любого
  параллелограмма равна
  произведению основания на высоту
  2. Площадь ромба равна половине
  произведения его диагоналей.
  Площадь треугольника равна
  половине произведения его основания
  на высоту
  a
  h
   
  Площадь прямоугольного треугольника
  равна половине произведения его
  катетов
  

• 2 слайд

  a
  Трапеция
  b
  h
   
  Если высоты двух
  треугольников равны, то
  их площади относятся
  как основания.
  h
  h
  a
  b
   
  Площадь трапеции равна произведению
  полусуммы её оснований на высоту
  Прямоугольник
  a
  b
  Площадь прямоугольника равна
  произведению его смежных сторон
   
  a
  a
  Квадрат
   
  Площадь квадрата равна квадрату
  его стороны
  

• 3 слайд

  b
  m
  n
  Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то
  площади этих треугольников относятся как произведения сторон,
  заключающих равные углы
   
  a
  b
  a
  m
  n
   
  k
  Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
  коэффициента подобия
   
  

• 1 слайд

  1.
   
   
   
  2.
   
  3.
   
   
  Метод координат
  

• 2 слайд

   
   
   
  Координаты вектора
  4.
  О
  х
  у
  Уравнение прямой
  6.
   
   
  М(х; у)
  5.
  Уравнение окружности
   
  R
  

• 3 слайд

  Простейшие задачи в координатах
   
   
   
  Координаты середины отрезка
  С
  Длина вектора
   
   
  А
  В
  Расстояние между точками
   
   
  d
   
  7.
  1)
  2)
  3)
  

• 1 слайд

• 2 слайд

• 3 слайд